Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины — вершинами многограннина. Поясним сказанное на примере знакомого вам куба (рис. 404). Куб есть выпуклый многогранник. Его поверхность .состоит из шести квадратов: АВСВ, ВЕгС, .... Они являются его гранями. Ребрами куба являются стороны этих квадратов: АВ, ВС, ВЕ, ... Вершинами куба являются вершины квадратов: А, В; С, О, Е, ... У куба шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин.
Простейшим многогранникам — призмам и пирамидам, которые будут основным объектом нашего изучения,— мы дадим такие определения, которые, по существу, не используют понятие тела. Они будут определены как геометрические фигуры с указанием всех принадлежащих им точек пространства. Понятие геометрического тела и его поверхности в общем случае будет дано позже. Рис. 404 Рис, 4ОЗ 297 Я 19.
Многогранники 199. ПРИЗМД Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, н всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников (рис. 405). Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие вершины,— боковыми ребрами призмы. Рис. 405 Так как параллельный перенос есть движение, то основания призмы равны. Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то у призмы основания лежат в параллельных плоскостях. Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (илн совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то у призмы боковые ребра параллельны и равны.
Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности. Боковал поверхность состоит из параллелограммов. У каждого из этих параллелограммов две стороны являются соответствующими сторонами оснований, а две другие — соседними боковыми ребрами. Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы. Призма называется п-угольной, если ее основания— п-утольники. 298 11 ««асс В дальнейшем мы будем рассматривать только призмы, у которых основания — выпуклые многоугольники. 'Ганне призмы являются выпуклыми многогранниками. На рисунке 405 изображена пятиугольная призма.
У нее основаниями являются пятиугольники А ~Аз...Ам А(А(...А~. ХХ' — отрезок, соединяющий соответствующие точки оснований. Боковые ребра призмы — отрезки А~А(, А А(, ..., А,А;. Боковые грани призмы — параллелограммы А ~АгА(А(, А4А4А4А2, -. ° 170.
ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРИЗМЫ И ПОС1РОЕНИЕ ЕЕ СЕЧЕНИЙ В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение призмы строится следующим образом. Сначала строится одно из оснований Р (рис. 406). Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем из вершин многоугольника Р проводятся боковые ребра призмы в виде параллельных отрезков равной длины. Концы этих отрезков соединяются и получается другое основание призмы.
Невидимые ребра проводятся штриховыми линиями. Сечения призмы плоскостями, параллельными боковым ребрам, являются параллелограммами. В частности, параллелограммами являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани (рис. 407). На практике, в частности, при решении задач часто приходится строить сечение приамы плоскостью, проходящей через заданную прямую я на плоскости одного из оснований приз- Рис.
406 Рис. 407 Ю 19. Многогранники гва. 408 мы. Такая прямая называется следом секущей плоскости на плоскости основания. Для построения сечения призмы достаточно построить отрезки пересечения секущей плоскости с гранями призмы. Покажем, как строится такое сечение, если известна какая-нибудь точка А на поверхности призмы„принадлежащая сечению (рис. 408). Если данная точка А принадлежит другому основанию призмы, то его пересечение с секущей плоскостью представляет собой отрезок ВС, параллельный следу д и содержащий данную точку А (рис. 408, а). Если данная точка А принадлежит боковой грани, то пересечение этой грани с секущей плоскостью строится, как показано на рисунке 408, б. Именно: сначала строится точка В, в которой плоскость грани пересекает заданный след д. Затем проводится прямая через точки А и В. Отрезок ВС прямой АЮ на рассматриваемой грани и есть пересечение этой грани с секущей плоскостью.
Если грань, содержащая точку А, параллельна следу д, то секущая плоскость пересекает зту грань по отрезку ВС, проходящему через точку А н параллельному прямой к. Конпы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с нашей секущей плоскостью. И т. д. 300 11 класс Рис. 409 с нке 409 показано построение сечения четырехугольью п ходящей через прямую а в плоскос- А б ти нижнего основания призмы и точку ковых ребер.
!У!. ПРЯМАЯ ПРИЗМА П изма называется прямой, если ее боковые ребра перпенПризма назы . В противном случае призма называется дикулярны основаниям. проти грани являются прямоуголь- У прямой призмы ковые г никами. При изображении п рямой призмы на рисунке боковые реб обычно проводят вертикально (рис. 410). ребра ычн ильной, если ее основания Прямая призма называется прав являются правильными многоу гольниками. ью боковой хностью призмы (точнее, площадью к в " Боковой поверхнос р вается сумма площадеи ковы " бо х граней.
Пол- б й нея поверхность призмы равна сумме оково п площадей оснований. Теорема . оков 19.1 Боковая поверхность прямой приамы равна произведению периметра основания на высоту р на длину бокового Ребро- в ани прямой призмы— оказ ательство. Боковые грани п я а его в основании призмы сторонами ами многоугольника, лежащего в а высоты равны длине боковых ребер.
Отсюда следует, что боковая поверхность призмы равна Я = а Д + а 41 + ... + а„1 = р1, где а ь ..., а — длины ребер основания, р — периметр основания призмы, а 1 — длина боковых ребер. Теорема доказана. Рис. 410 Рис. 411 3 а д а ч а (22). В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен р, а боковые ребра равны 1. Р е ш е н и е. Плоскость проведенного сечения разбивает призму на две части (рис.
411). Подвергнем одну из них параллельному переносу, совмещающему основания призмы. При этом получим прямую призму, у которой основанием служит сечение исходной призмы, а боковые ребра равны 1. Эта призма имеет ту же боковую поверхность, что и исходная. Таким образом, боковая поверхность исходной призмы равна р1. 471. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани— параллелограммы.
На рисунке 412,а изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке 412, б — прямой параллелепипед. Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, назы- ваются противолежащими. 302 11 класс Рис. 412 Т е о р е м а 19.2. К наралпепенинвда нротивопежаи4ив грани нараллвлъны и равны. Доказательство. Рассмотрим какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда, например А~АгА1А~ и АзА»АЫ» 1рис. 413). Так как все грани параллелепипеда— параллелограммы, то прямая А ~Аг параллельна прямой А»Аи а прямая А»А~ параллельна прямой А»А».
Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны. Из того, что грани параллелепипеда — параллелограммы, следует, что отрезки А~А», А~А», А1А1 и АгА» — параллельны и равны. Отсюда заключаем, что грань А~АгАгА~ совмещается параллельным переносом вдоль ребра А~А» с гранью АгА»А»А1.
Значит, эти грани равны. Аналогично доказывается, параллельность и равенство любых других противолежащих граней параллелепипеда. Теорема доказана. й» Рис. 413 1 1г. много»»»анники 173. ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА Т е о р е м а 19.3. Диагонали параллелепипеда пересеканпся в одной точке и точ- 4 кой пересечения делятся пополам.
Д о к аз а тельство. Рассмотрим какие-нибудь две диагонали параллелепипеда, например А»Аз и А»А» (рис. 414). Так как четырехугольники А,А»А»А» и А»А»А»А» — параллелограммы с общей стороной АгАь то их стороны А ~А» и А»А» А4 параллельны друг другу, а значит, лежат в одной плоскости.
Эта плоскость пересе- А, кает плоскости противолежащих граней параллелепипеда по параллельным пря- Р»»с. 414 мым А»Аг и А»А 1. Следовательно, четырехугольник А»А»А 'А»вЂ” параллелограмм. Диагонали параллелепипеда А»А» и А»А» являются диагоналями этого параллелограмма. Поэтому они пересекаются н точкой пересечения О делятся пополам. Аналогично доказывается, что диагонали А»А» и А»А», а также диагонали А»А» и А»А» пересекаются н точкой пересечения делятся пополам. Отсюда заключаем, что все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана. Из теоремы 19.3 следует, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.
174. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом. Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измеренилмий У прямоугольного параллелепипеда три измерения. Т е о р е м а 19.4. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали раве» сумме квадратов трех его измерений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
