Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 43
Текст из файла (страница 43)
П 30. Прямая а лежит в плоскости а, а прямая Ь перпендикулярна этой плоскости. Чему равен угол между прямыми а и Ь? 31*. Даны три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Чему равен угол между прямыми СА и СВ, если этн прямые образуют углы ес и 6 с прямой АВ и а+6(90'? 32. Прямые а, Ь, с параллельны одной и той же плоскости.
Чему равен угол между прямыми Ь и с, если углы этих прямых с прямой а равны 60' и 80'? 33. Докажите, что любая прямая на плоскости, перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной. 34. 1) Докажите, что прямая, пересекающая параллельные плоскости, пересекает их под равными углами. 2) Докажите, что плоскость, пересекающая параллельные прямые, пересекает их под равными углами.
35. Точка А отстоит от плоскости на расстояние Ь. Найдите длины наклонных, проведенных из этой точки под следующими углами к плоскости: 1) 30; 2) 45'1 3) 60'. 10 теоке р е. т — и ке. 290 тс класс 36. Наклонная равна а. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если наклонная составляет с плоскостью угол, равный: 1) 45', 2) 60', 3) 30'7 37. Отрезок длиной 10 и пересекает плоскость, концы его находятся на расстояниях 2 м и 3 м от плоскости. Найдите угол между данным отрезком и плоскостью. 38. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45' и 30', а между собой прямой угол. Найдите расстояние между концами наклонных (рис. 396).
Рис. 396 39. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45', а между собой угол 60". Найдите расстояние между концами наклонных. 40. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные под углом 30* к плоскости, причем их проекции образуют угол 120'. Найдите расстояние между концами наклонных.
41. Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника проведена плоскость под углом 45' ко второму катету. Найдите угол между гипотенузой и плоскостью. И 42. Докажите, что плоскость, пересекающая параллель- ные плоскости, пересекает их под равными углами. 43. Две плоскости пересекаются под углом 30'. Точка А, лежащая в одной из этих плоскостей, отстоит от второй плоскости на расстояние а. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей. 44. Найдите угол между плоскостями, если точка, взятая на одной из них, отстоит от прямой пересечения плоскостей вдвое дальше, чем от второй плоскости. 45. Два равнобедренных треугольника имеют общее основа- ние, а их плоскости образуют угол 60'. Общее оснсва- ф 18.
Декартовы координаты и векторы в пространстве 991 ние равно 16 и, боковая сторона одного треугольника 17 м, а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников. 46. Равнобедренные треугольники АВС и АВР с общим основанием АВ лежат в различных плоскостях, угол между которыми равен а. Найдите соз сс, если: 1) АВ=24 см, АС=13 см, АР=37 см, СР=35 см; 2) АВ=32 м, АС=65 м. АР=20 м, СР=63 м.
47. Катеты прямоугольного треугольника равны 7 м и 24 м. Найдите расстояние от вершины прямого угла до плоскости, которая проходит через гипотенузу н составляет угол 30' с плоскостью треугольника. П 48. Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найдите площадь его ортогональной проекции на плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол, равный: 1) 30', 2) 45', 3) 60'. 48. 1) Найдите площадь ортогональной проекции треугольника АВС из задачи 46 на плоскость треугольника АВР. 2) Найдите площадь ортогональной проекции треугольника АВР из задачи 46 на плоскость треугольника АВС. П 50.
Даны четыре точки А (2; 7; — 3), В(1; О; 3), С ( — 3; — 4; 5), Р ( — 2; 3; — 1). Укажите среди векторов АВ, 164 ВС, РС„АР, АС и ВР равные векторы. 51. Даны три точки А (1; 0; 1), В( — 1; 1; 2), С(0; 2; — 1). Найдите точку Р(х; у; з), если векторы АВ и СР равны. П' 52. Найдите точку Р в задаче 51, если сумма векторов АВ и СР равна нулю. 53. Даны векторы (2; и; 3) и (3; 2; т). При каких т и и зти векторы коллинеарны? 54. Дан вектор а (1; 2; 3). Найдите коллннеарный ему вектор с началом в точке А (1; 1; 1) и концом В на плоскости ху. 55. Прн каком значении п данные векторы перпендикулярны: 1) а(2; — 1; 3), Ь(1; 3; и); 2) а (и; — 2; 1), Ь (и; — и; 1); 3) а (и; — 2; 1), Ь (и; 2и; 4); 4) а (4; 2п; — 1), Ь ( — 1; 1; и)? 56.
Даны три точки А (1; 0; 1), В ( — 1; 1; 2), С (О; 2; — 1). Йайдите на оси з такую точку Р (О; 0; с), чтобы векторы АВ и СР были перпендикулярны. 57*. Векторы а и Ь образуют угол 60', а вектор с им перпендикулярен. Найдите абсолютную величину вектора а+ Ь+ +с. 58*. Векторы а, Ь, с единичной длины образуют попарно углы 60'. Найдите угол ц между векторами: 1) а и Ь+с; 2)аиЬ вЂ” с. 292 20 класс 59.
Даны четыре точки А (О; 1; — 1), В(1; — 1; 2), С (3; 1; 0), Р(2; — 3; 1). Найдите косинус угла ср между векторами АВ и СР. 60. Даны три точки А (О; 1; — 1), В(1; — 1; 2), С(3; 1; 0). Найдите косинус угла С треугольника АВС. 61*, Докажите, что угол ср между прямыми, содержащими векторы а и Ь, определяется из уравнения )аЬ! =)а) )Ь) соэ су.
62е. Иэ вершины прямого угла А треугольника АВС восставлен перпендикуляр АР к плоскости треугольника. Найдите косинус угла с~ между векторами ВС и ВР, если угол АВР равен и, а угол АВС равен 5 (рис. 391). 63. Наклонная образует угол 45 с плоскостью. Через осно-. вание наклонной проведена прямая в плоскости под углом 45' к проекции наклонной.
Найдите угол а между этой прямой и наклонной. 64*. Из точки вне плоскости проведены перпендикуляр и две равные наклоннь|е,образующие углы а с перпендикуляром. Найдите угол ср между проекциями наклонных, если угол между наклонными (). 11 класс 3 19. МНОГОГРАННИКИ !66. ДВУГРАННЫЙ УГОЛ Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой (рис.
393). Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая — ребром двугранного угла. Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым. Угол, образованный этими полу- прямыми, называется линейным углом двугранного угла. За меру двугранного угла принимается мера соответствующего ему линейного угла. Все линейные углы двугранного угла совмещаются параллельным переносом, а значит, равны. Поэтому мера двугранного угла не зависит от вы- Рис.
398 бора линейного угла. Зад ач а (1). Из точек А и В, лежащих в гранях двугранного угла, опущены перпендикуляры АА~ и ВВ~ на ребро угла. Найдите длину отрезка АВ, если АА~ =а, ВВ =Ь, А~В~ =с и двугранный угол равен и (рис. 399). Решение. Проведем прямые А~СгВВ~ и ВС1А~Вь Четырехугольник А~ВОВС вЂ” параллелограмм, значит А1С=ВВ| =Ь. Прямая А~В~ перпендикулярна плоскости 294 11 илиее Рие.
399 треугольника АА~С, так как она перпендикулярна двум прямым в этой плоскости АА~ и САь Следовательно, параллельная ей прямая ВС тоже перпендикулярна этой плоскости. Значит, треугольник АВС вЂ” прямоугольный с прямым углом С. По теореме косинусов АСг=АА1+А~Сг — 2АА~-А~С.соз а=аз+ Ьг — 2аЬ соз а.
По теореме Пифагора Ае ГАС..~.ю — г .~.ь 2 ь .~. 167. ТРЕХГРАННЫЙ И МНОГОГРАННЫЙ УГЛЫ Рассмотрим три луча а, Ь, с, исходящие из одной точки и не лежащие в одной плоскости. Трехгранным углом (аЬс) называется Фигура, составленная из трех плоских углов (аЬ), (Ьс) и (ас) (рис. 400).
Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны — ребрами. Общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, об.разованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла. 5 Рие. 400 Рие. 401 1 19. Многогранники Аналогично определяется понятие многогранного угла (рис. 401). 3 а д а ч а (2). У трехгранного угла (аЬс) двугранный угол при ребре с прямой, двугранный угол при ребре Ь равен гр, а плоский угол (Ьс) равен у(ср, у~ ~ ) Найдите два других плоских угла: сс= .I (аЬ), ()= ~(ос). рис.
402 Р е ш е н и е. Опустим из произвольной точки А ребра о перпендикуляр АВ на ребро Ь и перпендикуляр АС на ребро с (рис. 402), По теореме о трех перпендикулярах С — перпендикуляр к ребру Ь. Из прямоугольных треугольников ОАВ, ОСВ, АОС и АВС получаем: Фя к=АВ:ОВ= сов н ° вв Г сов Ч (я Р=АС:ОС=ВС Фя ~(: — =$я а а(п у. .
оС ввп т З а и е ч а н и е. Полученные зависимости между углами к, (1, у, гв: $К я = —, $К ~) = Фд г( з(п 7— сит савв ' позволяют, зная два угла, найти два других. 296 11 класс (63. МНОГОГРАННИК В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называе. мые телами. Наглядно (геометрическое) тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью. Многогра инин — это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис.
403). Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
