Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 37
Текст из файла (страница 37)
е. одинаково для любых двух прямых. 36. Даны четыре параллельные прямые. Докажите, что если какая-нибудь плоскость пересекает зти прямые в вершинах параллелограмма, то любая плоскость, не параллельная данным прямым, пересекает их в вершинах некоторого параллелограмма. И 37. Дана параллельная проекция треугольника. Как построить проекции его медиан? 38. Дана параллельная проекция треугольника.'Чем изобразится проекция средней линии треугольника? 39. Может ли при параллельном проектировании параллелограмма получиться трапеция? Объясните ответ. 40. Может лн проекция параллелограмма при параллельном проектировании быть квадратом? 41. Докажите, что параллельная проекция центрально-сим-' метричной фигуры также является центрально-симметричной фигурой. 42к. Дана параллельная проекция окружности и ее диаметра (рис. 349).
Как построить проекцию перпендикулярного диаметра? $17. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ 143 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ Так же как и на плоскости, две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Теорема 17.1. Ееяи две пересекаюи)неся прямые параллеаьны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.
Дока з а те лье т во. Пусть а и Ь вЂ” перпендикулярные прямые, а, и Ь| — параллельные им пересекающиеся прямые. Докажем, что прямые а| и Ь| перпендикулярны. Если прямые а, Ь, а|, Ь| лежат в одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством, как зто известно из планиметрии. Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Тогда прямые а и Ь лежат в некоторой плоскости а, а прямые а| и Ь| — в некоторой плоскости и| (рис.
350). По теореме 16.4 плоскости а и сс| параллельны..Пусть С вЂ” точка пересечения прямых а и Ь, а С| — точка пересечения прямых а| и Ь|. Проведем в плоскости параллельных прямых а и а, прямую, параллельную прямой СС|. Она пересечет прямые а и а| в точках л1 и л1|.
В плоскости прямых Ь и Ь~ проведем пря- 233 4 17. Перпендинуппрность прильет и ппосностей Рис. 331 Рис. 330 мую, параллельную прямой ССь и обозначим через В и В~ точки ее пересечения с прямыми Ь и Ьи 'Четырехугольники САА~С, и СВВ~С~ — параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник АВВ1А ~ также'параллелограмм. У него стороны АА„ВВ, параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой СС0 Таким образом, Чстырехутольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые АА, и ВВР А она пересекает параллельные плоскости а и а~ по параллельным прямым АВ и А~Во Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то АВ=А~Вь АС=АьСь ВС= — В,СР По третьему признаку равенства треугольников треугольники АВС и А~В С| равны.
Итак, угол А,С~Во равный углу АСВ, прямой, т. е. прямые а~ и Ь1 перпендикулярны. Теорема доказана. Зада ч а (1). Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую. Решение. Пусть а — прямая и А — точка на ней (рис. 351). Возьмем любую точку Х вне прямой а и проведем через эту точку и прямую а плоскость а (теорема 15.1). В плоскости а через точку А можно провести прямую Ь.
перпендикулярную прямой а. 144. ПРИЗНАН ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой примой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения (рис. 352). Т е о р е м а 17.2.
Еели прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости. Д о к а за тел ь ство. Пусть а — прямая, перпендикулярная прямым Ь и с в плоскости и. Тогда прямая а проходит через точку А пересечения прямых Ь и с (рис. 353). Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости а.
Проведем произвольную прямую х через точку А в плоскости а и покажем„что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости а произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые Ь, с и х. Пусть точками пересечения будут В, С и Х. Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные отрезки АА~ и ААв Треугольник А~СА равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению (АА1=АА.
). По той же причине треугольник А|ВА тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники А~ВС и А ВС равны по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников А~ВС и А ВС следует равенство углов А~ВХ, А ВХ и, следовательно, равенство треугольников А ~ВХ и А ВХ по первому признаку равенства треугольников. Из равенства сторон А~Х и А..Х этих треугольников заключаем, что треугольник А~ХА.
равнобедренный. Поэтому его медиана ХА является также высотой. А это и значит, что прямая х перпендикулярна а. По определению прямая а перпендикулярна плоскости а. Теорема доказана. 255 е 17. Перпеидииуяяряоеть прямым и плоскостей 145.
ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ 3 а д а ч а (9). Докажите, что через данную точку прямой можно провести одну и только одну перпендикулярную ей плоскость. Р е ш ение. Пусть а — данная прямая и А — точка на ней (рис. 354). Проведем через нее две плоскости и проведем в них через точку А прямые Ь и с, перпендикулярные прямой а.
Плоскость сс, проходящая через зти прямые, перпендикулярна прямой а по теореме 17.2. Докажем, что зта плоскость единственна. Допустим, что, кроме плоскости а, существует другая плоскость се', проходящая через точку А и перпендикулярная прямой а (рис.
355). Пусть  — точка плоскости я', не лежащая в плоскости а. Проведем через точку В и прямую а плоскость. Она пересечет плоскости и и а' но различным прямым Ь и Ь', перпендикулярным прямой а А зто, как мы знаем, невозможно, так как на плоскости через данную точку прямой проходит только одна перпендикулярная ей прямая. Итак, плоскость, проходящая через точку А и перпендикулярная прямой а, единственна. Рис. 354 Рис.
355 Задача (11). Докажите, что через данную точку плоскости можно провести одну и только одну перпендикулярную ей прямую. Р е ш е н и е. Пусть а — данная плоскость и А — точка на ней (рис. 356). Проведем з плоскости а через точку А две прямые Ь и с. Проведем через точку А перпендику- 10 класс Рис. 367 Рис. Зэз лярные им плоскости. Они пересекутся по некоторой прямой о, перпендикулярной прямым Ь и с. Следовательно, прямая о йерпендикулярна плоскости ч. Докажем, что эта прямая единственна. Допустим, что, кроме прямой о, существует другая прямая а', проходящая через точку А и перпендикулярная плоскости и (рис. 357]. Проведем через прямые и и а' плоскость.
Она пересечет плоскость и по некоторой прямой Ь, перпендикулярной прямым о и а'. А это, как мы знаем, невозможно. Итак, прямая, проходящая через данную точку плоскости и перпендикулярная этой плоскости, единственна. 146- СВОЙСТВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Т е о р е м а 17.3. Коли плоскость перпендикулярна одной из двух пвраллельных прямых, то оно перпендикулярна и другой. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть о ~ и а — две параллельные прямые и и — плоскость, перпендикулярная прямой и, (рис. 358). Докажем, что зта плоскость перпендикулярна и прямой а . Проведем через точку А ° пересечения прямой о с плоскостью я произвольную прямую х в плоскости х. Проведем в плоскости и через точку А пересечения прямой о с к прямую хь параллельную прямой х . Так как прямая и перпендикулярна плоскости и, то прямые о н х перпендикулярны. А по теореме 17.1 параллельные им пересекающиеся прямые а и х тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а перпендикулярна любой прямой х в плоскости т.
А. это У 17. Перкекдикуллркассс лрляыл к ллссксеееа Рис. 359 Рис. 368 значит, что прямая ас перпендикулярна плоскости а. Теорема доказана. Задач а (12]. Докажите, что через любую точку А можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости а. Решение. Проведем в плоскости а две пересекающиеся прямые Ь и с (рис. 359). Через точку их пересечения проведем плоскости Р и 7, перпендикулярные прямым Ь и с соответственно.
Они пересекаются по некоторой прямой а. Прямая а перпендикулярна прямым Ь и с, значит„и плоскости а. Проведем теперь через точку А прямую И, параллельную а. По теореме 17.3 она перпендикулярна плоскости а. Т е о р е м а 17.4. Две прямьее, перпендикулярные одной и той же плоскости, тиьраяяеяъны. Доказательство. Пусть а и Ь вЂ” две прямые, перпендикулярные плоскости сс (рис.
360). Допустим, что прямые а и Ь не параллельны. 0 С Выберем на прямой Ь точку С, не лежащую в плоскости а. Проведем через точку С прямую Ь', параллельную прямой а. Прямая Ь' Ь Ь перпендикулярна плоскости и (теорема 17.3). Пусть В и В' — точки пересечения прямых Ь и Ь' с плоскостью а. Тогда прямая ВВ' пер- В пендикулярна пересекающимся сс ! ° прямым Ь и Ь'. Л зто невозможно.
Мы пришли к противоречию. Теорема доказана. Ркс. 360 9 гслыерсл. е — 1~ кы 258 40 класс 147. ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ Пусть даны плоскость и не лежащая на ней точка. Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
Расстоянием от точки до плоскости наэывается длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной. На рисунке 361 из точки А проведены к плоскости а перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка  — основание перпендикуляра, точка С вЂ” основание наклонной.
ВС вЂ” проекция наклонной АС на плоскость а. гие. 362 3 а д а ч а (26). Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости. Ре ш ение. Пусть а — данная прямая и а — данная плоскость [рис. 362). Возьмем на прямой а две произвольные точки Х и У. Их расстояния до плоскости х— это длины перпендикуляров ХХ' и УУ', опущенных на эту плоскость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
