Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 42
Текст из файла (страница 42)
392 8 а д а ч а (43). Две плоскости пересекаются под углом 30 . Точка А, лежащая э одной из этих плоскостей, отстоит от второй плоскости на расстояние о. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей. Решение. Пусть сс и 8 — данные плоскости и А— точка, лежащая в плоскости а (рис. 393). Опустим перпендикуляр АА' на плоскость )) и перпендикуляр АВ на прямую с, по которой пересекаются плоскости.
По теореме о трех перпендикулярах А'В ) с. Плоскость треугольника АВА' перпендикулярна прямой с и потому угол при вершине В прямоугольного треугольника АВА' равен 30'. Имеем: АА' 1 АВ= —.„=а: — =2а. все 30" " 2 Расстояние от точки А до прямой с равно 2а. 143. ПЛОЩАДЬ ОРТОГОНАЛЬНОИ ПРОЕКЦИИ МНОГОУГОЛЬНИКА Т е о р е м а 18.1. Плон)идв ортогональной правке)ии многоугольника но плоскость равна прои введению его плов)иди на кодс р др т о иногод лв и вю проекции. Доказательство.
Рассмотрим сначала треугольник и его проекцию на плоскость, проходящую через одну из его сторон (рис. 394). Проекцией треугольника АВС является треу- 284 10 иласс гольник АВС ~ в плоскости сс. Проведем высоту СВ треугольника АВС. По теореме о трех перпендикулярах отрезок С~В— высота треугольника АВСР Угол СВС~ равен углу ср между плоскостью треугольника АВС и плоскостью проекции сс. Имеем: С ~ В = СВ соз ср, алис= — АВ.СВ, алис,= ~ АВ С~,О.
лис — с Отсюда Ялис =Ялис соз ~р. Таким образом, в рассматриваемом случае теорема верна. Теорема верна и в случае, когда вместо плоскости и взята любая параллельная ей плоскость. Действительно, при проектировании фигуры на параллельные плоскости ее проекции совмещаются параллельным переносом в направлении проектирования. А совмещаемые параллельным переносом фигуры равны.
Рис. 394 Рис. Зза Рассмотрим теперь общий случай. Разобьем данный многоугольник на треугольники. Каждый треугольник, у которого нет стороны, параллельной плоскости проекции, мы разобъем на два треугольника с общей стороной, параллельной плоскости проекции, как это показано для четырехугольника АВСВ на рисунке 395. Теперь для каждого треугольника сл нашего разбиения и его проекции ~"~' запишем равенство Я =Я соз ~р. Сложим все зти равенства почленно. Тогда получим слева площадь проекции многоугольника, а справа площадь самого многоугольника, умноженную на соз ~р. Теорема доказана. 1 18.
Декортовы координаты и векторы в проотрвнотве 154. ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ В пространстве, как и на плоскости, векторам называется направленный отрезок. Буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия для векторов в пространстве: абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов. Координатами вектора с началом в точке А ~ (х~; уб г~) и концом в точке Аз(хз, уз, гз) называются числа хз — хо уз — уь г — гы Так же как и на плоскости, доказывается, что равные векторы имеют соответственно равные координаты и, обратно, векторы с соответственно равными координатами равны. Это дает основание для обозначения вектора его координатами: а (аа аз, аз) или просто (а~,' аз', аз). 3 а да ч а (50). Даны четыре точки А (2; 7; — 3),В(1; 0; 3), С(--3; — 4; 5), В( — 2; 3; — 1).
Укажите среди векторов АВ, ВС, РС, АВ, АС и ВП равные векторы. Р е ш е н и е. Надо найти координаты указанных векторов АВ, ВС, ... и сравнить соответствующие координаты. У равных векторов соответствующие координаты равны. Например, у вектора АВ координаты: 1 — 2 = — 1, 0 — 7 = = — 7, 3 — ( — 3)=-.6. У вектора ПС такие же координаты: — 3 — ( — 2)= — 1, —,4 — 3= — 7, 5 — ( — 1)=6.
Таким образом, векторы АВ и ПС равны. Другой парой равных векторов будут ВС и АП. 165. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ В ПРОСТРАНСТВЕ Так же как и на плоскости, определяются действия над векторами: сложение, умножение на число и скалярное произведение. Суммой векторов а (аа аз, аз) и Ь (Ь|', Ьз, Ьз) называетея вектор с(а, +Ь,; а,+Ьз; аз+Ьз). Так же как и на плоскости, доказывается векторное равенство АВ+ ВС = А С. Произведением вектора а(а~, аз, аз) на число 1 называется вектор Аа=(Ха~; Хаз, )аз). Так же как и на плоскости, доказывается, что абсолютная величина вектора Ха равна ~Х) ~а1, а направление совпадает с направлением вектора а, если 1 з О, и противоположно направлению вектора а, если Х~О.
286 10 класс Задача (54). Дан вектор а(1; 2; 3). Найдите коллинеарный ему вектор с началом в точке А (1; 1; 1) н концом В на плоскости ху. Р е ш е н и е. Координата 3 тоЧки В равна нулю. Координаты вектора АВ: х — 1, у — 1, 0 — 1 = — 1. Из коллинеарности векторов а н АВ получаем пропорцию х — 1 3 †1 2 3 Отсюда находим координаты х, у точки В: 2 1 3' 3' х= —, у= —. Скалярным произведением векторов(а~; а~; а4) н(Ь|, Ь~, Ьз) называется число а~Ь|+аиЬ|+азЬ1. Буквально так же, как и на плоскости, доказывается, что скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между векторами.
1 3 а д а ч а (59). Даны четыре точки А (О; 1; — 1), В(1; — 1; 2), С (3; 1; О), В(2; — 3; 1). Найдите косинус угла ср между векторами АВ и Сй. Р е ш е н и е. Координатами вектора АВ будут 1 — 0=1, — 1 — 1= — 2, 2 — ( — 1)=3; )АВ(=-)(12+(~2) +32=.1/14. Координатами вектора СР будут 2 — 3= — 1, — 3 — 1= — 4, 1 — 0=1„ (СХ)) =-1 — 1)~+( — 4)'+1'= /18. Значит, Ай.СП 14 — 1)+~ — 2)( — 4)+3 1 5 )АЯ) )С1)). ~(14-1(18 1(63 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1.
Объясните, как определяются координаты точки в пространстве. 2. Выразите расстояние между двумя точками через координаты зтих точек. 3. Выведите формулы для координат середины отрезка через координаты его концов. 1 1В. Декартовы координоты и векторы в ороетронетве 4. Что такое преобразование симметрии относительно точки? Какая фигура называется центрально-симметричной? 5. Объясните, что такое преобразование симметрии относительно плоскости. Что такое плоскость симметрии фигуры? 6.
Какое преобразование фигуры называется движением? 7. Докажите, что движение в пространстве переводит плоскость в плоскость. 8, Какие фигуры в пространстве называются равными? 9. Дайте определение параллельного переноса. 10. Перечислите свойства параллельного переноса.
11. Докажите, что при параллельном переносе з пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную плоскость. 12.' Что такое преобразование подобия? Перечислите его свойства. 13, Какое преобразование называется гомотетией? Докажите, что преобразование гомотетии в пространстве переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя). 14. Дайте определение угла между скрещивающимися прямыми. 15. Дайте определение угла между прямой и плоскостью.
16. Дайте определение угла между плоскостями. 17. Докажите, что площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его плошади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью его проекции. 18. Что такое абсолютная величина вектора? Какие векторы называются одинаково направленными? 19. Дайте определение координат вектора с началом в точке А~ (хк Ук з1) н кОНЦОм в тОчке Ае (хо, Уе, зв). 20. Дайте определение действий над векторами: сложения, умножения на число, скалярного произведения. ЗАДАЧИ И 1. Где лежат те точки пространства, для которых координаты х и у равны нулю? 2.
Даны точки А ~1; 2; 3), В [О; 1; 2), С (О; 0; 3). В(1; 2; 0). Какие из этих точек лежат: 1) в плоскости ху; 2) на оси з; 3) в плоскости уг? 3. Дана точка А(1; 2; 3). Найдите основания перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные оси и координатные плоскости. И 4. Найдите расстояния от точки (1; 2; — 3) до: 1) координатных плоскостей; 2) осей координат; 3) начала координат. 288 10 класс 5. В плоскости ху найдите точку Р (х; у; О), равноудаленную от трех данных точек: А (О", 1; — 1), В ( — 1; 0; 1), С(0; — 1; 0). 6. Найдите точки, равноотстоящие от точек (О; 0; 1), (О; 1; 0), Л; 0; 0) и отстоящие от плоскости уз на расстояние 2. 7.
На оси х найдите точку С(х; 0; 0), равноудаленную от двух точек А (1; 2; 3), В( — 2; 1; 3). 8. Составьте уравнение геометрического места точек пространства, равноудаленных от точки А (1; 2; 3) и начала координат. П 9. Докажите, что четырехугольник АВСР с вершинами в точках А (1; 2; 3), В (О; 2; 4), С (1; 1; 4), Р (2; 2; 2) является параллелограммом. 10.
Докажите, что четырехугольник АВСР являетсн параллелограммом, если: 1) А (О; 2; — 3), В( — 1„1; 1), С (2; — 2; — 1),Р (3; — 1; ' — 5) 2) А (2'* 1' 3). В (1: 0: 7) С ( — 2~ 1 5) Р( — 1; 2; 1). 11. Докажите, что четырехугольник АВСР является ромбом, если: 1) А (6; 7; 8), В (8; 2; 6), С (4; 3„2), Р (2; 8„4); 2) А (О; 2; 0), В(1; 0; 0), С(2; 0; 2), Р(1; 2; 2).
' 12. Даны один конец отрезка А (2; 3; — 1) и его середина С (1; 1; 1). Найдите второй конец отрезка В (х; у; з). 13. Найдите координаты вершины Р параллелограмма АВСР, если координаты трех других его вершин известны: 1) А (2; 3; 2), В (О; 2; 4), С (4; 1; 0); 2) А (1; — 1; 0),В (О; 1; — 1), С ( — 1; 0; 1); 3) А (4; 2; — 1), В (1; — 3; 2), С ( — 4; 2„1). 14. Докажите, что середина отрезка с концами в точках А (а; с; — Ь) и В ( — а; д; Ь) лежит на оси у. 15. Докажите, что середина отрезка с концами в точках С (а; Ь; с) и Р (р;, з; — с) лежит в плоскости ху. И 16.
Докажите, что преобразование симметрии относительно координатной плоскости ху задается формулами х'=х, у'=у, з'= — х. 17. Даны точки (1; 2; 3), (О; — 1; 2), (1; 0; — 3). Найдите точки, симметричные данным относительно координатных плоскостей. 18. Даны точки (1; 2; 3), (О; — 1; 2), (1; 0; — 3). Найдите точки, симметричные им относительно начала координат. П 19. Докажите, что преобразование симметрии относительно точки есть движение. 20*. Докажите, что преобразование симметрии относительно плоскости есть движение.
21. Докажите, что при движении в пространстве круг переходит в круг того же радиуса. 22. Докажите, что при движении в пространстве три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, также лежащие на одной прямой. 1 1о. Декартовы коороикаты и векторы в ороетракетве 23.
Найдите значения а, Ь, с в формулах параллель- П 158 р х'= +а, у'=у+Ь, г'= +с, и при этом параллельном переносе точка А (1; 0; 2) переходит в точку А' (2; 1; 0). 24. При параллельном переносе точка А (2; 1; — 1) переходит в точку А' (1; — 1; 0).
В какую точку переходит начало координат? 25. Существует ли параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку В, а точка С вЂ” в точку Р, если: 1) А (2; 1; 0), В (1; 0; 1), С (3; — 2; 1), Р (2«, — 3; 0); 2) А( — 2; 3; 5), В(1; 2; 4), С(4; — 3; 6), Р(?; — 2; 5); 3) А (О; 1~ 2), В ( — 1; 0; 11, С (3; — 2; 2), Р (2; — 3; 1); 4) А (1~ 1; 0), В (О; 0; 01 С ( — 2; 2; 1), Р (1; 1", 1)? 26. Докажите, что при параллельном переносе параллелограмм переходит в равный ему параллелограмм. 27. Четыре параллельные прямые пересекают параллельные плоскости в вершинах параллелограммов АВСР и А ~В~С~Р~ соответственно.
Докажите, что параллелограммы АВСР и А~В~С~Р~ совмещаются параллельным переносом. П 28. Докажите, что преобразование гомотетии в пространстве является преобразованием подобия. 29. Три прямые, проходящие через точку В, пересекают данную плоскость в точках А, В, С. а параллельную ей плоскость в точках Аы Вы Сы Докажите, что треугольники АВС и А~В~С~ гомотетичны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
