Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 33
Текст из файла (страница 33)
4. Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в ту же окружность? 5. Как изменится площадь квадрата, если каждую его сторону увеличить в 3 раза? 6. Во сколько раз надо уменьшить стороны квадрата, чтобы его площадь уменьшилась в 25 раз? 7. Чему равны стороны прямоугольника, если они относятся как 4:9, а его площадь 144 м'-'? 8. Чему равны стороны прямоугольника, если его периметр 74 дм. а площадь 3 м ? Г '.
Зоа у 14. Площади фигуР 227 9. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинако- И ' вые стороны. Найдите острый угол параллелограмма. если площадь его равна половине площади прямоугольника. 10. Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры. Какая из фигур имеет ббльшую площадь? Объясните ответ. 11. Найдите площадь ромба, если его высота 10 см, а острый угол 30". 12. Найдите площадь ромба, если его высота 12 см, а меньшая диагональ 13 см. 13. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения диагоналей. 14. Найдите стороны ромба, зная, что его диагонали относятся как 1: 2, а площадь ромба равна 12 см'. П 15.
Разделите данный треугольник на три равновеликие части прямыми, проходящими через одну вершину. 16.* Решите предыдущую задачу, взяв вместо треугольника параллелограмм, 17. Чему равна площадь равнобедренного треугольника, если его основание 120 м, а боковая сторона 100 м? 18. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой а. 19. У треугольника со сторонами 8 см и 4 см проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к стороне 8 см, равна 3 см. Чему равна высота, проведенная к стороне 4 см? 20. Докажите, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам, т. е.
1.1.1 Ь„ Ьг Л, 21. Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной а. 22. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в круг радиуса В. 23. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу на отрезки 32 см и 18 см. 24. Чему равны катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 73 см, а площадь равна 1320 сми? 25. У треугольника АВС АС=а, ВС=Ь. При каком угле С площадь треугольника будет наибольшей? 26. Найдите площадь равнобедренного треугольника, у которого боковые стороны равны 1 м, а угол между ними равен 70 .
27. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны 2 м и 3 м, а один из углов равен 70 . 226 9 «ласс 28». Найдите площадь треугольника по стороне а и прилежащим к ней углам а и )1. П 29. Выведите формулу Герона для площади треугольника: Я=~~р(р — и) (р — Ь) (р — с), где а, Ь, с — длины сторон треугольника, а р — полупериметр. 30. Найдите площадь треугольника по трем сторонам: 1) 13, 14, 15; 2) 5, 5, 6; 3) 1?, 65, 80; 4) —, —, 6; 5) 13, 37 —, 31.
Стороны треугольника а, Ь, с. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с. 32. Боковые стороны треугольника 30 см и 25 см. Найдите высоту треугольника, опущенную на основание, равное: 1) 25 см; 2) 11 см. 33. Периметр равнобедренного треугольника равен 64 см, а его боковая сторона на 11 см больше основания. Найдите высоту треугольника, опущенную на боковую сторону. 34. Найдите высоты треугольника, у которого стороны равны 13 см, 14 см и 15 см. 35. Найдите высоту треугольника со сторонами 2 —, 3 —, 1 44 12' 76 ' 1 1,83, проведенную к стороне 2 —. 12 36. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами: 1) 5, 5, 6; 2) 17, 65, 80 и наибольшую высоту треугольника 26 29 12 1 со сторонами: 3) —, —, 6; 4) 13, 37 —, 47 —, 6'6'''13'13 П 37. Найдите площадь трапеции, у которой параллельные стороны 60 см и 20 см, а непараллельные — 13 см и 37 см.
38. В равнобокой трапеции основания равны 10 см и 24 см, боковая сторона 25 см. Найдите площадь трапеции. 39. В равнобокой трапеции большее основание равно 44 м, боковая сторона 17 м и диагональ 39 м. Найдите площадь трапеции. 40. Докажите, что если диагонали четырехугольника пересекаются, то площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
41*. Докажите, что среди всех параллелограммов с данными диагоналями наибольшую площадь имеет ромб. П 42. Выведите следующие формулы для радиусов описанной (В~ и вписанной ~г) окружностей треугольника: асс 28 Н=- —, г= 4Я ' а+Ьсс' где а, Ь, с — стороны треугольника„а Я вЂ” его площадь. У тд. Площади Фигур 43. Найдите радиусы описанной (В) и вписанной (г) окружностей для треугольника со сторонами: 1) 13, 14, 15; 2) 15, 13,4; 3) 35, 29„8; 4) 4,5,7. 44.
Боковая сторона равнобедренного треугольника б см, высота, проведенная к основанию, 4 см Найдите радиус описанной окружности. 45. Найдите радиусы окружностей, описанной около равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной Ь и вписанной в него. 46. Найдите радиус г вписанной и радиус гг описанной окружностей для равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.
47. Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой. 48. Катеты прямоугольного треугольника равны 40 см и 42 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей. 49. Докажите, что площадь многоугольника, описанного около окружности, равна половине произведения периметра многоугольника на радиус окружности. П 50. ЧеРез сеРедину высоты треугольника проведена пер- пендикулярная к ней прямая. В каком отношении она делит площадь треугольника? 51. Прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его площадь пополам.
Найдите расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из которой проведена высота, если она равна Ь. 52. Периметры правильных п-угольников относятся как а: Ь. П. 129 Как относятся их площади? 53. Найдите площадь круга, если длина окружности й 54. Найдите площадь кругового кольца (рис. 309), заключенного между двумя окружностями с одним и тем же центром и радиусами: 1) 4сми бом; 2) 5,5миб,бм; 3)пи Ь, а>Ь.
Рис. 309 ствующий этому сектору центральный угол равен: 1) 40'; 2) 90"; 3) 150"; 4) 240", 5) 300', 6) 330 . 60. Дана окружность радиуса В. Найдите площадь сектора, соответствующего дуге с длиной, равной: 1) Н; 2) 5 61*. Найдите плошадь кругового сегмента с основанием о ~ 3 Рнг. 310 55 56 57 58 59 Во сколько раз увеличится площадь круга, если его диа- метр увеличить. "1) в 2 раза; 2) в 5 раз; 3) в гп раз? Найдите отношение площади круга к площади вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника; 3) пра- вильного шестиугольника. Найдите отношение площади круга, вписанного в правиль- ный треугольник, к площади круга, описанного около него.
Найдите отношение площади круга, описанного около квадрата, к площади круга, вписанного в него. Найдите площадь сектора круга радиуса Н, если соответ- О и высотой —. 2 Найдите площадь той части круга, которая расположена вне вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника; 3) правильного шестиугольника. Радиус круга В (рис.
310). (О класс СТЕРЕОМЕТРИЯ $ 1 5. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И ИХ ПРОСТЕЙШИЕ СЛЕДСТВИЯ 1зо. Аксиомы стйрйомйтрии Стереоиетрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. В стереометрии, так же как и в планиметрии, свойства геометрических фигур устанавливаются путем доказательства соответствующих теорем. При этом отправными являются свойства основных геометрических фигур, выражаемые аксиомами. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. Плоскость мы представляем себе как ровную поверхность крышки стола (рис.
311, а) и поэтому будем изображать ее в виде параллелограмма (рис. 311, б). Плоскость, как и прямая, бесконечна. На рисунке мы изображаем только часть плоскоети, но представляем ее неограниченно продолженной во все стороны. Плоскости обозначаются греческими буквами а, р.у,-.- Рис. Зы 232 10 класс Введение нового геометрического образа — плоскости заставляет расширить систему аксиом.
Поэтому мы вводим группу аксиом С, которая выражает основные свойства плоскостей в пространстве. Эта группа состоит из следующих трех аксиом: Сь Какова бы ни белла плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. Сь Если две различные плоскости имеют общую точку. то они пересекаются по прямой, и роходящей через зту точку. Этой аксиомой утверждается, что если две различные плоскости а и б имеют общую точку, то существует прямая с,принадлежащая каждой из этих плоскостей. При этом если точка С принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой с.
Сз. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну. Это значит, что если две различные прямые а и Ь имеют общую точку С, то существует плоскость у, содержащая прямые а и Ь. Плоскость, обладающая этим свойством, единственна. Таким образом, система аксиом стереометрии состоит из аксиом 1 — 1Х планиметрии и группы аксиом С. Заме ч а н ив. В планиметрии мы имели одну плоскость, на которой располагались все рассматриваемые нами фигуры.
В стереометрии много, даже бесконечно много, плоскостей. В связи с этим формулировки некоторых аксиом планиметрии, как аксиом стереометрии, требуют уточнения. Это относится к аксиомам 1Ч, Ъ'11, Ъ'Ш, 1Х. Приведем эти уточненные формулировки. 1Ъ'. Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Ч11. От полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180,и только один. Ч111. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в ааданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
