Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 45
Текст из файла (страница 45)
304 11 иласс Доказательство. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед АВСВА'В'С'В' (рис. 416). Из прямоугольного треугольника АС'С по теореме Пифагора получаем1 Ас'~=АС +СС'. ,о Из прямоугольного треугольника АСВ по теореме Пифагора получаем АС'=АВ'+ ВС'. Отсюда А АС' =СС' +АВ'+ВС'. Ребра АВ, ВС и СС' не параллельРис. 416 ны, а следовательно, их длины являются линейными размерами параллелепипеда. Теорема доказана.
ТУз. СИММЕТРИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА У прямоугольного параллелепипеда, как у всякого параллелепипеда, есть центр симметрии — точка пересечения его диагоналей. У него есть также три плоскости симметрии, проходящие через центр симметрии параллельно граням. На рисунке 416 показана одна из таких плоскостей. Она проходит через середины четырех параллельных ребер параллелепипеда. Концы ребер являются симметричными точками. Если у параллелепипеда все линейные размеры разные, то у него нет других плоскостей симметрии, кроме названных. Если же у параллелепипеда два линейных размера равны, то у него есть еще две плоскости симметрии.
Это плоскости диагональных сечений, показанные на рисунке 417. Рис. 416 Рис. 417 Ю тя. Миогогганниеи Если у параллелепипеда все линейные размеры равны, т. е. он является кубом, то у него плоскость любого диагонального сечения является плоскостью симметрии. Таким образом, у куба девять плоскостей симметрии. 176. ПИРАМИДА Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника — основания пи ром иды, точки, не лежащей в плоскости основания,— вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания (рис.
418). Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами. Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань — треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной — сторона основания пирамиды.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Пирамида называется п-угольной, если ее основанием является и-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром. У пирамиды, изображенной на рисунке 413, основание— многоугольник А ~Аь..А„вершина пирамиды — Я, боковые ребра — ЯА ~„ЯАь ..., ЯА„, боковые грани — Л ЯА ~Аь Л ЯАтАз, --- В дальнейшем мы будем рассматривать только пирамиды с выпуклым многоугольником в основании. Такие пирамиды являются выпуклыми многогранниками.
Рис. 418 306 11 ккасс ТУУ. ПОСТРОЕНИЕ ПИРАМИДЫ И ЕЕ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение пирамиды строится следующим образом. Сначала строится основание. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем отмечается вершина пирамиды, которая соединяется боковыми ребрами с вершинами основания. На рисунке 418 показано изображение пятиугольной пирамиды. Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники (рис.
419). В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды (рис. 420). Сечение пирамиды плоскостью с заданным следом я на плоскости основания строится так же, как н сечение призмы. Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью. Если на грани, не параллельной следу д, известна какая- нибудь точка А, принадлежащая сечению, то сначала строится пересечение следа а секущей плоскости с плоскостью этой грани — точка Р на рисунке 421. Точка Р соединяется с точкой А прямой. Тогда отрезок этой прямои, принадлежащий грани„ есть пересечение атой грани с секущей плоскостью.
Если точка А лежит на грани, параллельной следу д, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку, параллельному прямой д. Переходя к соседней боковой грани, строят ее пересечение с секущей плоскостью и т. д. В итоге получается требуемое сечение пирамиды. Рис. 419 Рис. 420 1 19. Многогранники Рис. 422 Рнс. 421 На рисунке 422 построено сечение четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку А на одном из ее боковых ребер.
178. УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА Т е о р е м а 19.5. Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 8 — вершина пирамиды, А— вершина основания и А' — точка пересечения секущей плоскости с боковым ребром 8А (рис. 423). Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии относительно вершины 8 с коаффициентом гомотетии оА' ГА " При етой гомотетии плоскость основания переходит в параллельную плоскость, проходящую через точку А', т. е. в секущую плоскость, а следовательно, вся пирамида — з отсекаемую атой плоскостью часть.
Гак как гомотетия есть преобразование подобия, то отсекаемая часть пирамиды является пирамидой, подобной данной. 'Георема доказана. По теореме 19.5 плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды и пересекающая ее боковые ребра, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой (рис. 4241 Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями; остальные грани называются 303 11 класс Рис. 423 Рис. 424 боковыми гранями.
Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные (более того, гомотетнчные) многоугольники, боковые грани — трапеции. 3 а д а ч а (54). Боковое ребро пирамиды разделено на четыре равные части,и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Площадь основания равна 400 см'. Найдите площади сечений. Р е ш е н и е. Сечения подобны основанию пирамиды с коэффициентами подобия —, — и —. Площади подобных 1 2 3 4'44 фигур относятся как квадраты линейных размеров.
Поэтому отношения площадей сечений к площади основания пирамиды есть) — ],( — ) и( — ] . Следовательно, площади сечений равны 400( — ) =25 (см ), 400-( — ) =100 (сма], 400 ( — ) =225 (смг). 379. ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту. Очевидно, у правильной пирамиды боковые ребра равны; следовательно, боковые грани — равные равнобедренные треугольники. 1 1Э. Миогогроноини Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется анафемой. Боковой поверхностьЮ пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.
Т е о р е м а Ы.б. Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению пол упериметра основания нв анафему. До к а з а тел ь с тв о. Если сторона основания а, число сторон и, то боковая поверхность пирамиды равна: о1 оп! гг1 и= 2 2 2 где 1 — апофема, а р — периметр основания пирамиды. Теорема доказана. Усеченная пирамида, которая получается из правильной пирамиды. также называется правильной. Боковые грани пра вильной усеченной пирамиды — равные равнобокие трапеции' нх высоты называются анафемами. 3 а д а ч а (69). Докажите, что боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полУ- суммы периметров оснований на апофему.
Реш ение. Боковые грани усеченной пирамиды трапеции с одним и тем же верхним основанием а, ниж ннм Ь и высотой (апофемой) 1. Поэтому площадь одной 1 грани равна — (а+ Ь)1. Площадь всех граней, т. е. боковак 1 поверхность, равна — (ап+ Ьп)1, где и — число вершин У основания пирамиды, ап и Ьп — периметры оснований пирамиды. $60. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ Выпуклый многогранник называетея правильним, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и теМ же числом сторон и в каждой вершине многогранника еходитсн одно и то же число ребер. Существует пять типов правильных выпуклых многогранников (рис. 426): правил ьный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр икосаэдр.
У правильного тетраэдра грани — правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр пред ставляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны. У куба все грани — квадраты; в.каждой вершине сходится Тевроэдо Кдд Октоэдр Додекоэдр Икосоэдр Рис. 423 по три ребра.
Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. У октаэдра грани — правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра. У додекаэдра грани — правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра. У икосаэдра грани — правильные треугольники, но в.отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер. 3 а д а ч а (81). Найдите двугранные углы правильного тетраэдра, Р е ш е н и е. Проведем из вершины Я тетраэдра высоты ЯА, ЯВ, ЯС его граней, сходящихся в этой вершине, и высоту ЯО тетраэдра (рис. 428). Если ребро тетраэдра обозначить через а, то высоты граней будут равны а -,(3 —.
Из равенства высот ЯА, ЯВ, ЯС следует равенство 2 отрезков ОА, ОВ, ОС. А они перпендикулярны сторонам треуголь- 5 ника в основании тетраэдра (по теореме о трех перпендикулярах). Отсюда следует, что точка О является центром окружности, вписанной в основание тетраэдра. Следовательно, отрезки ОА, ОВ и ОС а .~~3 равны — . Обозначим через ~р 6 двугранный угол при ребре, содержащем точку А. Тогда ОА а С'3 .
а-АЗ соз ср= — = —: — = Аь" 6 2 = 1, <р 70'82'. 3' Очевидно, двуграиные углы при остальных ребрах тетраэдра такие же по величине. Рис. 426 1 19. Многогранники 311 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что такое двугранный угол (грань угла, ребро угла)? 2. Что такое линейный угол двугранного угла? 3. Почему мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла? 4. Объясните, что такое трехгранный угол (грани и ребра трехгранного угла). б. Объясните, что такое плоские и двугра нные углы трехгранного угла. 6.
Что такое многогранник? 7. Какой многогранник называется выпуклым? 8. Что такое грань выпуклого многогранника, ребро, вершина? 9. Что такое призма (основания призмы, боковые грани, ребра)? 10. Докажите, что у призмы основания лежат в параллельных плоскостях и равны, боковые ребра параллельны и равны, боковые грани — параллелограммы. 11. Что такое высота призмы? 12. Что такое диагональ призмы? 13. 'Что представляет собой сечение призмы плоскостью, параллельной боковым ребрам, в частности диагональное сечение? 14. Как строится сечение призмы плоскостью, проходящей через данную прямую в плоскости Основания призмы и данную точку на одной из боковых граней? 15. Какая призма называется прямой (наклонной)? 16.
Какая призма называется правильной? 17. Что такое боковая поверхность призмы (полная поверхность призмы)? 18. Докажите, что боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. 19. Что такое параллелепипед? 20. Докажите, что у параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны. 21. Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. 22. Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его пентром симметрии. 23. Какой параллелепипед называется прямоугольным? Что такое линейные размеры прямоугольного параллелепипеда? 24. Что такое куб? 25. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
