Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Чтобы построить вектор, -Ь равный разности векторов а и Ь, надо отложить равные им векторы а' и Ь' от одной точки. Тогда вектор, начало которого совпадает с концом вектора Ь', а конец — с концом вектора а', будет разностью векторов а и Ь (рис. 219). Рис. 219 Рве. 220 ФЗ. СЛОЖЕНИЕ СИЛ Силу, приложенную к телу, удобно изображать вектором, направление которого совпадает с направлением действия силы, а абсолютная величина пропорциональна величине силы. Как показывает опыт, при таком способе изображения сил равнодействующая двух нли нескольких сил, приложенных к телу в одной точке, изображается суммой соответствующих им векторов.
На рисунке 220, и к телу в точке А приложены две силы, изображенные векторами а и Ь. Равнодействующая зтнх снл изображается вектором 1В1 у 10. Векторы Представление силы в виде суммы сил, действующих в двух заданных направлениях, называется разложением силы по этим направлениям. Так, на рисунке 220, а сила с разложена в сумму сил а и Ь вЂ” составляющие силы с. Удобно производить разложение вектора по двум перпендикулярным осям, В этом случае составляющие вектора называются ароекииями вектора на оси (рис. 220,6). 3 а д а ч а (16). С какой силой Р надо удерживать груз весом Р на наклонной плоскости, чтобы он не сползал вниз (рис, 221)2 Рис. 221 Р еще ние.
Пусть Π— центр тяжести груза, к которому приложена сила Р. Разложим вектор Р по двум взаимно перпендикулярным направлениям, как показано на рисунке 221. Сила ОА перпендикулярна наклонной плоскости и не вызывает перемещения груза. Сила Р, удерживающая груз, должна быть равной по величине и противоположной по направлению силе ОВ. Поэтому Р =Р зш а.
96. УМНОЖЕНИЕ ВЕИТОРА НА ЧИСЛО Произведением вектора (ак ае) на число Л называется вектор (Лаб Лат), т. е. (а~, ат) Л=(Лап Лат). По определению (ап ае) Л» Л (ап ае). Из определения операции умножения вектора на число следует, что для любозо вектора а и чисел Л, р (1+р) а=Ла+иа. 6 ты етр»». т — и 162 8 класс Рис. 222 Длл любых двух векторов а и Ь и числа Л Л(а+ Ь)=Ло+ЛЬ. Т е о р е м а 10.2. Абсолютнал величина вектора Ла равна !Л~1а). Нанравление вектора Лв нри а~О совнвдает с нанравлением вектора а, если Л'=»О, и нротивоноложно нанравлеиию вектора а, если Л~О. Доказательство.
Построим векторы ОА и ОВ, равные а и Ла соответственно (Π— начало координат). Пусть а, и а, — координаты вектора а. Тогда координатами точки А будут числа а~ и а„а координатами точки В будут Лаь Ла2 (рис. 222). Уравнение прямой ОА имеет вид: ах+ ру= О. Так как уравнению удовлетворяют координаты точки А (а1.,ас), то ему удовлетворяют н координаты точки В(Лоб Лаз). Отсюда следует, что точка В лежит на прямой ОА. Координаты с, и сс любой точки С, лежащей на полу- прямой ОА, имеют те же знаки, что и координаты а1 и аи точки А, а координаты любой точки, которая лежит на полупрямой, дополнительной к ОА„имеют противоположные знаки.
Поэтому если Л= О, то точка В лежит на полупрямой ОА, а следовательно, векторы а и Ла одинаково направлены. Если Л ~ О, то точка В лежит на дополнительной полупрямой, векторы а и Ла противоположно направлены. с тд. Вектовн Абсолютная величина вектора Ха равна: !Ха)=.Дй)~) +Ы(~а) =!Ц -~/аГ+ое=!Х~ )а!. Теорема доказана. 3 а д а ч а (1Т), Даны точки А (хб у~) и В(хр, уи). Докажите, что векторы АВ и ВА противоположно направлены. Р е ш е н и е.
Вектор АВ имеет координаты хе — х~ и уе — у,. Вектор ВА. имеет координаты х~ — хе и у~ — уь Мы видим, что АВ=~ — 1) ВА. А значит, векторы АВ и ВА противоположно направлены. ту. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ДВУМ НЕКОЛЛИНЕАРНЫМ ВЕКТОРАМ Два ненулевых вектора называются коппинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (рис. 223). Коллинеарные векторы либо одинаково направлены, либо противоположно направлены.
Пусть а и Ь вЂ” отличные от нуля кояликеарные векторы. доквзкеи, что существует число Х такое, что Ь=ха. Допустим, векторы а и Ь одинаково направлены. Векторы Ьи( — )а одинаково направлены и имеют одну н ту же абсолютную величину ~Ь!. Значит, они равны: — !Ы вЂ” — !Ы Ь= — а=1о, А= —. )а! )Ы Рис. 223 1ае 8 ксасс Рис. 224 В случае противоположно направленных векторов а и Ь аналогично заключаем, что — ~ь~ — — !Й Ь= — =а=)а, )а1 !а! что и требовалось доказать.
Пусть а и Ь вЂ” отличные от нуля неколлинеарные векторы. Докажем, что любой вектор с можно представить в виде с= Ка+ )с Ь. Пусть А и  — начало и конец вектора с (рис. 224). Проведем через точки А и В прямые, параллельные векторам а и Ь. Они пересекутся в некоторой точке С. Имеем: АЗ= АС+ СВ.
Так как векторы а и АС коллинеарны„то АС=)а. Так как векторы СВ и Ь коллинеарны, то СВ =РЬ. Таким образом, с=са+ ИЬ* что и требовалось доказать. 96. СВАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕИТОРОВ Скаллркы и произведением векторов а (об ас) и Ь (Ьа Ьс) называется число а ~ Ь1+ асбь Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение а-а обозначается а" и называется скалярным квадратом.
Очевидно, а' = (а ~ с. у ге.в сю Из определения скалярного произведения векторов следует, что длл любых векторов а (ад аг), Ь (Ь~, Ьг), с (е~, ед) (а+Ь) е=ас+Ьс. Действительно, левая часть равенства есть (а~ +Ь|) с~+ +(аг+Ьг) еь а правая а~е~+агсг+Ь|е1+Ьгсг. Очевидно, они равны. Углом между ненулевыми векторами АВ и АС называется угол ВАС. Углом между любыми двумя ненулевыми векторами а и Ь называется угол между равными им векторами с общим началом.
Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю. Т е о р е м а 10.3. Скалярное ироизведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. Доказательство. Пусть а и Ь вЂ” данные векторы и с — угол между ними. Имеем: (а+ Ь) =(а+ Ь) (а+ Ь)=(а+ Ь)а+(а+ Ь)Ь= =па+ Ьа+ аЬ+ ЬЬ=а'+ 2аЬ+ Ь', Отсюда видно, что скалярное произведение аЬ выражаетея через длины векторов а, Ь и а+Ь, а поэтому не зависит от выбора системы координат, т. е.
скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат ху так, как показано на рисунке 225. При таком выборе системы координат координа- Рис. 22З 1ае В класс тами вектора о будут ~а~ и О, а координатами вектора Ь будут !Ь!сое ср и !Ь|эш о. Скалярное произведение оЬ = ! а ! 1 Ь! соз ср+ ОСЬ ~ в)п ср = ~ а! ~ Ь ~ соз гр. Теорема доказана. Из теоремы 10.3 следует, что если векторы перпендикулярны, то ил скалярное произведение ровно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличнык от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. Зада ча (38). Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
Р е ш е н и е. Пусть четырехугольник АВСР— параллелограмм (рис. 226). Имеем векторные равенства АВ+АР=АС, А — АР=РВ. Возведем эти равенства в квадрат. Получим: АВа+ 2АВ АР+АХ)'= АС~, АВ' — 2АВ. АР+ АРа =РВ~. Сложим этн равенства почленно. Получим: 2АВ + 2АР'=АС'+РВ'. Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то это равенство и означает, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, что н требовалось доказать. Рэс. 226 167 99. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО КООРДИНАТНЫМ ОСЯМ Вектор называется единичным, если его абсолютная величина рав- на единице. Единичные векторы, имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами.
Мы будем нх Рис. 227 обозначать е~ (1; О) на оси хи ет(0; 1) на оси у (рис. 227). Так как координатные векторы отличны от нуля и не коллинезрны, то любой вектор а(ап ат) допускает разложение по этим векторам: а=Хе~ +рек Найдем коэффициенты Х и р этого разложения. Умножим обе части равенства (т) на вектор еь Так как а(ап ат) с| =аз е~ е~=1, ет.е~=0, то а~=1. Аналогично„умножая обе части равенства (т) на вектор еь получим а2 = р. Таким образом, для любого вектора а(ак ас) получается разложение а=аде, +а,е,. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что такое вектор? Как обозначаются векторы? 2.
Какие векторы называются одинаково направленными (противоположно направленными)? 3. Что такое абсолютная величина вектора? 4. Что такое нулевой вектор7 б. Какие векторы называются равными? 6. Докажите, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. И обратно: одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине, равны. 7. Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и только один.
1ЗВ В» 8. Что такое координаты вектора? Чему равна абсолютная величина вектора с координатами ао аР 9. Докажите, что равные векторы имеют соответственно равные координаты, а векторы с соответственно равными координатами равны. 10. Дайте определение суммы векторов. 11. Докажите, что для любых векторов а и Ь а+Ь=Ь+а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
