Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Площадь его основания равна удвоенной площади треугольника АВС, а высота равна высоте исходной призмы, Отсюда заключаем, что объем исходной призмы равен произведению площади ее основания на высоту. ыг Рак 479 Рис. 480 Рассмотрим теперь произвольную призму (рис. 479). Разобьем ее основание на треугольники. Пусть Л вЂ” один из этих треугольников. Проведем через произвольную точку Х треугольника с~ прямую, параллельную боковым ребрам. Пусть а, — отрезок этой прямой, принадлежащий призме. Когда точка Х описывает треугольник Л, отрезки а, заполняют треугольную призму.
Построив такую призму для каждого треугольника ~, мы получим разбиение данной призмы на треугольные. Все эти призмы имеют одну и ту же высоту, равную высоте исходной призмы. Объем данной призмы равен сумме объемов треугольных призм, ее составляющих. По доказанному объем треугольной призмы равен произведению площади ее основания на высоту. Отсюда следует,что объем исходной призмы равен: $ =Я)Н+Я2Н+ -+ЯсН=1Я!+Яэ+ -+Яс)Н где Яь Я... ߄— площади треугольников, на которые разбито основание призмы, а Н вЂ” высота призмы.
Сумма площадей треугольников равна площади Я основания данной призмы. Поэтому Итак, объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту. Е 22. Обогни многогранников 3 а д а ч а (24). В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите объем призмы, если площадь сечения 9, а боковые ребра равны 1. Р е ш е н и е.
Плоскость проведенного сечения разбивает призму на две части (рис. 480). Подвергнем одну из них параллельному переносу, совмещающему основания призмы. При этом получим прямую призму, у которой основанием служит сечение исходной призмы, а высота равна г.
Эта призма имеет тот же объем. Таким образом, объем исходной призмы равен ®. 198. РАВНОВЕЛИКИЕ ТЕЛА Два тела называются равновеликими. если они имеют равные объемы. Две треугольные пирам«ды с равными плон)адями оснований и равными высотами равновелики. Действительно, пусть треугольные пирамиды имеют равные площади оснований и равные высоты. Докажем, что они равновелики, т. е. имеют равные объемы. Разделим высоту каждой пирамиды на и равных частей и проведем через точки деления плоскости, параллельные основаниям. Эти плоскости разбивают пирамиду на и слоев.
Для каждого слоя первой пирамиды построим содержащуюся в нем призму, как показано на рисунке 481, а. Для каждого слоя второй пирамиды построим призму, содержащую слой (рис. 481, б). Призма в к-м (считая от вершины) слое первой пирамиды и призма, содержащая (гг — 1)-й слой второй пирами- рню. 4з1 346 тт класс ды, имеют равные площади оснований, так как эти основания подобны основаниям пирамид и коэффициент подобия один и /йт тот же ~ — ). Так как у этих призм и высоты одинаковы ~ ) — ~, то они имеют равные объемы. Н~ и Пусть $'~ и и' — объемы пирамид, а %"~' и Ъ'~ — суммы объемов построенных для них призм. Так как объем призмы в Й-м слое первой пирамиды равен объему приамы ~й — 1)-го слоя второй пирамиды, то сумма объемов всех призм для первой пирамиды равна сумме объемов призм всех слоев второй пирамиды, кроме последнего. Объем призмы последнего слоя равен Я вЂ”, где Я вЂ” площадь основания пирамиды, а Н вЂ” высота.
Н а Отсюда следует, что К~ = Кс — Я вЂ”. Так как, кроме того, и", ~1ль Н а зн ян а гс(Г.', то Ъ'~ рз — —, или Р— %'~( —. Это неравенство выполняется при любом сколь угодно большом л. А это возможно только при à — 1с,(0, т. е. при асс($'и Поменяв ролями пирамиды, получим противоположное неравенство $'з~~'ь А отсюда следует, что Ъ'~=Къ Утверждение доказано. 19Р.
ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ Пусть ЯАВС вЂ” треугольная пирамида с вершиной Я и основанием АВС. Дополним эту пирамиду до треугольной призмы с тем же основанием и высотой ~рис. 482). Эта призма составлена из трех пирамид: данной пирамиды ЯАВС и еще двух треугольных пирамид ЯСС|В~ и ЯСВВь У второй и третьей пирамид 5 равные основания — АСС|В| и ~В~ВС и общая высота, проведенная из вершины Я. Поэтому у них В, равные объемы.
У первой и третьей пирамид тоже равные основания — с~ ЯАВ и Е,ВВ~Я и совпадающие высоты, проведенные из вершины С. Поэтому у них тоже равные объемы. Значит, все три пирамиды нме- А ' С ют один и тот же объем. Так как сумма этих объемов равна объему призмы, то объемы пирамид рав- В БН Рис. 482 з ' 1 31. Объемы многогранников Итак, объем любой треузолъной пирамиды равен одной трети произведения нлои)ади основания на высоту: $'= — ЯН.
1 з Пусть теперь имеем любую,'не обязательно треугольную пиРамиДУ. Разобъем ее основание на тРеУгольники ~1, г', ъ ..., г'1 „. Пирамиды, у которых основаниями являются эти треугольники„а вершинами — вершина данной пирамиды, составляют данную пирамиду. Объем данной пирамиды равен сумме объемов составляющих ее пирамид. Так как все они имеют ту я4е высоту Н, что и данная пирамида, то объем ее равен: г'= — Н (Я1 + Яг + ... + Я„) = — ЯН. 1 1 з з Итак„объем любой нирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.
200. ОБЪЕМ УСЕЧЕННОЙ ПНРАМИДЫ 3 а д а ч а (44). Найдите объем усеченной пирамиды с площадями оснований гв1 и гтт ((41)Я1) и высотой гг. Р е ш е н и е. Дополним данную усеченную пирамиду до полной (рис. 433). Пусть х — ее высота. Объем усеченной пирамиды равен разности объемов двух полных пирамид: одной с площадью основания (41 и высотой х, другой с площадью основания (бг и высотой х — гг.
Из подобия этих пирамид находим х: — =1 — ) . Ф у к 4)г '1 к — а Отсюда х= — ~ ' . Объем усеченной пирамиды равен: Ф вЂ” ~4 а н1411 ~,( ~Я б')1 3 Щ 1Ц,, ф,,1гй, Ю~ Я~ — гг". 40г = — Ь, ' = — 6~61+1414 +91 З,,~, — г 3 Рне. 483 348 Ы ллаис 201. ОБЪЕМЫ ПОДОБНЫХ ТЕЛ Пусть Т и Т' — два простых подобных тела. Это значит, что существует преобразование подобия, при котором тело Т переходит в тело Т'.
Обозначим через й коэффициент подобия. Разобьем тело Т на треугольные пирамиды Рь Рь ..., Р.. Преобразование подобия, которое переводит тело Т в тело Т', переводит пирамиды Рь,Рп .... Р. в пирамиды Р'„Р1, ..., Р;,. Эти пирамиды составляют тело Т', и поэтому объем тела Т' ра- ВЕН СУММЕ О6ЪЕМОВ ПИраМИд Р(, Р4...е Р„'. Так как пирамиды Р; и Р, подобны и коэффициент подобия равен й, то отношение их высот равно й, а отношение площадей их оснований равно й1. Следовательно, отношение объемов пирамид равно й~.
Так как тело Т составлено из пирамид Р„а тело Т' составлено из пирамид Р;, то отношение объемов тел Т' и Т тоже равно йл. Число й — коэффициент подобия — равно отношению расстояний между любыми двумя соответствующими парами точек при преобразовании подобия. Следовательно, зто число равно отношению любых двух соответствующих линейных размеров тел Т' и Т.
Таким образом, мы приходим к следующему выводу: Объвкм двух подобных тел огкосятея как кубм их соотввтствуюи)их яияейкмх размеров. 3 а д а ч а (48). Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию. В каком отношении она делит объем пирамидыу Решение. Как мы знаем, проведенная плоскость отсекает подобную пирамиду (рис. 484). Коэффициент подобия равен отношению 1 высот, т. е. —. 2 Поэтому объемы пирамид отко- л 1~з сятся как ( — ): 1. Следователь- ~ 2) но, плоскость делит нашу пирамиду на части, объемы которых относатся как Рис.
484 збв б Зт. Объемы многогранников КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 9 1. Сформулируйте основные свойства объема. 2. Докажите, что объем прямоугольного параллелепипеда ра- вен произведению его линейных размеров. 3. Докажите, что объем любого параллелепипеда равен про- изведению площади основания на высоту. 4. Докажите, что объем треугольной призмы равен произве- дению площади ее основания на высоту. 5. Докажите, что обьем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту. 6.
Докажите, что треугольные пирамиды с равными пло- щадями оснований и равными высотами равновелики. 7. Выведите формулу для объема треугольной пирамиды. 8. Докажите, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту. 9. Докажите, что объемы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров. ЗАДАЧИ П 1. Три латунных куба с ребрами 3 см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какое ребро у етого куба? 2. Металлический куб имеет внешнее ребро 10,2 см и массу 514,15 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
