Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 35
Текст из файла (страница 35)
11. Докажите„что если прямые АВ и СР не лежат в одной плоскости, то прямые АС н ВР также не лежат в одной плоскости. И 12. Даны четыре точки„не лежащие в одной плоскости. Сколько можно провести различных плоскостей, проходящих через три из этих точек? Объясните ответ. 13. Можно ли провести плоскость через три точки, если они лежат на одной прямой? Объясните ответ.
е ее. Пороллельиость позлил и ллоскоетев 14*. Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Докажите, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости. $ 1б. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСНОСТЕЙ 136. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися (рис. 322). Рис.
322 Рис. 323 3 а д а ч а (3). Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости. Р е ш е н и е. Так как данные прямые а и 0 параллельны, то через них можно провести плоскость (рис. 323). Обозначим ее сс. Прямая с, пересекающая данные параллельные прямые, имеет с плоскостью сс две общие точки— точки пересечения с данными прямыми. По теореме 15.2 эта прямая лежит в плоскости и.
Итак, все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости — плоскости сс. Теорема 16.1. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом толысо одну. 3 а м е ч а н и е. Утверждение единственности в теореме 16.1 не является простым следствием аксиомы параллельных, так как этой аксиомой утверждается единственность прямой, параллельной данной в данной плоскости. Поэтому она требует доказательства.
Дока за тел ь с т з о. Пусть а — данная прямая и л1— 240 ГО класс точка, не лежащая на этой прямой (рис. 324). Проведем через прямую а и точку А плоскость и. Проведем через точку А в плоскоети и прямую а|, параллельную а. Докажем, что прямая а|, параллельная а, единственна. Допустим, что существует дру- гая прямая ае, проходящая через Рис.
324 точку А и параллельная прямой а. Через прямые а и ар можно провести плоскость иь Плоскость ир проходит через прямую а и точку А; следовательно,по теореме 15.1 она совпадает с и. Теперь по аксиоме параллельных прямые а| и ас совпадают. Теорема доказана. 137. ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ Т е о р е м а 16.2. Две пряные, параллельные третьей прямой, параллельны. Д о к аз а тел ь от в о. Пусть прямые Ь и с параллельны прямой а. Докажем, что прямые Ь и с параллельны.
Случай, когда прямые а, Ь, с лежат в одной плоскости, был рассмотрен в планнметрни. Поэтому предположим, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Пусть )) — плоскость, в которой лежат прямые а и Ь, а Т вЂ” плоскость, в которой лежат прямые а и с. Плоскости р и Т различны (рис. 326).
Отметим на прямой Ь какую-нибудь точку В и проведем плоскость у| через прямую с и точку В. Она пересечет плоскость р по прямой Ь|. Прямая Ь| не пересекает плоскость т. Действительно, точка пересечения должна принадлежать прямой а, так как прямая Ь| лежит в плоскости ($. С другой стороны, она должна лежать и на прямой с, так как прямая Ь| лежит в плоскости Ть Но прямые а и с как параллельные не пересекаются. Так как прямая Ь| лежит в плоскости () н не пересекает прямую а, то она параллельна а, а значит, совпадает с Ь по аксиоме параллельных. Таким образом, прямая Ь, совпадая с прямой Ь|, лежит в одной плоскости с прямой с (в плоскости у,) и не,пересекает ее. Значит, прямые Ь и с параллельны. Теорема доказана. 3 а д а ч а (11). Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма (вершины пространственного четырехугольника не лежат в одной плоскости).
Р е ш е н и е. Пусть А ВСЮ вЂ” данный пространственный четырехугольник (рис. 326), Пусть А|, В|, С|, 1)| — сере- Ю 16. Паэаллельиость пвамик и плоскостей Рис. 325 Рис. 326 дины его сторон. Тогда А~В~ — средняя линия треугольника АВС, параллельная стороне АС, С,Р1 — средняя линия треугольника АСЮ, тоже параллельная стороне АС. По теореме 16.2 прямые А 1В1 и СЮ1 параллельны, а значит, лежат в одной плоскости.
Точно так же доказывается параллельность прямых А~В~ и В~Со Итак, четырехугольник А~В~С~Р~ лежит в одной плоскости и его противолежащие стороны параллельны. Следовательно, он нараллелограмм. 136. ПРИЗНАН ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются. Т е о р е м а 16.3. Вели прямая, не принадлеясаиузя илоекости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а — плоскость, а — не лежащая в ней прямая и а~ — прямая в плоскости а, параллельная прямой а. Проведем плоскость а~ через прямые а и а1 (рис. 32Т1. Плоскости а и а~ пересекаются по прямой аи Если бы прямая а пересекала плоскость а, то точка пересечения принадлежала бы прямой а,.
Но зто невозможно, так как прямые а и а, параллельны. Итак, прямая а не пересекает плоскость а, а значит, параллельна плоскости а. Теорема доказана. Рис. 327 242 30 киихс 3 а д а ч а (16). Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Решение.
Пусть а и Ь— две параллельные прямые и ив плоскость, пересекающая прямую а в точке А (рис. 328). Проведем через прямые а и Ь плоскость. Она пересекает плоскость п по некоторой прямой с. Прямая с пересекает прямую а (в точке А), а значит, пересекает параллельную ей прямую Ь. Так как прямая с лежит в плоскости и, то плоскость п пересекает прямую Ь. Рис. 328 139. ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ Две плоскости называются параллельныки. если они не пересекаются. Т е о р е м а 16.4. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым друзой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Пусть а и р — данные плоскости, а ~ и аи — прямые в плоскости а, пересекающиеся в точке А, Ь, и Ьз — соответственно параллельные им прямые в плоскости )) (рис. 329). Допустим, что плоскости и и р не параллельны, т. е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме 16.3 прямые а, и аь как параллельные прямым Ь, и Ьь параллельны плоскости 6, и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую с.
Таким образом, в плоскости и через точку А проходят две прямые (а, и аи), параллельные прямой с. Но зто невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана. Рии 330 Рис. 329 Ю Зб. Паралаеаекость о|семик и плоскостей За да ч а (19). Докажите„что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости. Решен и е. Пусть а и Ь вЂ” данные скрещивающиеся прямые (рис.
330). Через произвольную точку прямой а проведем прямую Ь', параллельную Ь, а через произвольную точку прямой Ь проведем прямую а', параллельную о. Теперь проведем две плоскости: одну через прямые а и Ь', а гую через прямые Ь и а'. По теореме 16.4 зти а друг плоскости параллельны.
В первой из них леж т р и п ямая а, а во второй — прямая Ь. 140. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ДАННОЙ ПЛОСКОСТИ Те о р е и а 16.5. Через точку вне донной плоскости можно провести плоскость, париллелъную данной, и притом голъко До к а за тел ь ство. Проведем в даннои плоское ти и какие-нибудь две пересекающиеся прямые о и (рис. ). и Ь ( ис. 331). 'Через данную точ у точку А проведем параллельные им прямые а| и Ь|. о еме 16.4 Плоскость 6, проходящая через прямые а| и Ь|, по теор параллельна плоскости с|. Допустим, что через точку А проходит другая плоскость бн тоже параллельная плоскости а (рис.
332). Отметим на плоскости 6| какую-нибудь точку С, не лежащую в плоскости 6, Проведем плоскость у через точки А, С и какую-нибудь точку В плоск оскости а. Эта плоскость пересечет плоскости а, )| и (|, по к как прямым Ь а и с. Прямые а и с не пересекают прямую Ь, та льны не пересекают плоскость сс. Следовательно, они параллел Рис. 331 Рве. 332 344 10 нласс прямой Ь.
Но в плоскости ? через точку А может проходить только одна прямая, параллельная прямой Ь. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана полиостью. Задача (23). Плоскости а и 3 параллельны плоскости?. Могут ли плоскости а и 3 пересекаться? Решение. Плоскости а и р ие могут пересекаться. Если бы плоскости а и 3 имели общую точку, то через эту точку проходили бы две плоскости (а и 3), параллельиые плоскости ?. А это противоречит теореме 16.5. 441.
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны (рис. 333). Действительво, согласно определению параллельиые прямые— это прямые, которые лежат в одиой плоскости и не пересекаются.
Наши прямые лежат в одной плоскости — секущей плоскости. Оии ие пересекаются, так как ие пересекаются содержащие их параллельные плоскости. Значит, прямые параллельны, что и требоваРнс. 333 лось доказать. 3 а д а ч а (33). Даны две параллельные плоскости сс, и а» и точка А,.ие лежащая ии в одной из этих плоскостей. Через точку А проведена произвольиая прямая. Пусть Х~ и Х» — точки пересечения ее с плоскостями а~ и а». Докажите, что отношение длин отрезков АХ~ . АХ» ие зависит от взятой прямой. Реше пие. Проведем через точку А другую прямую и обозначим через У, и У» точки пересечения ее с плоскостями а1 и а» (рис.
334). Проведем через прямые АХ~ и АУ~ плоскость. Оиа пересечет плоскости а~ и а» по параллельным прямым Х~У~ и Х»У», Отсюда следует подобие треугольииков АХ1У~ и АХ»У». А из подобия треугольников следует пропорция АХ, АУ, АХ» А т„' т. е. отношения АХ~.АХ» и АУ~.АУ» одинаковы для обеих прямых. Отрееяи параллельныя прямыя, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны. Действительно, пусть а~ и ໠— параллельные плоскости, 1 46. Пораллелышать прямы» и плосяостеа Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
