Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 49
Текст из файла (страница 49)
460 192. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОГРАННИКИ Многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на поверхности шара. Многогранник называется описанным около шара, если все его грани касаются поверхности шара. 3 а д а ч а (47). Докажите, что центр шара, описанного около правильной пирамиды, лежит на ее оси. Р е ш е н и е. Опустим перпендикуляр ОА из центра шара О на плоскость основания пирамиды [рис. 462).
Пусть Х вЂ” произвольная вершина основания пирамиды. По теореме Пифагора АХ'= ОХ' — ОАв=)Г' — ОА'. Таким образом, АХ одно и то же для любой вершины основания пирамиды. А зто значит, что точка А является центром окружности, описанной около основания пирамиды. Следовательно, центр шара О лежит на оси пирамиды. Рис. 462 332 11 класс 193. О ПОНЯТИИ ТЕЛА И ЕГО ПОВЕРХНОСТИ В ГЕОМЕТРИИ В предыдущем изложении мы неоднократно употребляли слова тело и поверхность тела, вкладывая в их содержание известные вам наглядные представления. Теперь мы дадим определение геометрического тела и его поверхности.
Точка фигуры называется внутренней, если существует шар с центром в этой точке, целиком принадлежащий фигуре. Фигура называется областью, если все ее точки внутренние и если любые две ее точки можно соединить ломаной, целиком принадлежащей фигуре. Поясним данное определение на примере шара (рис. 463). Каждая точка шара, которая удалена от его центра на расстояние г, меньшее В, является внутренней точкой шара, так как шар с центром в этой точке и радиусом  — г содержится в исходном шаре радиуса В.
Все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, меньшее В, образуют область. В самом деле, любые две такие точки А и В соединяются отрезком АВ, все точки которого удалены от центра на расстояние, меньшее В. Точка пространства называется граничной точкой данной фигуры, если любой шар с центром в этой точке содержит как точки, принадлежащие фигуре, так и точки„не принадлежащие ей. Для шара граничными точками являются точки, которые удалены от точки О на расстояние, равное В, т. е. граница шара есть сфера. Для каждой такой точки С можно указать в каждом шаре с центром С и радиусом г О точки С~ и Сг, отстоящие от точки О на расстояние, большее В, и на расстояние, меньшее В. Область вместе с ее границей называется замкнутой областью.
Телом называется конечная замкнутая область. Граница тела называется поверхностью тела. Шар является примером тела. Другими знакомыми нам примерами тел являются многогранник, цилиндр и конус. Подобно тому как в пространст'ве, на плоскости вводятся понятия внутренней точки фигуры, граничнойточкии области. Граничные точки области образуют границу области. В круге радиуса В точки, которые находятся на расстоянии, меньшем В, от центра, внутренние, а точки, находящиеся на расстоянии В, граничные. Круг— замкнутая область. Рэс. 463 1 лО. Тела вращения Плоский многоугольник — зто ограниченная замкнутая область на плоскости, граница которой является многоугольником. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1, Объясните, что такое круговой цилиндр (образующая цилиндра, основания цилиндра, боковая поверхность цилиндра). 2.
Какой цилиндр называется прямым? 3. Что такое радиус цилиндра, высота цилиндра, ось цилиндра, осевое сечение цилиндра? 4. Докажите, что плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания. 6. Что такое призма, вписанная в цилиндр (описанная около цилиндра)? Что такое касательная плоскость к цилиндру? 6.
Что такое круговой конус, вершина конуса, образующая конуса, основание конуса, боковая поверхность конуса? 7. Какой конус называется прямым? 8. Что такое высота конуса, ось конуса, осевое сечение конуса? 9. Докажите, что плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает боковую поверхность по окружности с центром на оси конуса.
10. Что такое усеченный конус? 11. Какая пирамида называется вписанной в конус (описанной около конуса)? Что такое касательная плоскость к конусу? 12. Что такое шар (шаровая поверхность или сфера)? 13. Что такое радиус шара, диаметр шара? Какие точки шара называются диаметрально противоположными? 14. Докажите, что пересечение шара с плоскостью есть круг.
15. Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара? Что такое большой круг? 16. Докажите, что любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии; центр шара является его центром симметрии. 17. Какая плоскость называется касательной к шару? 18. Докажите, что касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку — точку касания. 19.
Какая прямая называется касательной к шару? 20. Докажите, что линия пересечения двух сфер есть окружность. 21. Какой многогранник называется вписанным в шар (описанным около шара)? 334 те класс ЗАДАЧИ 1. Радиус основания цилиндра 2 м, высота 8 м. Найдите И диагональ осевого сечения. 2. Осевое сечение цилиндра — квадрат,площадь которого 9. Найдите площадь основания цилиндра. 3. Высота цилиндра 6 см, радиус основания б см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от нее. 4. Высота цилиндра 8 дм, радиус основания б дм. Цилиндр пересечен плоскостью так, что в сечении получился квадрат, Найдите расстояние от этого сечения до оси (рис. 464).
б. Высота цилиндра 6 дм, радиус основания б дм. Концы отрезка АВ, равного 10 дм, лежат на окружностях обоих оснований. Найдите кратчайшее расстояние от него до оси. 6. В равностороннем цилиндре (диаметр равен высоте цилиндра) точка окружности верхнего основания соединена с точкой окружности нижнего основания. Угол между радиусами, проведенными в эти точки, равен 60'. Найдите угол х между проведенной прямой н осью цилиндра (рис.
466). П 7. В цилиндр вписана правильная шестиугольная приз- ма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра, Рис. 464 Рис. 465 1 лс. Тела вращения ззб Рис. 4бб Рис. 4бТ 8. Высота цилиндра 2 м. Радиус оснований 7 м. В этот цилиндр наклонно вписан квадрат так, что все вершины его лежат на окружностях оснований. Найдите сторону квадрата (рис. 466). П 9.
Радиус основания конуса 3 и, высота 4 м. ЕЕайдите образующую. 10. Образующая конуса Е наклонена к плоскости основания под углом 30'. Найдите высоту. И 11. Радиус основания конуса В. Осевым сечением явля- ется прямоугольный треугольник. Найдите его пло- щадь. 12. В равностороннем конусе Ев осевом сечении правильный треугольник) радиус основании ЕЕ. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен а (рис. 467).
13. Высота конуса 20, радиус его основания 25. Найдите площадь сечения, проведенного через вершину, если расстояние от него до центра основания конуса равно 12. 14. Радиус основания конуса В, а образующая наклонена к плоскости основания под углом и. Через вершину конуса проведена плоскость под углом еТ к его высоте. Найдите площадь полученного сечения.
16. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии д от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса ес, а высота Н. 16. Высота конуса и. На каком расстоянии от вершины надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания? 17, Через середину высоты конуса проведена прямая парал- 336 Ы класс Рис.
463 Рис. 469 лельно образующей 5 Найдите длину отрезка прямой, заключенного внутри конуса. 18и. Образующая конуса 13 см, высота 12 см. Конус пересечен прямой, параллельной основанию; расстояние от нее до основания равно 6 см, а до высоты — 2 ом. Найдите отрезок прямой, заключенный внутри конуса (рис. 468). 19. Радиусы оснований усеченного конуса 3 и и 6 м, высота 4 и. Найдите образующую. 20.
Радиусы оснований усеченного конуса Н и г, образующая наклонена к основанию под углом 45'. Найдите высоту. 21. Образующая усеченного конуса равна 2а и наклонена к основанию под углом 60". Радиус одного основания вдвое больше радиуса другого основания. Найдите радиусы. 22. Радиусы оснований усеченного конуса 3 дм и 7 дм, образующая 5 дм. Найдите площадь осевого сечения. 23. Площади оснований усеченного конуса 4 дмс и 16 дм-'. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основаниям. Найдите площадь сечения. 24.
Площади оснований усеченного конуса М и т. Найдите площадь среднего сечения, параллельного основаниям. П 25. У пирамиды все боковые ребра равны. Докажите, что она является вписанной в некоторый конус. 26'". В конусе даны радиус основания )с и высота Н. Найди- те ребро вписанного в него куба (рис. 469). 27*. В конусе даны радиус основания Н и высота Н. В него вписана правильная треугольная призма, у которой боковые грани — квадраты. Найдите ребро призмы. и ЯО. Тела а7яещеаия П 28. Полушар и вписанный в него конус имеют общее основание и общую высоту.
Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Дона- жите, что площадь сечения, заключенного между боковой поверхностью конуса и поверхностью полушара, равна половине площади основания (рис. 470). 29. Шар, радиус которого 41 дм, пересечен плоскостью на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.
30. Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость, Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга2 31. Радиус шара В. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 60' к нему. Найдите площадь сечения. 32. Радиус земного шара В. Чему равна длина параллели, если ее широта 60' (рис, 471)2 33.
Город Ж находится на 60" северной широты. Какой путь совершает этот пункт в течение 1 ч вследствие вращения Земли вокруг своей оси? Радиус Земли принять равным 6000 км. 34. На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара 13 см.
Найдите расстояние от центра до плоскости, проходящей через эти точки. 35. Диаметр шара 25 см. На его поверхности даны точка А и окружность, все точки которой удалены (по прямой) от А на 15 см. Найдите радиус этой окружности. 36*. Радиус шара 7 см. На его поверхности даны две равные окружности, имеющие общую хорду длиной 2 см. Найдите радиусы окружностей, зная, что их плоскости перпендикулярны (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
