Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Доказательство. Начнем Рис. 202 с доказательства существования параллельного переноса, переводящего точку А в А'. Введем декартовы координаты на плоскости. Пусть аз ат — координаты точки А и а(, а( — координаты точки А'. Параллельный перенос, заданный формулами х'=х+а',— аь у'=у+аг — аи переводит точку А в точку А'. Действительно, при х = а~ н у = Р 1 Р =аг получаем х =аь у =аь Докажем единственность параллельного переноса, переводящего точку А в точку А'.
Пусть Х вЂ” произвольная точка фигуры и Х' — точка, в которую она переходит при параллельном переносе (рис. 202). Как мы знаем, отрезки ХА' и АХ' имеют общую середину О. Задание точки Х однозначно определяет точку Π— середину отрезка А'Х. А точки А и О однозначно определяют точку Х', так как точка О является серединой отрезка АХ' Однозначность в определении точки Х' и означает единственность параллельного переноса. Теорема доказана полностью. 3 а д а ч а (30). При параллельном переносе точка (1; 1) переходит в точку ( — 1; О). В какую точку переходит начало координатТ Р е ш е н и е. Любой параллельный перенос задается формулами х'=х+а, у'=у+Ь.
Так как точка (1; 1) переходит в точку ( — 1; О), то — 1=1+а, 0=1+Ь. Отсюда а= — 2, Ь= — 1. Таким с« образом, наш параллельный перенос, переводящий точку (1; 1) в ( — 1; О), задается формулами х'=х — 2, у' = у — 1. Подставляя в зти формулы координаты начала (х=0, у=0), получим х'= — 2, у'= — 1. Итак, начало координат переходит в точку ( — 2; — 1). 39. СОНАЛРАВЛЕННОСТЬ ГЮЛУПРЯМЫХ Две полупрямые называются одинаково направленными или соналравленными, если они совмещаются параллельным переносом.
То есть существует параллельный перенос, который переводит одну полупрямую в друтую. Если валуа рямые а и Ь одинаково навравлены и яолунрямые Ь и с одинаково наяравлены, то лолуирямь«е а и с тоже одинаково направлены (рис. 203). Действительно, пусть параллельный перенос, задаваемый формулами х'=х+т, у'=у+и, (*) переводит полупрямую а в полупрямую Ь, а параллельный перенос, задаваемый формулами х"=х'+ть у"=у'+нь переводит полупрямую Ь в полулрямую с. Рассмотрим параллельный перенос, задаваемый формулами х"=х+т+ть у"'=у+и+но (е««) Утверждаем, что этот параллельный перенос переводит полу- прямую а в полупрямую с.
Докажем это. Рие. 204 Рна 203 у 9. Двимение Пусть (х; р) — произвольная точка полупрямой а. Согласно формулам (е) точка (х+ т; у+в) принадлежит полупрямой Ь. Так как точка (х+ т; у+ и) принадлежит полупрямой Ь, то согласно формулам (е*) точка (х+т+т~., у+и+к~) принадлежит полупрямой с. Таким образом, параллельный перенос, задаваемый формулами (еэе), переводит полупрямую а в полупрямую с. А это значит, что полупрямые а и с одинаково направлены, что и требовалось докааать. Две полупрямые называются противоположно направленными, если каждая из них одинаково направлена с полупрямой, дополнительной к другой (рис. 204). 3 а д а ч а (32). Прямые АВ и СП параллельны.
Точки А и В лежат по одну сторону секущей ВС. Докажите, что лучи ВА и СВ одинаково направлены. Ряс. 205 Р е ш е н и е. Подвергнем луч СЮ параллельному переносу, при котором точка С переходит в точку В (рис 205). При этом прямая СР совместится с прямой ВА. Точка В, смещаясь по прямой, параллельной СВ, остается в той же полуплоскости относительно прямой ВС. Поэтому луч С1) совместится с лучом ВА.
а значит, эти лучи одинаково направлены. 90. РАВЕНСТВО ФИГУР Две фигуры называются равными. если они движением переводатся одна в другую. Для обозначения равенства фигур используется обычный знак равенства. Запись г =г' означает, что фигура г равна фигуре г'. В записи равенства треугольников: Л АВС = гзо ее г 1КУ) Рие.
206 = ЬА ~В~С~ — предполагается, что совмещаемые при движении вершины стоят на соответствующих местах. При таком условии равенство треугольников, определяемое через ил совмещение движением, и равенство, как мы его понимали до сил пор, выражают одно и то же. Это значит, что если у двух треугольников соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны, то зти треугольники совмещаются движением. И обратно: если два треугольника совмещаются движением, то у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. Докажем оба зти утверждения. Пусть треугольник АВС совмещается движением с треугольником А,В|Со причем вершина А переходит в вершину А ь В— в В, и С вЂ” в Со Так как при движении сохраняются расстояния н углы, то для наших треугольников АВ=А,Вь ВС=В|Сь АС=А~Сь ~А=~Аь ~В=~Во ~С=~Со Пусть теперь у треугольников АВС и А~В~С~ АВ=А~Во ВС=В~Со АС=А~Сь ЛА=~Ао ~ В=~Во ~С= ~С,.
Докажем, что они совмещаются движением, причем вершина А переходит в вершину Аь  — в В„С вЂ” в Сь Подвергнем треугольник АВС преобразованию симметрии относительно прямой а, перпендикулярной к отрезку АА~ и проходящей через его середину (рис. 206). Получим треугольник А1ВгСь Если точки В~ и Вр различны, то подвергнем его симметрии относительно прямой Ь, которая проходит через точку А| и е 9.
Движение перпендикулярна к прямой В1Вь Получим треугольник А~В~Си Если точки С~ и Сз лежат по одну сторону от прямой А~Во то они совпадают. Действительно, так как углы В~А~С~ и В,А~Се равны, то лучи А1С~ и А~Сз совпадают, а так как отрезки А,С, и А ~ Св равны, то совпадают точки С, и Сз Таким образом, треугольник АВС движением переведен в треугольник А,В~Со Если точки С, и Сз лежат по разные стороны от прямой А~Вь то длЯ доказательетва надо еще пРименить симметРию отноеительно прямой А ~Вь ° КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1.
Какое преобразование фигуры называется движением? 2. Докажите, что точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. 3. Во что переходят прямые. полупрямые, отрезки при движении? 4. Докажите, что при движении сохраняются углы. б.
Объясните, какие точки называются симметричными относительно данной точки. 6. Какое преобразование называется симметрией относительно данной точки? 7. Какая фигура называетея центрально-симметричной? 8. Что такое центр симметрии фигуры? Приведите пример центрально-симметричной фигуры.
9. Докажите, что симметрия относительно точки есть движение. 10. Какие точки называются симметричными относительно данной прямой? 11. Какое преобразование называется симметрией относительно данной прямой? 12. Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой? 13. Что такое ось симметрии фигуры? Приведите пример. 14. Докажите, что симметрия относительно прямой есть движение.
16. Какое движение называется поворотом? 16. Что такое параллельный перепое? 17. Какие вы знаете свойства параллельного переноса? 18. Докажите существование н единственность параллель- ного переноса, переводящего данную точку в другую дан- ную точку. 19. Какие полупрямые называются одинаково направлен- ными? 20. Докажите, что если полупрямые а и Ь одинаково направлены и полупрямые Ь и с одинаково направлены, то полупрямые а и с тоже одинаково направлены.
21. Какие полупрямые называются противоположно на- правленными? 22. Какие фигуры называются равными? ЗАДАЧИ 1. Докажите, что при движении параллелограмм пе- П реходит в параллелограмм. 2. В какую фигуру переходит при движении квадрат? Объясните ответ. П 84 3.
Даны точки А и В. Постройте точку В', симмет- ричную точке В относительно точки .А. 4. Решите предыдущую задачу, пользуясь только цир- кулем. 5. Докажите, что центр окружности является ее центром симметрии. 6. При симметрии относительно некоторой точки точка Х переходит в точку Х'.
Постройте точку, в которую при этой симметрии переходит точка У. 7. Может ли у треугольника быть центр симметрии? 8. Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии. 9. Докажите, что четырехугольник, у которого есть центр симметрии, является параллелограммом. 10*, Даны пересекающиеся прямые и точка, не лежащая на этих прямых. Постройте отрезок с концами на данных прямых и серединой в данной точке (рис.
207). 11. Что представляет собой фигура, симметричная относительно данной точки. "1) отрезку; 2) углу; 3) треугольнику? П 12. Даны точки А, В, С. Постройте точку С', симмет- ричную точке С относительно прямой АВ. 13. Решите задачу 12, пользуясь только циркулем. 14. Чему равны координаты точки, симметричной точке (' — 3; 4) относительно: 1) осн х; 2) оси у; 3) начала координат? 15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
