Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 18
Текст из файла (страница 18)
52. Найдите острый угол Х, если: 1) Фа х=0,3227; 2) Сд х= =0,7846; 3) $а х=6,152; 4) 18 х=9,254. 53. Высота равнобедренного треугольника равна 12,4 м, а основание 40,6 м. Найдите углы треугольника и боковую сторону. 54. Отношение катетов прямоугольного треугольника равно 19: 28.
Найдите его углы. 55. Стороны прямоугольника равны 12,4 и 26. Найдите угол между диагоналями. 56. Диагонали ромба равны 4,73 и 2,94. Найдите его углы. 57. Сторона ромба 241 м, высота 120 м. Найдите углы. 58. Радиус окружности равен б м. Из точки, отстоящей от центра на 13 м, проведены каеательные к окружности. Найдите длины касательных и угол между ними.
59. Тень от вертикально стоящего шеста, выеота которого 7 м, еоставляет 4 м. Выразите в градусах выеоту еолнца над горизонтом (рис. 168). 60. Основание равнобедренного прямоугольного треугольника равно а. Найдите боковую сторону. 61. Найдите.неизвестные стороны и оетрые углы прямоугольного треугольника по следующим данным: 1)подвумкатетам: а)а=З, Ь=4; б)а=9, Ь=40; в)а=20, Ь=21; г) а=11, Ь=60; 2) по гипотенузе и катету: а) с=13, а=б; б) с=25, а=Т; в) с=17, а=8; г) с=85, а=84; 3) по гипотенузе и острому углу: а) с=2, и=20; б) с=4, а=50 20', в) о=8, а=70 36', г) с=16, а=76'21", 4) по катету н противолежащему углу: а) а = 3, а = 30'27', б) а=б, и=40'48', в) а=Т, я=60'35', г) а=9, я=68'.
П 68 62. Упростите выражения: 1) 1 — вше и; 2) (1 — соз а) (1+сов а); 3) 1+в(пт а-(-сов~ а; 4) а(п а — в(п а созе а; 5) в(п' а+ соз' а+ 2 а$п~а созе а; 6) $д~ а — вш а 18~ а; 8) $д'я(2сси'а+вш'а — 1); 9) т ев '",,+~в '". С 7. Теорема ПпСЬосоро 119 63. Вычислите значения вш сс и 2я я, если: 1) созяья —; 2) совяьк —; 3) сова=0,6. б 13 .
13 Ф 17 ' 64. Найдите сова и Фяя, если: 1) вшсс= —; 2) вшаея —; 3) вшя=08. 3.. 4О. У 41 ' Ф 65. Постройте угол а, если известно, чтоб 1) соз сс= —; 7 2) Я)па= —; 3) вша=0,5; 4) 16а= —," 5) 26а=0,7. 4 3 П 66. В прямоугольном треугольнике с гипотенувой а и углом 60 найдите катет, противолежащий этому углу.
67. Найдите радиус г окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной а, н радиус В окружности, описанной около него. 68. В треугольнике один из углов при основании равен 45', а высота делит основание на части 20 см и 21 см. Найдите ббльшую боковую сторону' (рис. 169). Рис. 163 Рис.
139 в)п ))= —; 3 4 г осе 5=0,74 26 Р= — 7 Ь 2 4) сов ос=0,75, 6) 26 3 ' Иногда в произвольном треугольнике, необязательно равнобедренном, сторона. проведенная горизонтально. называется основанием, а две другке— боковыми сторонами, как в данной задаче. 69. У треугольника одна из сторон равна 1 м, а прилежащие к ней углы равны 30 и 45 . Найдите другие стороны треугольника. 70. Диагональ прямоугольника в два раза больше одной из его сторон.
Найдите углы между диагоналями. 71. Диагонали ромба равны а и а ~/3. Найдите углы ромба. П 72. Какой из углов больше — а или 5, если: 1) в)па= — в1п5= —; 2) вша= —, 1 . 1 .. 2 3 4 3 3) соз а = —, сов 5= —; 3 2. 7 ' $ 5) 26 ос=2,1, 16 5=2,5; 1ВО В с 73.
У прямоугольного треугольника АВС угол А больше угла В. Какой из катетов больше — АС или ВС? 74. У прямоугольного треугольника АВС катет ВС больше катета АС. Какой угол больше — А или В? е е. декмтовы координАты нА плоскости 71. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ Проведем на плоскости через точку О две взаимно перпендикулярные прямые х н у — оси координат (рис. 170). Ось х (она обычно горизонтальная) называется осью абсцисс, а ось у — осью ординат.
Точкой пересечения Π— началом координат — каждая нз осей равбивается на две полуоси. Условимся одну нз них называть положительнои, отмечая ее стрелкой, а другую — отрицательной. Каждой точке А плоскости мы сопоставим пару чисел— координаты точки — абсцкссу (х) и ординату (у) по такому правилу. Через точку А проведем прямую, параллельную оси ординат (рис. 171).
Она пересечет ось абсцисс х в некоторой точке А.. Абсциссой точки А мы будем называть число х, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки А,. Это число будет положительным, если А, принадлежит положительной полуоси,и отрицательным, если А„ Рис. 170 Рис. 171 в 8. Декартовы координаты на нвоскос'ти Рис. 172 принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси ординат у, то полагаем х равным нулю. Ордината (у) точки А определяется аналогично.
тверез точку А проведем прямую, параллельную оси абсцисс х (см. Рис. 171). Она пересечет ось ординат у в некоторой точке А„. Орданатой точки А мы будем называть число у, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точ- ений ученый (1596— ки А„. Это число будет полоиси- 1зоо) тельным, если А в принадлежит положительной полуоси,и отрицательным, если А„принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси абсцисс х, то полагаем у равным нулю. Координаты точки будем ааписывать в скобках рядом с буквенным обозначением точки, например: А (х; у) (на первом месте абсцисса, на втором — ордината). Оси координат разбивают плоскость на четыре части— четверти: 1, П, 111, 1'Ч (рис.
172). В пределах одной четверти знаки обеих координат сохраняются и имеют значения, указанные на рисунке. Точки оси х (оси абсцисс) имеют равные нулю ординаты (у = — О), а точки оси у (оси ординат) имеют равные нулю абсциссы (х=О). У начала координат абсцисса и ордината равны нулю. Плоскость, на которой введены описанным выше способом координаты х и у, будем называть плоскостью ху. Произвольную точку на этой плоскости с координатами х н у будем иногда обозначать просто (х; у).
Введенные на плоскости координаты х и у называются декартовыми по имени Р. Декарта, который впервые применил их в своих исследованиях. 1вв в Задач а (9). Даны точки А ( — 3; 2) и В(4; 1). Докажите, что отреаок АВ пересекает ось у, но не пересекает ось х. Р е ш е н и е. Ось у раабивает плоскость ху на две полу- плоскости. В одной полуплоскости абсциссы точек положительны, а в другой — отрицательны. Так как у точек А и В абсциссы противоположных знаков, то точки А и В лежат в разных полуплоскостях. А это аначит, что отрезок АВ пересекает ось у. Ось х также раабивает плоскость ху на две полуплоскости.
В одной полуплоскости ординаты точек положительны, а в другой — отрицательны. У точек А и В ординаты одного знака (положительны). Значит, точки А и В лежат в одной полуплоскости. А следовательно, отрезок АВ не пересекается с осью х. УЗ. КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА Пусть А(х~', у~) и В(хг„у~) — две произвольные точки и С(х; р) — середина отреака АВ.
Найдем координаты х, у точки С. Рассмотрим сначала случай, когда отрезок АВ не параллелен оси у, т. е. х~ чь хм Проведем череа точки А, В, С прямые, параллельные оси у (рис. 173). Они пересекут ось х в точках А~ (х~,. О), В~ (х2, О), С, (х; О). По теореме Фалеса точка С~ будет серединой отрезка А~Во Так как точка С~ — середина отрезка А~Вь то А~С~ =В,С„ а значит, (х — х~ ! = (х — х~(. Отсюда следует, что либо х — х~ = =х — хь либо х — х~ = — (х — хг).
Первое равенство невоаможно, так как х~ чьх.. Поэтому верно второе. А из него получается формула Х,+Х2 х= 2 Если х~ =хм т. е. отрезок АВ параллелен оси у, то все три точки А„Вь С~ имеют одну и ту же абсциссу. Значит, формула остается верной и в этом случае.
Рис. 173 1 В. Деиартоаы иоогдииаеы на ахосиосеи шз Ордината точки С находится аналогично. Через точки А, В, С проводятся прямые, параллельные оси х. Получается формула У~+Ус г 3 а д а ч а (15). Даны три вершины параллелограмма АВСВ1 А (1; 0), В (2; 3), С (3; 2). Найдите координаты четвертой вершины Р и точки пересечения диагоналей.
Р е ш е н и е Точка пересечения диагоналей является серединой каждой ив них. Поэтому она является серединой отрезка АС, а значит, имеет координаты х= — =2, у= — =1. 1+з о+г г ' г Теперь, зная координаты точки пересечения диагоналей, находим координаты х, у четвертой вершины Х>. Пользуясь тем, что точка пересечения диагоналей является серединой отрезка ВЮ, имеем: — =2, — =1.
Отсюда х=-2, у= — 1. г+х 3+у г ' г 13. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ Пусть на плоскости ху даны две точки: А~ с координатами хы у~ и Аа с координатами хи уь Выразим расстояние между точками А~ и Ае через координаты этих точек. Рассмотрим сначала случай, когда х~ ~хе и у~ 4=уь Проведем через точки А, и Ае прямые, параллельные осям координат, и обозначим череа А точку их пересечения (рис. 174).
Расстояние между точками А и А~ равно )у~ — уе), а расстояние между точками А н Ае равно ~х~ — х ~. Применяя к прямоугольному треугольнику АА~А теорему Пифагора, получим: с(е=1х~ — хс)е+(у~ — у )', (а) где с( — расстояние между точка- ми А~ иА. Рис. 174 Хотя формула (в) для расстояния между точками выведена нами в предположении х~ ~хи у, ~ уь она остается верной и в других случаях. Действительно, если х~ =хи у~ чъуь то д равно ~у~ — уг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
