Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 38
Текст из файла (страница 38)
По теореме 17.4 прямые ХХ' и УУ' параллельны, следовательно, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскость а по прямой Х'У'. Пря- 1 17. певненднкнллвность нвнмых и нлссксстеа мая а параллельна прямой Х'У', так как не пересекает содержащую ее плоскость а. Итак, у четырехугольника ХХ'У'У противолежащие стороны параллельны.
Следовательно, он параллелограмм, а значит, ХХ'=УУ'. Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называетса расстояние от любой точки этой прямой до плоскости. Точно так же, как в решении задачи 26, доказывается, что расстояния от любых двух точек плоскости до параллельной плоскости равны, В связи с этим расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости. 143. ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ Т е о р е м а 17.6.
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее правке)ии, то она перпендикулярна наялонной. И обратно: если пряная на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и пресне)ии наклонной. До к а за те л ьст во. Пусть А — перпендикуляр к плоскости а, АС вЂ” наклонная и с — прямая в плоскости а, проходящая через основание С наклонной (рис.
363). Проведем прямую СА', параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости а. Проведем через прямые АВ и А'С плоскость 6. Прямая с перпендикулярна прямой СА'. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости 6, а значит,и прямой АС. Аналогично если прямая с перпендикулярна наклонной СА„ то она, будучи перпендикулярна и прямой СА', перпендикулярна плоскости 6, а значит, и проекции наклонной ВС. Теорема доказана.
Рис. Збз 260 10 класс 3 а д а ч а (46). Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника. Решение. Пусть А, В, С вЂ” точки касания сторон треугольника с окружностью, О— центр окружности и Я вЂ” точка на перпендикуляре (рис. 364). Так 5 как радиус ОА перпендикулярен сторонетреугольника,топо теореме о трех перпендикулярах отрезок ЯА есть перпендикуляр к этой стороне, А а его длина — расстояние от точки Я до стороны треугольника. По теореме Пифагора ЯА = ! .=-~АО'-+ОЯ'=-~Р+ОЯ; где г— радиус вписанной окружности. Аналогично находим ЯВ = = ~/гт+ОЯ~, ЯС = ТР+ ОЯ'. т.
е. все расстояния от точки Я до сторон Г с. ЗЕ4 треугольника равны. !49. ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым. На рисунке 366, а вы видите две перпендикулярные плоскости х и р, пересекающиеся по прямой с. Плоскость Т, перпендикулярная прямой с, пересекает плоскости а и р по перпендикулярным прямым а и Ь Рис.
Ззз г 17. Пеопеноикуллоность полных и плоскостей 261 Любая плоскость, перпендикулярная линии пересечения перпендикулярных плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым. Действительно, если взять другую плоскость 7', перпендикулярную прямой с (рис. 365, б), то она пересечет плоскость я по прямой а', перпендикулярной с, а значит, параллельной прямой а, а плоскость р по прямой Ь', перпендикулярной с и, значит, параллельной прямой Ь. По теореме 17.1 из перпендикулярности прямых а и Ь следует перпендикуляр- ность прямых а' и Ь', что и требовалось доказать. Теорема 17.6.
Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и — плоскость, Ь вЂ” перпендикулярная ей прямая, р — плоскость, проходящая через прямую Ь, и с — прямая, по которой пересекаются плоскости сь н 3 (рис. 366). Докажем, что плоскости и и () перпендикулярны. Проведем в плоскости а через точку пересечения прямой Ь с плоскостью и прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и Ь плоскость у. Она перпендикуляРна прямой с, так как прямая с перпендикулярна прямым а и Ь.
Так как прямые а и Ь перпендикулярны, то плоскости а и Р перпендикулярны. Теорема доказана. Задача (54). Даны прямая а и плоскость сс. Проведите через прямую а плоскость, перпендикулярную плоскости а. Р е ш е н и е. Через произвольную точку прямой а проводим прямую Ь (рис.
367), перпендикулярную плоскости п (задача 13). Через прямые а и Ь проводим плоскость р. Плоскость () перпендикулярна плоскости сс по теореме 17.6. Рис. 367 Р . 666 262 20 класс 110. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ а Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.
д Докажем, что две скрещивающиеся прямые имеют общий нер- а д пендинуяяр,и притом только один. Он явяяетея общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через зти прямые. Действительно, пусть а и Ь вЂ” данные скрещивающиеся прямые (рис. 368). Проведем через них параллельные плоскости а н 8. Прямые, пересекающие прямую а и перпендикулярные плоскости и, лежат в одной плоскости (у).
Эта плоскость пересекает плоскость 8 по прямой а', параллельной а. Пусть В.— точка пересечения прямых а' и Ь. Тогда прямая АВ, перпендикулярная плоскости а, перпендикулярна и плоскости р, так как р параллельна а. Отрезок А — общий перпендикуляр плоскостей а и 8, а значит, и прямых а и Ь. Докажем, что этот общий перпендикуляр единственный. Допустим, что у прямых а и Ь есть другой общий перпендикуляр СВ. Проведем через точку С прямую Ь', параллельную Ь. Прямая СО перпендикулярна прямой Ь, а значит, и Ь'.
Так как она перпендикулярна прямой а, то она перпендикулярна плоскости а, а значит, параллельна прямой АВ. Выходит, что через прямые АВ и СО, как через параллельные, можно провести плоскость. В этой плоскости будут лежать наши скрещивающиеся прямые АС и ВР, а это невозможно, что и требовалось доказать. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые. 111. ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ В ТЕХНИЧЕСКОМ ЧЕРЧЕНИИ В черчении применяется ортогональное проектирование, т.
е. параллельное проектирование прямыми, перпендикулярными плоскости проекции. Чертежи деталей машин получаются путем ортогонального проектирования на одну, две или три взаимно перпендикулярные плоскости. Эти плоскости назы- у 17. Пернендинулнрнооть нрнних и нхоеноетеа ваются плоскостями проекций.
Плоскости проекций с проекциями изображаемой детали на них совмещаются поворотом около прямых, по которым они пересекаются. Па рисунке 369 показано выполнение чертежа болта путем проектирования на две плоскости: горизонтальную Н и вертикальную Ъ'. хХертеж болта в двух проекциях показан на рисунке 370.
Рис. 339 Рис. 370 При выполнении чертежей деталей машин пользуются различными условностями, предусмотренными стандартом. В частности, резьба условно изображается сплошной тонкой линией, а центровые и осевые — штрихпунктирными линиями. Эти условности изображения применены на чертеже болта (рис. 370). КОНТРОЛЬНО ВОПРОСЫ Ф 1.
Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными? 2. Докажите, что пересекающиеся прямые, соответственно параллельные перпендикулярным прямым, сами перпендикулярны. 264 т 0 гсласс 3. Дайте определение перпендикулярности прямой и плос- кости. 4. Докажите признак перпендикулярности прямой и плос- кости. 5. Докажите, что если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. 6.
Докажите, что две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. 7. Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость? 8. Что называется расстоянием от точки до плоскости? 9. Что такое наклонная, проведенная из данной точки к плоскости? Что такое проекция наклонной? 10.
Докажите теорему о трех перпендикулярах. 11. Какие плоскости называются перпендикулярными? 12 Докажите признак перпендикулярности плоскостей. 13. Что такое общий перпендикуляр скрещивающихся пря- мых? 14. Докажите, что скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через зти прямые. 15. Что называется расстоянием между скрещивающимися прямыми? ЗАДАЧИ 1. Докажите, что через любую точку прямой в простран- И стае можно провести перпендикулярную прямую.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
