Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Толщина стенок равна 0,1 см. Найдите плотность металла, из которого сделан куб. 3. Если каждое ребро крба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см . Чему равно ребро куба? 4, Если каждое ребро куба увеличить на 1 м, то его объем увеличится в 125 раз. Найдите ребро. 5. Кирпич размером 25Х12Х6,5 см имеет массу 3,51 кг. Найдите его плотность. 6. Требуется установить резервуар для воды емкостью 10 мг на площадке размером 2,5Х1,75 м„служащей для него дном.
Найдите высоту резервуара. 7. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 и и 36 м. Найдите ребро равновеликого ему куба. 8. Измерения прямоугольного бруска 3 см, 4 см, 5 см. Если увеличить каждое ребро на х сантиметров, то поверхность увеличится на 54 см'. Как увеличится объем? 9. Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Какова масса одного погонного метра трубы (плотность чугуна 7,3 г/см')? 10. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда, диа- ззо 17 клаес гональ которого а составляет с плоскостью основания угол и, а с боковой гранью угол 5? П 11. В прямом параллелепипеде стороны основания а и Ь образуют угол 30'.
Боковая поверхность равна Я. Найдите его объем. 12. В прямом параллелепипеде стороны основания 2 у2 см и 5 см образуют угол 45'. Меньшая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Найдите его объем. 13. Основание прямого параллелепипеда — ромб, площадь которого 1 м'. Площади диагональных сечений 3 м' и 6 м~. Найдите объем параллелепипеда. 14. Решите предыдущую задачу в общем случае, если площадь ромба Ц, а площади диагональных сечений М и Ф. 15.
Основаниенаклонногопараллелепинеда — квадрат,сторона которого равна 1 и. Одно из боковых ребер равно 2 м и образует с каждой из прилежащих сторон основания угол 60'. Найдите объем параллелепипеда. 16*. Грани параллелепипеда — равные ромбы со стороной а и острым углом 60'. Найдите .объем параллелепипеда. 17'". Каждое ребро параллелепипеда равно 1 см.
У одной из вершин параллелепипеда все трн плоских угл» острые, по 2а каждый. Найдите объем параллелепипеда. 18~. В параллелепипеде длины трех ребер, исходящих из одной вершины, равны а, Ь, с. Ребра а и Ь взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол а (рис. 485). Найдите объем параллелепипеда. И 19. По стороне основания а и боковому ребру Ь найдите объем правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной. 20. Деревянная плита в форме правильного восьмиугольника со стороной 3,2 см и толщиной 0,7 см имеет массу 17,3 г.
Найдите плотность дерева. 21. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 3,5 см, а диагональ боковой грани 2,5 см. Найдите объем призмы. 22. Сторона основания правильной треугольной призмы равна а, боковая поверхность равновелика сумме оснований.
Найдите ее объем. 23. В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального сечения 4 м", а расстояние между двумя противоположными боковыми гранями 2 м. Найдите объем призмы. 24. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите объем призмы, если площадь сечения 9, а боковые ребра равны 1 (рис. 486). 25.
Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15 м, 4 81. Объемы многогоонников Рис. 486 Рис. 485 а расстояния между содержащими нх параллельными прямыми 26 м, 25 м и 17 м. Найдите объем призмы. 26. Вычислите пропускную способность (в кубических метрах за 1 ч) водосточной трубы, сечение которой имеет вид равнобедренного треугольника с основанием 1,4 м и высотой 1,2 м. Скорость течения 2 м/с. 27. Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции с нижним основанием 14 м, верхним 3 м и высотой 3,2 м.
Найдите, сколько кубических метров земли приходится на 1 км насыпи. 23. В прямой треугольной призме стороны оснований равны 4 см, 5 см и 7 см, а боковое ребро равно большей высоте основания. Найдите объем призмы. 29. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4 ем~, а площади боковых граней 9 см~, 10 см' и 17 см'. Найдите объем. 30. Основание призмы — треугольник, у которого одна сторона равна 2 см,а две другие по 3 см. Боковое ребро равно 4 см и составляет с плоскостью основания угол 4б'.
Найдите ребро равновеликого куба. 31. Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник со стороной а; одна из боковых граней перпендикулярна основанию и является ромбом, у которого меньшая диагональ равна с. Найдите объем призмы.
32. Чему равен объем прямой четырехугольной приамы, если ее высота Ь, диагонали наклонены к плоскости основания под углами а и р и острый угол между диагоналями основания равен 7? И 33. По стороне основания а и боковому ребру Ь найдите объем правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной. 34.
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды 3" 11 класс Рис. 487 а, а двугранный угол при основании равен 45". Найдите объем пирамиды. 35. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое равно Ь (рис. 48?). Найдите объем пирамиды. 36. Чему равен объем-правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания а, а боковые ребра взаимно перпендикулярны? 37. По ребру а правильного тетраадра найдите его объем.
38. По ребру а октаэдра найдите его объем. 39. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 9 м и 12 м, все боковые ребра равны 12,5 м. Найдите объем пирамиды. 40'". Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со гторонамя 6 см, 6 см и 8 см. Все боковые ребра равны 9 см. Найдите объем пирамиды. 41. Одно ребро треугольной пирамиды равно 4 см, каждое из остальных 3 см. Найдите объем пирамиды. 42. В основании пирамиды лежит прямоугольник. Каждое боковое ребро пирамиды равно 1 и составляет со смежными сторонами прямоугольника углы и и 5.
Найдите объем пирамиды. 43. Найдите объем пирамиды, имеющей основанием треугольник, два угла которого л и 9, радиус описанного круга Й. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом ?. П . 200 44. Найдите объем усеченной пирамиды с площадями оснований 4с1~ и 9 Ц~ )41» и высотои Ь. 45. В пирамиде с площадью основания 9~ проведено сечение, параллельное основанию, на расстоянии Ь от него. Площг ль сечения равна Я . Найдите высоту пирамиды.
46. В прз вильной усеченной четырехугольной пирамиде сторон~ нижнего и верхнего оснований равны а и Ь, а двуграннын угол при ребре нижнего основания равен я. Найди- те объем пирамиды. г 22. Обвели и новереноееи сея вращения зьз $22. ОБЬЕМЫ И ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 202. ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА Если тело простое, т. е. допускает разбиение на конечное число треугольных пирамид, то его объем равен сумме объемов зтих пирамид. Для произвольного тела объем определяется следующим образом.
Данное тело имеет объем К если существуют содержащие его простые тела и содержащиеся в нем простые тела с объемами, сколь угодно мало отличающимися от И. Применим зто определение к нахождению объема цилиндра с радиусом основания Л и высотой Н. При выводе формулы для площади круга были построены такие два л-угольника 1однн — содержащий круг, другой— содержащийся в круге), что их площади при неограниченном увеличении и неограниченно приближались к площади круга. Построим такие многоугольники для круга в основании цилиндра.
Пусть Р— многоугольник, содержащий круг, а Р'— многоугольник, содержащийся в круге (рис. 488). Построим две прямые призмы с основаниями Р и Р' и высотой Н, 'равной высоте цилиндра. Первая призма содержит цилиндр, Р а вторая призма содержится в цилиндре. Так как при неограниченном увеличении п площади оснований приам неограниченно приближаются к площади основания цилиндра Я, то их объемы неограниченно приближаются к ЯН. Согласно определению объем цилиндра Итак, объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
12 г, ре,е-пни Рис. 488 47. Решите предыдущую задачу в случае правильной усеченной треугольной пирамиды. Н 48. Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию. В каком отношении она делит объем пирамиды? 49. Высота пирамиды е1. На каком расстоянии от вершины находится сечение, параллельное основанию и делящее ее объем пополам? 354 11 класс 203. ОБЪЕМ КОНУСА Построим два многоугольника в плоскости основания конуса: многоугольник Р, содержащий основание конуса, и многоугольник Р', содержащийся в основании конуса (рис.
489). Построим две пирамиды с основаниями Р и Р' и вершиной в вершине конуса. Первая пирамида содержит конус, а вторая пирамида содержится в конусе. Как мы знаем, существуют такие многоугольники Р и Р', площади которых при неограниченном Рис. 433 увеличении числа их сторон и не- ограниченно приближаются к площади круга. в основании конуса. Для таких многоугольников объемы построенных пирамид неограниченно приближаются к — ВН, где Я вЂ” площадь основания конуса, а Н вЂ” его высота. 1 Согласно определению отсюда следует, что объем конуса 3 3 Итак, объем кокоса равен одной трети произведения плон)иди основания на высоти.
204. ОБЪЕМ УСЕЧЕННОГО КОНУСА 3 а д а ч а (15). Найдите объем усеченного конуса, у которого радиусы оснований В| и Вс (В2 (В1), а высота Ь. Реш е н и е. Дополним данный усеченный конус до полного (рис. 490). Пусть х — его высота. Объем усеченного конуса равен разности объемов двух полных конусов: одного с радиусом основания В, и высотой х, другого с радиусом основания В и высотой х — Ь. Из подобия конусов находим х: — = —, х=— х л~ ил, --ь л,' л,— лс' Объем усеченного конуса равен: = 31лВ'.'"' -3В:(.""' -")1 = л'-л' = — л)с ' '= — л)1(В1+ВЛи+В(). 3 Л, Л 3 5 22.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
