Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 23
Текст из файла (страница 23)
При симметрии относительно некоторой прямой точка Х переходит в точку Х'. Постройте точку, в которую при этой симметрии переходит точка У. 18. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла, является его осью симметрии. 17. Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника. проведенную к основанию, является осью симметрии треугольника. 18. Докажите, что если у треугольника есть ось симметрии, то:1) она проходит через одну из его вершин; 2) треугольник равнобедренный, 19.
Сколько осей симметрии у равностороннего треугольника? 20. Докажите, что прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются его осями симметрии (рис. 208). 21. Докажите, что диагонали ромба являются его осями симметрии. 22. Докажите, что диагонали квадрата и прямые, проходящие через точку их пересечения параллельно его сторонам.
являются осями симметрии квадрата ~рис. 209). 23. Докажите, что прямая„проходящая через центр окружности. является ее осью симметрии. Рис. 209 Рис. 210 Па В с 24~. Даны три попарно пересекающиеся прямые а, Ь, с. Как построить отрезок, перпендикулярный прямой Ь, с серединой на прямой Ь и концами нв прямых а и с (рис. 210)? Всегда ли задача имеет решение? П 25. 1) Постройте точку А,„в которую переходит точка А при повороте около точки О на угол 60' по часовой стрелке.
2) Постройте фигуру, в которую переходит отрезок АВ при повороте около точки 0 на угол 60' по часовой стрелке. 26. Постройте фигуру, в которую переходит треугольник АВС при повороте его около вершины С на угол 60'. П 27. Даны точки А, В, С. Постройте точку С', в которую переходит точка С при параллельном переносе, переводящем точку А в В. 28. Параллельный перенос задается формулами х'=х+1, у'= у — 1. В какие точки при атом параллельном переносе переходят точки (О;0), (1;0), (О;2)? 29. Найдите величины а и Ь в формулах параллельного переноса х'= — х+а, у'= у+ Ь, если известно, что: 1) точка (1; 2) переходит в точку (3; 4); 2) точка (2; — 3) — в точку ( — 1; 6); 3) точка ( — 1; — 3) — в точку (О; — 2). П 30. При параллельном переносе точка (1; 1) переходит в точку ( — 1; 0). В какую точку переходит начало координат? 31.
Существует ли параллельный перенос, при котором: 1) точка (1; 2) переходит в точку (3; 4), а точка (О; 1)— в точку ( — 1; 0); 2) точка (2; — 1) переходит в точку (1; 0), а точка ( — 1; 3) — в точку (0.„4)? П 32. Прямые АВ и СП параллельны. Точки А и П лежат по одну сторону от секущей ВС. Докажите, что лучи ВА и С1) одинаково направлены. 33. Докажите, что в задаче 32 лучи ВА и СВ противоположно направлены, если точки А и В лежат по разные стороны от секущей ВС.
34. Четырехугольник АВСЮ вЂ” параллелограмм. Среди лучей АВ, ВА, ВС, СВ, СР, ВС, АР, РА назовите пары одинаково и противоположно направленных лучей. П 35. докажите, что отрезки Равной длины и углы с Равной градусной мерой совмещаются движением. 36". У параллелограммов АВСП и А ~В~С~Э~ АВ =А ~Во А1)= =А~Р~ и ~А= ~Аз Докажите, что параллелограммы равны, т.
е. совмещаются движением. 37*. Докажите, что ромбы равны, если у ннх равны диагонали. 38. Докажите, что две окружности одинакового радиуса равны, т. е. совмещаются движением. $10. ВЕКТОРЫ Ф4. АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА И НАПРАВЛЕНИЕ ВЕКТОРА Векгором мы будем называть направленный отрезок (рис. 211). Направление вектора определяется указанием его начала н конца. На чертеже направление вектора отмечается стрелкой.
Для обозначения векторов будем пользоваться строчными латинскими буквами а, Ь, с, .... Можно также обозначить вектор указанием его начала и конца. При атом начало вектора ставится на первом месте. Вместо слова «вектор» над буквенным обозначением вектора иногда ставится стрелка или черта.
Вектор на рисунке 211 можно обозначить так: а, а или АВ, АВ. Рис. 212 Рис. 211 Векторы АВ и СВ называются одинаково направленнымы, если полупрямые АВ и СР одинаково направлены. Векторы АВ и СВ называются противоположно направленпъиии, если полупрямые АВ и СВ противоположно направлены. На рисунке 212 векторы а и Ь одинаково направлены, а векторы а и с противоположно направлены. Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор.
Абсолютная величина вектора а обозначается ~а~. Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается нулем с черточкой (0). О направлении нулевого вектора не говорят. Абсолютная величина нулевого вектора считается равной нулю. Р2. РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Зто означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора. Из данного определения равенства векторов следует, что равные векторы одинаково направлены и равны но абсолютной величине.
Обратно: если векторы одинаково налравлены и равны ио абсолютной величине„то они равны. Действительно, пусть АВ и СР— одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине ~рис. 213). Параллельный перенос, переводящий точку С в точку А, совмещает полупрямую СР с полупрямой АВ„так как они одинаково направлены. А так как отрезки АВ и СР равны, то при этом точка .Р совмещаетм~ с точкой В, т.
е. параллельный перенос переводит вектор СР в вектор АВ. Значит, векторы АВ и СР равны, что и требовалось доказать. Рис. 214 Задача (2). Четырехугольник АВСР— параллелограмм. Докажите равенство векторов АВ и РС. Р е ш е н и е. Подвергнем вектор АВ параллельному переносу, при котором точка А переходит в точку Р (рис. 214). При этом переносе точка А смещается по прямой АР, а значит, точка В смещается по параллельной прямой ВС. Прямая АВ переходит в параллельную прямую, а значит„в прямую РС. Следовательно, точка В пе- 16? Ю 10. Вооори реходнт в точку С.
Таким образом, нащ параллельный перенос переводит вектор АВ в вектор ЭС, а значит, эти векторы равны. Пусть а — вектор и А — произвольная точка. Тогда от точки А можно отложить один и только один вектор а', равный вектору а. Действительно, существует единственный параллельный перенос, при котором начало вектора а переходит в точку А. Вектор, в который переходит при этом вектор а, и. есть вектор а'. Для практического откладывания от данной точки (П) вектора, равного данному (АВ), можно воспользоваться задачей 2. 93.
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА Пусть вектор а имеет началом точку А, (х,; у1), а концом— точку Аз (х2, уз), Координатами вектора а будем называть числа а~=хе — хь аз=уз — уо Координаты вектора будем ставить рядом е буквенным обозначением вектора, в данном случае а (а1, аз) или просто (а1, аз). Координаты нулевого вектора равны нулю. Из формулы, выражающей расстояние между двумя точками через их координаты, следует, что абсолютная величина вектора с координатами аь ат равна -~Га1~+а$1. Равные векторы имеют равные соответствующие координатьь И обратно: если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны. Действительно, пусть А~ (х~', у~) и Ар(хр, 'уе) — начало н конец вектора а.
Так как равный ему вектор а' получается нз вектора а параллельным переносом, то его началом и концом будут соответственно А ', (х1+ с; у, + д), А; (хз+ с; у~ + д). Отсюда видно, что оба вектора а и а' имеют одни и те же координаты: хе — хо ур — уь Докажем теперь обратное утверждение.
Пусть соответствующие координаты векторов А~Ад и А(А( равны. Докажем, что векторы равны. Пусть х( и у( — координаты точки А(, а хь у( — коорди- 1ЗЗ В наты точки Аг. По условию теоремы хг — х|=хг — х|, уг — у~ = =уг — у;. Отсюда хг=хг+х( — х„уг=уг+у| — уо Параллельный перенос, заданный Формулами х'=х+х( — хь у'=у+у; — уь переводит точку А~ в точку А1, а точку Аг в точку Аг, т.
е. векторы А,Аг и А(Аг равны„что и требовалось доказать. Задача (7). Даны три точки А (1; 1), В ( — 1; О), С (О; 1). Найдите такую точку Э (х; у), чтобы векторы АВ и СВ были равны. Решение. Вектор АВ имеет координаты — 2, — 1. Вектор СВ имеет координаты х — О, у — 1. Так как АВ= = СВ, то х — О= — 2, у — 1= — 1. Отсюда находим координаты точки Э: х= — 2, у=О.
94. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ Суммой векторов а и Ь с координатами ао аг и Ь„Ьг называется вектор с с координатами а~+ Ьь аг+Ьг, т. е. а(а1, аг)+Ь(Ь|, Ьг)=с(а,+Ь|., а,+Ьг). Для любых векторов а (а; а ), Ь (Ьп Ьг), с (с; с ) а+Ь=Ь+а, а+(Ь+с)=(а+Ь)+с. Для доказательства достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, стоящих в правой и левой частях равенств. Мы видим, что они равны. А векторы с соответственно равными координатами равны.
8(хг) у,) Рис. 216 Рис. 215 г ге. Вест»З»» Т е о р е м а 10.1. Каковы бы ни были точка А, В, С, имеет место векторное равенство АВ+ВС = АС. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А (х ~; У ~), В (хз: Уз). С (хз' Уз)— данные точки (рнс. 215). Вектор АВ имеет координаты хз — х„ уз — у„вектор ВС имеет координаты х,— хь уз — уь Следовательно, вектор АВ+ ВС имеет координаты хз — хь уз — у~ А это есть координаты вектора АС. Значит, векторы АВ+ВС и АС равны. Теорема доказана. Теорема 10.1 дает следующий способ построения суммы произвольных векторов а и Ь.
Надо от конца вектора а отложить вектор Ь', равный вектору Ь. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец — с концом вектора Ь', будет суммой векторов а и Ь (рис. 216). Такой способ получения суммы двух векторов называется »правилом пзреугольниха» сложения векторов. Для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма„построенного на этих векторах (»правило параллелограмма», рнс. 217). Действительно, АВ+ +ВС =АС, а ВС =А1Х Значит, АВ+АЙ=АС.
д Рис. 217 Рис. 218 Разностью векторов а(а~, аз) и Ь(ЬП Ьз) называется такой вектор с (с~, сзй который в сумме с вектором Ь дает вектор а: Ь+ с=а. Отсюда находим координаты вектора с=а — Ь: с~=а~ — Ь!, сз=аз — Ьь 3 а д а ч а (1Ц. Даны векторы с общим началом: АВ и АС (рис. 218). Докажит~, что АС вЂ” АВ= ВС. Р е ш е н и е. Имеем АВ+ ВС =АС. А зто значит, что АС вЂ” АВ = ВС. Отсюда получается следующее правило для построения разности двух векторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
