Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 32
Текст из файла (страница 32)
3) Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице. Если квадрат, о котором идет речь в определении, имеет сторону 1 м, то площадь будет в квадратных метрах (мг). Если сторона квадрата 100 и, то площадь будет в гектарах. Если сторона квадрата 1 км, то площадь будет в квадратных километрах, и т. п. 1лл. ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА Найдем площадь прямоугольника со сторонами а, Ь. Для этого сначала докажем, что площади двух прямоугольников с равными основаниями относится как их высоты.
Пусть АВСВ и АВ~С~1л — два прямоугольника с общим основанием АР (рис. 296, а). Пусть В и В, — их площади. Докажем, что — = —. Разобьем сторону АВ прямоугольника на боль- В АВ В~ АВ~ шое число и равных частей, каждая из них равна —. Пусть АВ и 217 1 14. Площади Фланг т — число точек деления, которые лежат на стороне АВ,. Тогда ~ — "„~) т АВ,47) (т+1). Отсюда, разделив на АВ, получим: л1 А В~ т 1 — ( — ~ — + —.
л АВ л л Проведем через точки деления прямые, параллельные основанию АР. Они разобьют прямоугольник АВСР на в равных Я прямоугольников. Каждый из них имеет площадь —. Прямоугольник АВ1 С ~Р содержит первые т прямоугольников, считая снизу, и содержится в т+1 прямоугольниках. Позтому ~ В ') т: и, ~( В ) (т+ 1). Отсюда (лл) Из неравенств (л1 и (лл! мы видим, что оба числа — и — заклюАВ~ В, АВ В и и 1 чены между — и — + —.
Позтому они отличаются не более чем л л л Рло. 296 ага З класс на —. А так как и можно взять сколь угодно большим, то ато 1 Я~ АВ~ может быть только при — = —, что и требовалось доказать. Я АВ' Возьмем теперь квадрат, являющийся единицей площади, прямоугольник со сторонами 1, а и прямоугольник со сторонами и, Ь (рис. 296, б).
Сравнивая их площади, по доказанному будем иметь: В' а — = — и —,= —. 1 1 В' 1 Перемножая зти равенства почленно, получим: Я=аЬ. Итак, площадь прямоугольника со сторонами а, Ь вычисляется по формуле Я=аЬ. 113. ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА Пусть АВСР— данныи параллелограмм. Если он не является прямоугольником, то один из его углов — А или  — острый. Пусть для определенности угол А острый, как изображено на рисунке 297. Опустим перпендикуляр АЕ из вершины А на прямую СР. Площадь трапеции АВСЕ равна сумме площадей параллелограмма АВСР и треугольника АРЕ.
Опустим перпендикуляр ВР из вершины В на прямую СР. Тогда площадь трапеции АВСЕ равна сумме площадей прямоугольника АВРЕ и треугольника ВСг. Прямоугольные треугольники АРЕ и ВСг' равны, а значит, имеют равные площади. Отсюда следует, что площадь параллелограмма АВСР равна площади пря- В моугольника АВРЕ, т. е.
равна АВ-ВР. Отрезок ВР называется высотой параллелограмма, соответствующей сторонам АВ и СР. Итак, площадь параллелограм- ма равна произведению его старо- р т) Г С ны на высоту, проведенную к этой стороне. Рис. 29Т 219 у 14. Площади фигур 1и. площддь трвтольникА и Пусть АВС вЂ” данный треугольник (рис. 298). Дополним этот треугольник до параллелограмма АВСЭ, как указано на рисунке. Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников А 8 АВС и СВА. 'г ак как эти треугольники равны, то площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника АВС.
Высота параллелограмма, соответствующая стороне АВ, равна высоте треугольника АВС, проведенной к стороне АВ. Отсюда следует, что площедь треусолънина равна половине произведения его стороны на проведенную и ней высотйт Я = — ай. 1 в Докажем теперь, что плон)адъ треусолънина равна половине произведения двух любых его сторон на синус уела згеждц ними. Пусть АВС вЂ” данный треугольник (рис. 299). Докажем, что Я= — АВ АС.в1пА.
2 Проведем в треугольнике АВС высоту ВВ. Имеем В А а) Из прямоугольного треугольника АВХ) ВХ)=АВ юп а, если угол а острый (рис. 299, а), ВХ) =АВ в1п (180' — х), если угол а тупой (рис. 299, б). Так как в1п(180 — а)=в1п а, то в любом случае ВХ1=АВ-в1п а. Следовательно, площадь тре- 1 угольника Я= — АС.АВ в1п А, что и требовалось доказать. 2 12в. ФОРМУЛА ГЕРОНА ДЛЯ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА 3 а д а ч а (29). Выведите формулу Герона' для площади треугольника: Я= где а, Ь, с — длины сторон треугольника, а р= а+Ь+с 2 пол упериметр.
Р е ш е н и е. Имеем: Я= — аЬв1п у 1 2 где у — угол треугольника, противолежащий стороне с. По теореме косинусов с~ =а'+ Ь' — 2аЬ сов у. Отсюда ае+ Ь" — с' сов у= Значит, в)п'у = 1 — сов'. у = (1 — сов у) (1+ сов у) = 2ай — а' — Ее+с' 2аа+ае+Е' — с' се — (а — ЕУ (а+о)- '— с" 2аЬ 2аЬ 2ае 2аЬ =4,, (с — а+ Ь) (с+а — Ь) (а+ Ь вЂ” с) (а+ Ь+ с). 1 Замечая, что а+Ь+-с=2р, а+Ь вЂ” с=2р — 2с, а+с — Ь= =2р — 2Ь, с — а+Ь=2р — 2а, получаем: в(п у= — ър(р — а)(р — Ь)(р — ). Таким образом, Я= — аЬ в1п у= „р(р — а) (р — Ь)(р — с). ' Герон Александрийский — древнегреческий ученый, живший в 1 в.н.е. 221 1 14. Площади фигуР 126.
ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ Пусть АВС?? — данная трапеция (рис. 300). Диагональ трапеции АС разбивает ее на два треугольника: АВС и С?)А. Следовательно, площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников. Площадь треугольника АВС равна — АВ.СЕ, 1 2 площадь треугольника АСВ равна — РС АР. Высоты СЕ и АР 1 2 этих треугольников равны расстсянию между параллельными прямыми АВ и С?г. Это расстояние называется высотой трапеции. Следовательно, илои1адь трапег(ии равна произведению полрсрмгвы ее оснований иа высотрг В= —.?у.
а+б 2 Рис. 300 Рис. 301 3 а д а ч а (40) Докажите, что если диагонали четырехугольника пересекаются, то площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Р е ш е н и е. Площадь Я четырехугольника равна сумме площадей треугольников АВС и АПС (рис. ЗОЦ; Я= — АС-ВЕ+ — АС.?гР= = — АС.ВО.в1п и+ — АС.?)О.з(п и= 1 . 1 2 2 1 2 = — АС з1п и ~ВО+ О?:И= — АС-ВОойп а, 2 что и требовалось доказать.
222 9 класс 122. ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАДИУСОВ ВПИСАННОЙ И ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТЕЙ ТРЕУГОЛЬНИКА 3 а д а ч а (42). Выведите следующие формулы для радиусов описанной (Л) и вписанной (г1 окружностей треугольника: аЬс 2Я Л= —, г= —, 4Я ' а+Ь+с ' где а, Ь, с — стороны треугольника, а Я вЂ” его площадь. Р еще н и е.
Начнем с формулы для Л. Как мы знаем, а Л= —., где а — угол, противолежащий стороне а треугольника. Умножая числитель и знаменатель правой части на Ьс 1 и замечая, что — Ьсв1п а= — Я получим: 2 В= —. 4Я Ркс. 302 Выведем формулу для г 1рис. 302). Площадь треугольника АВС равна сумме площадей треугольников ОАВ, ОВС и ОСА: Я = — сг+ — аг+ — Ьг. 1 1 1 2 2 2 Отсюда 2Я г= а+ Ь+с 422. ПЛОЩАДИ ПОДОБНЫХ ЯьИГУР Пусть Р' и Р"' — две подобные простые фигуры. Выясним„ как относятся площади зтих фигур.
Так как фигуры подобны, то существует преобразование подобия, при котором фигура Р' переходит в фигуру Р". 1 г4. Площади фигур Рис. 303 Разобьем фигуру г" на треугольники Ль Лт, Лг, ... (рис. 303). Преобразование подобия, переводящее фигуру г' в г", переводит эти треугольники в треугольники 31 ', Лг', Лг', ... разбиения фигуры г". Площадь фигуры г' равна сумме площадей треугольников Л), Лг, ..., а площадь фигуры г' равна сумме площадей треугольников Л, Лг', ....
Если коэффициент подобия равен й, то размеры треугольника Л„" в й раз больше соответствующих размеров треугольника Л„'. В частности, стороны и высоты треугольника в й раз больше соответствующих сторон и высот треугольника Л„'. Отсюда следует, что Я ~Л~') = я'Я (Л;). Складывая эти равенства почленно, получим: я (р'л) = й~я ()т'). Коэффициент подобия я равен отношению соответствующих линейных размеров фигур г" и г'. Поэтому площади подобных фигур отноеятея как квадраты их соответствующих линейных размеров.
12Р. ПЛОЩАДЬ КРУГА Если фигура простая, т. е. допускает разбиение на конечное число треугольников, то ее площадь равна сумме площадей этих треугольников. Для произвольной фигуры площадь определяется следующим образом. Данная фигура имеет площадь Я, если существуют содержащие ее простые фигуры и содержащиеся в ней простые фигуры с площадями, как угодно мало отличающимися от Я Применим это определение к нахождению площади круга.
224 9 класс Рис. 305 Рис. 304 Кругом называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше данного. Эта точка называется центром круга, а данное расстояние — радиусом круга. Границей круга является окружность с теми же центром н радиусом (рис. 304). Площадь круга равна половине произведения длины охраничивающей ехо окружности на радиус.
Докажем зто. Построим два правильных и-угольника: Р~— вписанный в круг и Рг — описанный около круга (рис. 305). Многоугольники Р~ и Рг являются простыми фигурами. Многоугольник Рг содержит круг, а многоугольник Р1 содержится в круге. Радиусы, проведенные в вершины многоугольника Рн разбивают его на и треугольников, равных треугольнику АОВ.
Поэтом У Я =лЯ„ Так как Я,ор — — АС ОС=АС.АО сов а, то Я» =(пАС) АО соз а="— соз а, 2 где р — периметр многоугольника Є — радиус круга. Аналогично находим площадь многоугольника Р: Яго» вЂ” — АВ АО= — -АО, ю АС1 АО РН Я » ссхс 2 с<ма Итак, многоугольник Р~„содержащийся в круге, имеет площадь рл Ян= — сов а, 2 у гг.
площади фигур а многоугольник Рь содержащий круг, имеет площадь Так как при достаточно большом и периметр р отличается сколь угодно мало от длины 1 окружности, а сов ц сколь угодно мало отличается от единицы, то площади многоугольников !Н Р~ и Р' сколь угодно мало отличаются от —.
Согласно опрег делению это значит, что площадь круга л „Пг 2 что и требовалось доказать. Круговым сектором называется часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла (рис. 306). Плов)адь кругового сектора във «ислягтся по формуле где Й вЂ” радиус круга, а и — градусная мера соответствующего центрального угла. Круговым сегментом называется общая часть круга и полу- плоскости (рис. 307). Плоиуабь сегмента, не равного полукругу, вычисляется по формуле яг Я= — ' а.+-8 060 где и — градусная мера центрального угла, который содержит дугу етого кругового сегмента, а Я, — площадь треугольника е вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор.
Знак « — «надо брать, когда и . 180', а знак «+* надо брать, когда и)180'. Рв«. Зст Рп«. 400 Жб а хаасс КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Сформулируйте свойства площади для простых фигур. 2. Докажите, что площадь прямоугольника равна произве- дению его сторон. 3. Докажите, что площадь параллелограмма равна произве- дению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
4. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. 5. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними. 6. Докажите, что площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. 7. Как относятся площади подобных фигур? 8. Выведите формулу площади круга. 9. По каким формулам вычисляются площади кругового сектора и кругового сегмента? ЗАДАЧИ 1.
Докажите, чтО сумма площадей квадратов, пОстроен- П ных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе (рис. 308). 2. Стороны двух участков земли квадратной формы равны 100 м и 150 м. Найдите сторону квадратного участка, равновеликого им. 3. Найдите площадь квадрата Я по его диагонали а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
