Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Что такое многоугольник, выпуклый многоугольник? 4. Что такое плоский многоугольник? 5. Что такое угол выпуклого многоугольника при данной вершине? 6. Выведите формулу для суммы углов выпуклого многоугольника. 7. Что такое внешний угол выпуклого многоугольника? 8. Докажите, что правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.
9. Что называется центром многоугольника? центральным углом многоугольника? 10. Выведите формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей правильного н-угольника. 11. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного треугольника, четырехугольника (квадрата), шестиугольника. 12. Как построить правильный выпуклый шестиугольник, треугольник, четырехугольник, восьмиугольник? 13. Докажите, что правильные выпуклые л-угольники подобны.
В частности, если у них стороны. одинаковы, то они равны. 212 З класс 14. Докажите, что отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т. е. одно и то же для всех окружностей. 15. По какой формуле вычисляется длина окружности? 16. По какой формуле вычисляется длина дуги окружности? 17. Что такое радианная мера угла? 18. Чему равны радианные меры углов 180 и 90'? ЗАДАЧИ И 1. Даны две окружности с радиусами В~ и Вс и рас- стоянием между центрами д= В,+В,.
Чему равны наибольшее и наименьшее расстояния между точками Х и У этих окружностей7 2. Решите задачу 1 при условии, что ок..В~ — Вс (рис. 291). 3. Докажите, что если вершины ломаной не лежат на одной прямой, то длина ломаной больше длины отрезка, соединяющего ее концы. 4. Докажите, что у замкнутой ломаной расстояние между любыми двумя вершинамн не больше половины длины ломаной. 5.
Докажите, что у замкнутой ломаной длина каждого зве- на не больше суммы длин остальных звеньев. 6. Может ли замкнутая ломаная иметь звенья длиной 1 м, 2 м, 3 м, 4 м, 11 м? Объясните ответ. 7. Докажите, что если концы ломаной лежат по разные сто- роны от данной прямой, то она пересекает эту прямую П. 114 (Рис. 292). 8. Сколько диагоналей у и-угольника? 9. Чему равна сумма внешних углов выпуклого п-угольника, взятых по одному при каждой вершине? Рис. 221 Рис.
222 ю?3. многоугольники гьз 10. Углы выпуклого четырехугольника пропорциональны числам 1, 2, 3, 4. Найдите их. 11. Докажите, что у четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противолежащих сторон равны. И 12. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен: 1) 135; 2) 150"? 13. Сколько сторон имеет пРавильный многоугольник, если каждый из внешних его углов равен: 1) 36', 2) 24'? 14. Докажите, что взятые через одну вершины правильного 2л-угольника являются вершинами правильного л-угольника. 15.
Докажите, что середины сторон правильного и-угольника являются вершинами другого правильного л-угольника. П 16. Найдите выражения для стороны а„правильного в — угольника через радиус В описанной около него окружности и радиус г вписанной окружности. Вычислите а, при я=3, 4, 6. 1?. Хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника.
Докажите. 18. У правильного треугольника радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности. Докажите. 19. Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна а. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность. 20. В окружность, радиус которой 4 дм, вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.
21. Конец валика диаметром 4 см спилен под квадрат. Каким может быть наибольший размер стороны квадрата? 22. Конец винта газовой задвижки имеет правильную трехгранную форму. Каким может быть наибольший размер грани, если диаметр цилиндрической части винта 2 см? 23. Докажите, что сторона правильного 8-угольника вычисляется по формуле а =В )Г2 — К2, где  — радиус описанной окружности. 24. Докажите, что сторона правильного 12-угольника вычисляется по формуле ам=В -~Г2 — ~/3, где  — радиус описанной окружности.
25*. Найдите стороны правильного пятиугольника и правильного 10-угольника, вписанных в окружность радиуса В. 26. Сторона правильного многоугольника равна а, а радиус описанной окружности В. Найдите радиус вписанной окружности. 214 э класс 27. Сторона правильного многоугольника равна а, а радиус вписанной окружности г. Найдите радиус описанной окружности. 28. Выразите сторону Ь правильного описанного многоугольника через радиус В окружности и сторону а правильного вписанного многоугольника с тем же числом сторон. 29.
Выразите сторону а правильного вписанного многоугольника через радиус В окружности и сторону Ь правильного описанного многоугольника с тем же числом сто- П. 117 Рон' 30. Впишите в окружность правильный 12-угольник. 31. Опишите около окружности правильный треугольник, квадрат, правильный восьмиугольник. И 32. Радиусы вписанной и описанной окружностей одного правильного и-угольника равны г~ и Вь а радиус вписанной окружности другого правильного и - угольника равен ге. Чему равен радиус описанной окружности другого л-угольника? 33.
Периметры двух правильных и-угольников относятся как а: Ь. Как относятся радиусы их вписанных и описанных окружностей? П 34. Вычислите длину окружности, если радиус равен: 1) 10 м; 2) 16 м. 36. На сколько изменится длина окружности, если радиус изменится на 1 мм? 36. Найдите отношение периметра правильного вписанного 8-угольника к диаметру и сравните его с приближенным значением л. 37. Решите задачу 36 для правильного 12-угольника. 38. Найдите радиус земного шара, исходя из того, что 1 м составляет одну 40-миллионную долю длины экватора. 39. На сколько удлинился бы земной экватор, если бы радиус земного шара увеличился на 1 см? 40. Внутри окружности радиуса В расположены и равных окружностей, которые касаются друг друга и данной окружности.
Найдите радиус этих окружностей, если число их равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6 (рис. 293). 41. Решите предыдущую задачу, если окружности расположены вне данной окружности. 42. Шкив имеет в диаметре 1,4 м и делает 80 оборотов в минуту. Найдите скорость точки на окружности шкива. Ю 120 43. Найдите длинУ дуги окружности радиуса 1 см, отвечающей центральному углу: 1) 30', 2) 45', 3) 120'; 4) 270"'.
213 1 Л. Пгс,ц аи ФигИ Рис. 293 44. Сколько градусов содержит центральный угол, если соот- 1.1.1 ветствующая ему дуга составляет: 1) 3,' 2) —; 3) —; 1 2 3 4) —; 5) —; 6) — окружности? 8' 3' 1 45. Какой угол образуют радиусы Земли, проведенные в две точки на ее поверхности, расстояние между которыми равно 1 км7 Радиус Земли равен 6370 км. 46. По радиусу В=1 м найдите длину дуги, отвечающей центральному углу: 1) 45', 2) 30', 3) 120', 4) 45'45', 5) 60'30", 6) 150'36'. 47. По данной хорде а найдите длину ее дуги, если градусная мера дуги равна: 1) 60*; 2) 90', 3) 120'. 48. По данной длине дуги 1 найдите ее хорду, если дуга со- держит: 1) 60'1 2) 90'1 3) 120 .
49. Найдите радианную меру углов: 1) 30', 2) 45'; 3) 60'. 50. Найдите радианную меру углов треугольника АВС, если г'. А=60, .~В=45'. 51. Найдите градусную меру угла, если его радианная мера равна: 1) — "; 2) — "; 3) — "; 4) — "; 5) — "; 6) — ". 2'4'8'Е'18'3 $14. ПЛОЩАДИ ФИГУР 121. ПОНЯТИЕ ПЛОЩАДИ Геометрическую фигуру будем называть простой, если ее можно разбить на конечное число плоских треугольников. Напомним, что плоским треугольником мы называем конечную часть плоскости, ограниченную треугольником 1рис.
294). Примером простой фигуры является выпуклый плоский многоугольник. Он разбивается на плоские треугольники диа- 216 9 класс Рис. 294 Рис. 296 гоналями, проведенными из какой-нибудь его вершины (рис. 296). В этом параграфе мы рассматриваем только плоские многоугольники и поэтому повторять каждый раз елово «плоский» не будем. Дадим определение площади для простых фигур. Для простых фигур площадь — зто пололгительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами: 1) Равные фигуры имеют равные площади. 2) Если фигура разбивается на части. являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
