Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Ее высота проходит через вершину угла, противолежащего стороне 40 см, и равна 8 см Найдите боковую поверхность пирамиды. 49. Основание пирамиды — квадрат, ее высота проходит через одну из вершин основания. Найдите боковую поверхность пирамиды, если сторона основания равна 20 дм, а высота 21 дм (рис. 431).
П 50. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и две данные точки на ее основании. 51. Постройте сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания пирамиды и данную точку на противолежащем ребре. 52. Постройте сечение четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку на одном из боковых ребер. И 53. У четырехугольной усеченной пирамиды стороны одного основания равны 6, 7, 8, 9 см, а меньшая сторона другого основания равна 5 см. Найдите остальные стороны этого основания.
54. Боковое ребро пирамиды разделено на четыре равные части и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Площадь основания равна 400 см'. Найдите площади сечений. 55. Высота пирамиды равна 16 м. Площадь основания равна Я е9. Ммоеоераммики 512 м'. На каком расстоянии от основания находится сечение, параллельное ему, если площадь сечения 50 меу П * 179 56 В правильной Р У ьной Р м де с вы й Ь через сторону основания а проведена плоскость, пересекающая противолежащее боковое ребро под прямым углом.
Найдите площадь сечения. 57. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7 см, а сторона основания 8 см. Найдите боковое ребро. 58. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол прн вершине равен и. Найдите двугранный угол х при основании пирамиды. 59. По данной стороне основания а и боковомУ Ребру Ь найдите высоту правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной. 60. По данной стороне основания а н высоте Ь найдите апофему правильной пирамиды: 1) треугольной, "2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
61. По стороне основания а и высоте Ь найдите полную поверхность правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной. 62. Найдите полную поверхность правильной шестиугольной пирамиды, если ее боковое ребро а, а радиус окружности, вписанной в основание,. г. 63. В правильной четырехугольной пирамиде боковая поверхность равна 14,76 м~, а полная поверхность 18 м~. Найдите сторону основания и высоту пирамиды. 64. По стороне основания а найдите боковую поверхность правильной четырехугольной пирамиды„у которой диагональное сечение равновелико основанию, 65. Найдите боковую поверхность пирамиды, если площадь основания Ц, а двугранные углы при основании ер.
66. Найдите двуграиные углы при основании правильной пирамиды, у которой площадь основания равна 9, а боковая поверхность Я. Р . 431 Рие. 432 зтв ы юс 67, Найдите сторону основания и апофему правильной треугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 10 см, а боковая поверхность равна 144 см'. 68.
В правильной четырехугольной пирамиде найдите сторону основания, если боковое ребро равно 5 см, а полная поверхность 16 смт. 69. Докажите, что боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
70. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 7 см. Стороны оснований равны 10 см и 2 см. Найдите боковое ребро пирамиды. 71. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды 4 дм и 1 дм. Боковое ребро 2 дм. Найдите высоту пирамиды. 72. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 2 см, а стороны оснований 3 см и 5 см. Найдите диагональ этой пирамиды. 73.
Стороны оснований усеченной правильной треугольной пирамиды 2 см и 6 см. Боковая грань образует с большим основанием угол 60 . Найдите высоту. 74, В правильной усеченной треугольной пирамиде сторона большего основания а, сторона меньшего — Ь. Боковое ребро образует с основанием угол 45". Найдите площадь сечения, проходящего через боковое ребро и ось пирамиды'. 75. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 4 см. Стороны оснований равны 2 см и 8 см. Найдите площади диагональных сечений.
76. В правильной треугольной усеченной пирамиде сторона нижнего основания 8 м, верхнего — 5 и, а высота 3 м. Проведите сечение через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания. Найдите площадь сечения и двугранный угол между сечением и нижним основанием (рис. 432). 77. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований 8 м и 2 м. Высота равна 4 м. Найдите полную поверхность. 78. Найдите полную поверхность правильной усеченной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной, если высота И, а стороны оснований а и Ь. П 79.
Докажите, что центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра являются вершинами куба. Ось правильной усеченной пирамиды совпадает с осью соответствующей полной пирамиды. .4 20. Тела вращения эта 80. Докажите, что концы двух непараллельных диагоналей противолежащих граней куба являются вершинами тетраэдра. 81. Найдите двугранные углы правильного тетраэдра. 82в. Найдите двугранные углы октаэдра. 83.
Какке плоскости симметрии имеет правильный тетраэдр? 84*. Сколько плоскостей симметрии у правильного октаэдра, додекаэдра и икосавдра? $20. ТЕПА ВРАЩЕНИЯ 131. ЦИЛИНДР Цилиндром (точнее, круговым цилиндром) называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков„соединяющих соответствующие точки этих кругов (рис. 433). Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов,— образующими цилиндра. Так как параллельный перенос есть движение, то основания цилиндра реянье.
Так как при параллелыюм переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (нли в себя), то у цилиндра оскования лежат в караллельнмх клоекогтял. Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то у цилиндра образующие параллелънм и равкм. Рис. 433 Рис. 434 Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена нз образующих. Цилиндр называется прямым. если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой цилиндр, называя его для краткости просто цилиндром.
Прямой цилиндр наглядно можно представить себе как тело, которое описывает прямоугольник при вращении его около стороны как оси (рис. 434). Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим. 132. СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА ПЛОСКОСТЯМИ Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник (рис. 435). Две его стороны— образующие цилиндра, а две другие — параллельные хорды оснований. В частности, прямоугольником является осевое сечение. Это — сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось (рис.
436). 3 а д а ч а (2). Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь которого Ч. Найдите площадь основания цилиндра. Решение. Сторона квадрата равна ~'Я. Она равна диаметру основания. Поэтому площадь основания равна Рас. 427 г «.. лзе Рзс. 422 4 20. Теиа вращения Т е о р е м а 20.1. Плоскость, параллельная плоскости основания 4(илиндра, кересвкавт его боковую поверхность но окружности, равной окружности основания. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ($ — плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра (рис. 437).
Параллельный перенос в направлении оси цилиндра„совмещающий плоскость (1 с плоскостью основания цилиндра, совмещает сечение боковой поверхности плоскостью (1 с окружностью основания. Теорема доказана. 133. ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ПРИЗМЫ Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости осно- ваний цилиндра, а 'боковыми ребрами — образующие цилиндра (рис. 438), 3 а д а ч а (7). В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой 'грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.
Р е ш е н н е. Боковые грани призмы — квадраты, так как сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу (рнс. 439). Ребра призмы параллельны осн цилиндра, поэтому угол между диагональю грани н осью цилиндра равен углу между диагональю и боковым ребром. А этот угол равен 43', так как грани — квадраты. Рис. 439 Рис. 433 11 те вн .т и».. 322 11 гласе Рис.
441 Рис. 440 Касательной плоскостью к цилиндру называется плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую (рис. 440). Призмой, описанной около цилиндра, называется призма, у которой плоскостями оснований являютса плоскости оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра (рис. 441). 184.
КОНУС Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,— вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания (рис. 442). Отрезки„соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
