Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 25
Текст из файла (страница 25)
12. Докажите, что для любых трех векторов а, Ь, с а+(Ь+с)=(а+ Ь)+е, 13. Докажите векторное равенство АВ+ВС=АС. 14. Докажите, что для получения суммы векторов а и Ь надо от конца вектора а отложить вектор Ь', равный Ь. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец — с концом вектора Ь', равен а+ Ь. 15. Сформулируйте»правило параллелограмма» сложения векторов. 16. Дайте определение разности векторов. 17. Дайте определение умножения вектора на число. 18. Докажите, что абсолютная величина вектора Ха равна !Х!)а~, направление вектора Ха при а=~0 совпадает с направлением вектора а, если Х)0, и противоположно направлению вектора а, если Х(0.
19. Какие векторы называются коллинеарными? 20. Докажите, что если векторы а и Ь отличны от нулевого вектора и не коллинеарны, то любой вектор с можно представить в виде е=Ха+кЬ. 21. Дайте определение скалярного произведения векторов. 22. Докажите, что для любых трех векторов а, Ь, е (а+ Ь)с =ас+ Ьс.
23. Как определяется угол между векторами? 24. Чему равен угол между одинаково направленными векторами? 25. Докажите, что скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. 26. Докажите, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное проиаведеиие отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. ??о.в 1ез ЗАДАЧИ П 1. На прямой даны три точки А, В, С, причем точка В 91 лежит между точками А и С.
Среди векторов АВ, АС, ВА и ВС назовите одинаково направленные и противоположно направленные. П 2. Четырехугольник АВСР— параллелограмм. Докажи- 92 те равенство векторов АВ и РС. 3. Даны вектор АВ и точка С. Отложите от точки С вектор, равный вектору АВ, если: 1) точка С лежит на прямой АВ; 2) точка С не лежит на прямой АВ. П 93 4. Векторы а (2; 4), Ь ( — 1; 2), с (с,; с,) отложены от на- чала координат. '?ему равны координаты их концов? б. Абсолютная величина вектора а (5; т) равна 13, а век- тора Ь (л; 24) равна 23. Найдите т и и.
6. Даны точки А(0; 1), В(1", О), С(1; 2), Р(2; 1). Докажите равенство векторов .АВ и СР. 7. Даны три точки А. (1; 1), В( — 1; О), С(0; 1). Найдите такую точку Р(х; у), чтобы векторы АВ и СР были равны. П ' 8. Найдите вектор с, равный сумме векторов а и Ь, и абсолютную величину вектора с, если: 1) а (1; — 4), Ь( — 4; 8); 2) а(2; 5), Ь(4; 3). 9. Дан треугольник АВС. Найдите сумму векторов: 1) АС иСВ; 2)АВиСВ; 3)АСиАВ; 4)СА иСВ. 10. Найдите вектор с = а — Ь н его абсолютную величину, если 1) а(1; — 4), Ь ( — 4'„8); 2) а( — 2; 7), Ь(4; — 1).
11. Даны векторы с общим началом: АВ и АС. Докажите, что АС вЂ” АВ=ВС. 12. В параллелограмме АВСР диагонали пересекаются в точке М. Выразите векторы АВ и СР через векторы а= =АМ, Ь=ВМ (рис. 228). 13. Начертнте три произвольных вектора а, Ь, с, как на рисуяРис. 229 Рис. 230 Рис. 228 ке 229. А теперь постройте векторы, равные: 1) а+Ь+ +с; 2) а — Ь+с; 3) — а+Ь+с. 14.
1) Докажите; что для векторов АВ, ВС и АС имеет место неравенство !АС! ~ !АВ!+ !ВС!. 2) Докажите, что для любых векторов а и Ь имеет место неравенство !а+Ь! (!а!+(Ь!. П 15. К гориаонтальной балке на двух равных нитях под- вешен груз весом Р. Определите силы натяжения нитей (рис. 230).
16. С какой силой г' надо удерживать груз весом Р на наклон- ной плоскости, чтобы он не сползал вниз? П 17. Даны точки А(х~, .у~) и В(хл, уз). Докажите, что векторы АВ и ВА противоположно направлены. 18. Докажите, что векторы а(1; 2) и Ь (0,5; 1) одинаково направлены, а векторы с( — 1; 2) и д(0,5; — 1) противоположно направлены. 19. Даны векторы а(3; 2) и Ь(0; — 1). Найдите вектор с= = — 2а+4Ь и его абсолютную величину.
20. Абсолютная величина вектора Ха равна 5. Найдите Е, если: 1) а( — 6; 8); 2) а(3; — 4); 3) а(5; 12). 21. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Докажите, что АМ= — (А.В+АС). 22. Точки М и Ф являются серединами отрезков АВ и С0 соответственно. Докажите векторное равенство МФ = = — (АС+ВХ)) (рис. 231). 23. Дан параллелограмм АВСЕ>, АС=а, ВВ=Ь (рис.
232). Выразите векторы АВ, СВ, СХ1 и АХ) через а и Ь. П '* 24*. Докажите, что у коллинеарных векторов соответ- ствующие координаты пропорциональны. И обратно: если у двух ненулевых векторов соответствующие координаты пропорциональны, то зтн векторы коллинеарны. Е 8 Х Рис. 231 а Рнс. 232 г иь ВектоРы 25. Даны векторы а(2; — 4), Ь(1; 1), с(1; — 2), д( — 2; — 4). Укажите пары коллинеарных векторов. Какие из данных векторов одинаково направлены, а какие — противоположно направлены? 26. Известно, что векторы а(1; — 1) и Ь( — 2; тв) коллннеарны. Найдите, чему равно и. 27.
Даны векторы а(1; О), Ь(1; 1) и с( — 1", 0). Найдите такие числа Х и к, чтобы имело место векторное равенство сс=Ха+рЬ. П 28. Докажите, что для любых векторов а и Ь (аЬ)з~а~Ьт. 98 l 29. Найдите угол между векторами а (1; 2) н Ь( 1; — — ~. ЗО*. Даны векторы а и Ь. Найдите абсолютную величину вектора а+Ь, если известно, что абсолютные величины векторов а и Ь равны 1, а угол между ними 60'. 31.
Найдите угол между векторами а и а+ Ь задачи 30*. 32. Даны вершины треугольника А (1", 1), В(4; 1), С(4; 5). Найдите косинусы углов треугольника. 33. Найдите углы треугольника с зериьинами А (О; /3), В(2; -~(3), С( —; ф) . 34, Докажите, что векторы а(тл; п) и Ь( — и; и) перпендикулярны нли равны нулю.
35. Даны векторы а(3; 4) и Ь(тл; 2). При каком значении т зти векторы перпендикулярны? 36. Даны векторы а(1", О) и Ь(1; 1). Найдите такое число Х, чтобы вектор а+ХЬ был перпендикулярен вектору а. 37. Докажите, что если а и Ь вЂ” единичные неколлинеарные векторы, то векторы а+ Ь и а — Ь отличны от нуля и перпендикулярны. 38'". Докажите„что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. 39*.
Даны стороны треугольника а, Ь, с. Найдите его медианы тл„тль, тл,. 40. Докажите, что геометрическое место точек. сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек постоянна, есть окружность с центром в середине отрезка, соединяющего данные точки. 41. Векторы а+Ь н а — Ь перпендикулярны. Докажите, что (а( = (Ь(- 42. Докажите с помощью векторов, что диагонали ромба перпендикулярны. 172 з класс 43. Даны четыре точки А(1; 1), В(2; 3)„С(О; 4), Р( — 1; 2), Докажите, что четырехугольник АВС?? — прямоугольник.
44. Даны четыре точки А(О; О), В(1? 1), С(О; 2), Х? ( — 1; 1). Докажите, что четырехугольник АВС — квадрат. П 99 45. Среди вектоРов а~ — з, ф, Ь ~ —; ф, с (О; — 1), — /3 4'ъ 4( —; — — ) найдите единичные и укажите, какие из них коллинеарны. 46. Найдите единичный вектор е, коллинеарный вектору а(6; 8) и одинаково с ним направленный. 47.
Даны координатные векторы е1 (1; О) и е2 (О; 1). Чему равны координаты вектора 2е~ — Зезу 48'". 1) Даны три точки О, А, В. Точка Х делит отрезок АВ в отношении 1:к, считая от точки А.. Выразите вектор ОХ через векторы ОА=а и ОВ=Ь. 2) Докажите, что медианы треугольника пересекаются з одной точке, которая делит их в отношении 2:1, считая от соответствующих вершин. 49. Докажите, что проекция а вектора с на осъ абсцисс с координатным вектором е~ (1; О) задается формулой а=йеь где й=сеь 60. Докажите, что проекция суммы векторов на осъ равна сумме проекций слагаемых на ту же осъ.
9 класс $11. ПОДОБИЕ ФИГУР 109. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ Преобразование фигуры и в фигуру и" называется преобразованием подобия, вели при атом преобразовании расстояния между точками изменяютея в одно и то же число раз (рис. 233). Это значит, что если произвольные точки Х, У фигуры г при преобразовании подобия переходят в точки Х'„У' фигуры г", то Х'У'=й*ХУ, причем число й — одно и то же для всех точек Х, У, 1иело )г называется коэффициентом подобия.
При А=1 преобразование подобия, очевидно, является движе. пнем. г' Рик 233 Рик 234 Пусть Р— данная фигура и Π— фиксированная точка (рис. 234). Проведем через произвольную точку Х фигуры Р луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ', равный 3.ОХ, где я — положительное число. Преобразование фигуры Р, при котором каждая ее точка Х переходит в точку Х', построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число я называется коэффициентом гомотетии. фигуры р и р' называются гомотетичными.
Т е о р е и а 11.1. Гомотетия есть преобразование иодобия. Д оказ а тел ь ство. Пусть Π— центр гомстетии, й— коэффициент гомотетии, Х и У вЂ” две произвольные точки фигуры (рис. 235). Рис. 226 Ряс. 235 При гомотетии точки Х и У переходят в точки Х' и У' на лучах ОХ н ОУ соответственно, причем ОХ'=й-ОХ, ОУ'= =в ОУ. Отсюда следуют векторные равенства ОХ' = яОХ„ОУ' = зОУ.
Вычитая этн равенства почленно, получим: ОУ' — ОХ' = й (ОУ вЂ” ОХ). Так как ОУ' — ОХ' = Х'У', ОУ вЂ” ОХ =ХУ, то Х'У' = й ХУ. Значит, (Х У'~ =й 1ХУ(, т. е. Х'У'=)с ХУ. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана. Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности и др. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом. Например, если участок местности изображается в масштабе 1:100, то это значит, что одному сантиметру на плане соответствует 1 м на местности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
