Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 50
Текст из файла (страница 50)
472). П 37. Дан шар радиуса В. Через одну точку его поверх- ности проведены две плоскости: первая — касатель- Рис. 470 Рис. 477 333 Ш класс Рис. 472 Рис. 473 ная к шару, вторая — под углом 30' к первой. Найдите площадь сечения. 38. 'Гало ограничено двумя концентрическими шаровыми поверхностями (полый шар).
Докажите, что его сечение плоскостью„проходящей через центр, равновелико сечению, касательному к внутренней шаровой поверхности (рис. 473). 39. Шар радиуса В касается всех сторон правильного треугольника со стороной а. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника. 40. Стороны треугольника 13 см, 14 см и 15 см. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника, Радиус шара 5 см.
41. Диагонали ромба 15 см и 20 см. Шаровая поверхность касается всех'его сторон. Радиус шара 10 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости ромба. 42. Через касательную к поверхности шара проведены две взаимно перпендикулярные плоскости, пересекающие шар по кругам радиусов г~ и гь Найдите радиус шара В. 43. Шар радиуса В вписан в усеченный конус. Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания конуса равен я. Найдите радиусы оснований и образующую усеченного конуса. И 44. Два равных шара радиуса В расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого.
Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности. 45. Радиусы шаров равны 25 дм и 29 дм, а расстояние между их центрами 36 дм. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности. 46. Найдите радиус шара, описанного около куба с ребром а. ззв г 21. Обними многогранников 47. Докажите, что центр шара, описанного около пра- П 192 вильной пирамиды, лежит на ее оси. 48.
Докажите, что центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на ее высоте. 49. Найдите радиус шара„описанного около правильного тетраздра с ребром а. 50. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен а. Найдите радиусы вписанного и описанного шаров. 51*. В шар радиуса В вписана правильная треугольная пирамида с плоскими углами а при ее вершине. Найдите высоту пирамиды. 52.
Правильная п-угольная призма вписана в шар радиуса В. Ребро основания призмы равно а. Найдите высоту призмы при: 1) п=3; 2) п=4; 3) п=б. 53. Сторона основания правильной и-угольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен ци Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду. 54. Найдите радиус шара, описанного около правильной и-угольной пирамиды, если сторона основания равна а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом а.
2 21. ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ 1Р4. ПОНЯТИЕ ОБТгЕМА Подобно тому, как для фигур на плоскости вводится понятие площади, для тел в пространстве вводится понятие объема. Сначала рассмотрим только простые тела. Геле называется простыль если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид. Для простых тел обеем — это положительная величина, численное значение которой обладает следующилги свойствами: 1. Равные тела имеют равные обземы. 2.
Если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то обьгм этого тела равен сумме объемов его частей. 3. Объем куба„ ребро которого равно единице длины. равен единице. Коли куб, о котором идет речь в определении, имеет ребро 1 ем, то объем будет в кубических сантиметрах; если ребро куба равно 1 м, то объем будет в кубических метрах; если ребро куба равно 1 км, то обьем будет в кубических километрах н т. д. 340 11 каасс 5 Примером простого тела является любой выпуклый многогранник. Его можно разбить на конечное число треугольных пирамид следующим образом.
Отметим какую-нибудь вершину В многогранника. Разобьем на треугольники все грани многогранника, не содержащие вершину В. Тогда треугольные пирамиды, для которых основаниями являются эти треугольники, а общей вершиной — точка В, Рис. 474 дают разбиение многогранника на треугольные пирамиды.
На рисунке 474 показано такое разбиение для произвольной пирамиды. 19%. ОБЪЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА Найдем объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами а, Ь, с. Для этого сначала докажем, что объемы двух прямоугольных параллелепипедов с равными основаниями относятся как их высоты. Пусть Р и Р, — два прямоугольных параллелепипеда с общим основанием АБО) и высотами АЕ и АЕР Будем считать для определенности, что АЕ~ (АЕ (рис. 475). Пусть Ъ' и Ъ'~ — объемы параллелепипедов. Разобьем ребро АЕ параллелепипеда Р на большое число и равных частей. Каждая из них Ах равна —. Пусть т — число точек а деления, которые лежат на ребре АЕь Тогда ( — ) т(~АЕ~ ~(( — ) ~т+1).
Отсюда Проведем через точки деления плоскости, параллельные основанию. Оии разобьют параллелепипед Р на и равных параллелепипедов. Рас. 475 з 2т. ггбзвяы многогранников Каждый из них имеет объем —. Параллелепипед Рг содерв жит первые т параллелепипеде~ считая снизу, н содержится в т+ 1 параллелепипедах. Поэтому ( — ) гп~)г,(( — ) (гп+1). Отсюда т Г< т 1 — ( — < — + —- в г' и в Из неравенств (в) и (вв) мы видим, что оба числа — и к~ АЕ, т т 1 — ' заключены между — и — + —. Поэтому они отличаются АК в и в не более чем на —. А так как и можно взять сколь угодно Гг~ гггв большим, то это может быть только при — '= — ', что и г' ггь ' требовалось доказать.
Возьмем теперь куб, являющийся единицей измерения объема, и три прямоугольных параллелепипеда с измерениями: а, 1, 1; а, Ь, 1; а, Ь, с. Обозначим их объемы 1гь )гв и И соответственно. По доказанному %, а $', ь н с Перемножая эти три равенства почленно, получим: И=аЬс. Итак, объем прямоузольноео параллелепипеда с линейньгми размерами а, Ь. с вычисляется по формуле И=аЬс. 3 ад а ч а (3). Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см'.
Чему равно ребро куба? Р е ш е н и е. Обозначим ребро куба через х, тогда (х+2) — х'=98, т. е. х +2х — 15=0. Уравнение имеет два корня: х = 3, х = — 5. Геометрический смысл имеет только положительный корень. Итак, ребро куба равно 3 см. 1тб. ОБЪЕМ НАКЛОННОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА Найдем объем наклонного параллелепипеда АВСВА ~В |С ~В ~ (рис. 476). Проведем через ребро ВС плоскость, перпендикулярную основанию АВСХ), н дополним наклонный параллелепипед треугольной призмой ВВ~ВгСС,Се (рис. 476, а). Отсечем теперь от 342 77 класс полученного тела треугольную призму плоскостью, проходящей через ребро АВ и перпендикулярной основанию АВС11. Тогда получим снова параллелепипед.
Этот параллелепипед имеет объем, равный объему исходного параллелепипеда. Действительно, достроенная призма и отсекаемая совмещаются параллельным переносом на отрезок АВ, следовательно, имеют одинаковые объемы. При описанном преобразовании параллелепипеда сохраняются площадь его основания н высота. Сохраняются также плоскости двух боковых граней, а две другие становятся перпендикулярными основанию. Применяя еще раз такое преобразование к наклонным граням, получим параллелепипед, у которого все боковые грани перпендикулярны основанию, т.
е. прямой параллелепипед. Полученный прямой параллелепипед подвергнем аналогичному преобразованию в прямоугольный параллелепипед, дополняя его сначала призмой 1, а затем отсекая призму 2 (рис. 476, б). Это преобразование также сохраняет объем параллелепипеда, площадь основания и высоту. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений. Произведение двух измерений есть площадь основания параллелепипеда, а третье измерение — его высота. Таким образом, у прямоугольного параллелепипеда объем равен произведению площади основания на высоту.
Так как при описанном выше преобразовании данного параллелепипеда в прямоугольный каждый раз сохраняются объем, площадь основания и высота, то и у исходного параллелепипеда объем равен произведению площади основания на высоту. Итак, объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на выеоти. Вс г а) Рис. 476 б 21.
Объемы многогранников 3 а дача (11). В прямом параллелепипеде стороны основания а и Ь образуют угол 30'. Боковая поверхность равна Я. Найдите его объем. Решение. Обозначим высоту через х (рис. 477). Тогда (2а+ 2 Ь)х = 8. Отсюда Я 2 ~а+6) Площадь основания параллелепипеда равна аЬ зш30'=-а6 .
Объем 2 равен а68 4 (а+И Рнс. 477 197. ОБЪЕМ ПРИЗМЫ Рне. 478 Я Рассмотрим сначала треугольную призму (рис. 473). Дополним ее до параллелепипеда, как указано на рисунке. Точка О является центром симметрии параллелепипеда. Поэтому достроенная призма симметрична исходной относительно точки О, следовательно, имеет объем, равный объему исходной призмы. Таким образом, объем построенного параллелепипеда равен удвоенному'объему данной призмы. Объем параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
