Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Это означает, что у двух прямоугольных треугольников с одним и тем же острым углом косинусы етого угла равны. Доказательство. Пусть АВС и А'В'С' — два прямоугольных треугольника с одним и тем же углом при вершинах А и А', равным а (рис. 148). Требуется доказать, что В А Рис. 147 Рис. 14З г 7. уеооеии ПиФагора Построим треугольник АВ~Сь равный треугольнику А'В'С', как показано на рисунке 148. Так как прямые ВС и В~С, перпендикулярны прямой АС, то они параллельны. По теореме о пропорциональных отрезках АС1 АС АВ, АВ' А так как по построению АС1 =А'С', АВ~ =А'В'„то А'С' .АС А'В' АВ Теорема доказана. ЬЗ. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА Т е о р е м а Т.2 (теорема Пифагора).
В прямоугольном грсузолъкикс квадрат зкпотенузы равен сумме квадратов катетов. Д о к аз а тел ь ство. Пусть АВС вЂ” данный прямоугольный треугольник с прямым утлом С. Проведем высоту СР из вершины прямого угла С (рис. 149). рис. 149 А По определению косинуса угла соз А = — = †. Отсюда АВ АС АС АВ ' АВ.АР=АС . Аналогично сов В= — = —. Отсюда АВ.ВР= 2 вв вс ВС АВ =ВС'.
Складывая полученные равенства почленно и замечая, что АР+РВ=АВ, получим: АСг+ВСг =АВ (АР+РВ) =АВ'. Теорема доказана. 104 8 класс А () 8 г,. 1ьо СП=-~ьс — ® . 64. ЕГИПЕТСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК 3 а д а ч а (17). Докажите, что если треугольник имеет стороны о, Ь, с и а'+ Ь'=с', то у него угол, противолежащий стороне с, прямой. Р е ш е н и е. Пусть АВС вЂ” данный треугольник, у которого АВ=с, АС=а, ВС= Ь (рис.
151). Построим прямоугольный треугольник А,В~С~ с катетами А ~С~ — — а А, Рис. 151 с Из теоремы Пифагора следует, что в прямоугольном треугольнике любой иг катетов менъиле гипотенузы. Отсюда, в свою очередь, следует, что гоги~1 для любого острого угла и. 3 а д а ч а (11). Найдите медиану равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной Ь, проведенную к основанию.
Р е ш е н и е. Пусть АВС вЂ” равнобедренный треугольник с основанием АВ и СЭ вЂ” его медиана, проведенная к основанию (рис. 150). Как мы знаем, медиана равнобед- С ренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой. Поэтому треугольник АСР прямоугольный с прямым углом В. По теореме Пифагора АР'+СВ'-'=АС', ( — ') +СП'=Ь'. Отсюда 105 4 7. Теорема Пифагора и В~с~ = — Ь. По теореме Пифагора у него гипотенуза А ~В~ = — ч)а + Ьт=с.
Таким образом, треугольники АВС и А ~В1С1 равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует, что угол треугольника АВС при вершине С прямой, Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла пользовались следующим приемом. Бечевку узлами делили на 12 равных частей и концы связывали. Затем бечевку растягивали на пифагор — древногреземле так, что получался треугольник со чоовка т "о""" <~1 ь. до и. к) сторонами 3, 4 и 5 делений.
Угол треугольника, противолежащий стороне с 5 делениями, был прямой (32+ 42= 5~). В связи с указанным способом построения прямого угла треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ед. иногда называют египетским. б5. ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ АВ'+ АС' = ВС'. Рок 152 Пусть ВА — перпендикуляр, опущенный из точки В на прямуюю а, и С вЂ” любая точка прямой а, отличная от А Отрезок ВС называется наклонной, проведенной из точки В к прямой а (рис. 152), Точка С называется основанием наклонной. Отрезок АС называется проекцией наклонной. Из теоремы Пифагора следует, что если к прямой ив одной точки проведенм перпендикуляр и ко- и иконные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные накяоннме имеют равнме проекции, из двух наклоннмх больше та, у которой проекция больше.
Действительно (см. рис. 152], по теореме Пифагора А 106 3 мласс Отсюда видно, что ВС)АВ. При данном АВ чем больше АС, тем больше ВС. 3 а д а ч а (19). На стороне АВ треугольника АВС взята точка Х. Докажите, что отрезок СХ меньше по крайней мере одной из сторон АС или ВС. А 1с 0 8 8 )( А () а) Ц Рзс. 15з Р е шеи ив. Проведем высоту СР треугольника.
В любом случае отрезок РХ меньше либо АР (рис. 153, а), либо ВР (рис. 153, б). По свойству наклонных, проведенных из одной точки, отсюда следует, что отрезок СХ меньше по крайней мере одного из отрезков АС или ВС. Что и требовалось доказать. бб. НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИНА Если точки А и В различны, то расстоянием между ними называется длина отрезка АВ. Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними принимается равным нулю. Т е о р е м а 7.3 (неравенство треугольника). Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этик точек ие больше суммы расстояний от ник до третьей точки Это значит, что каждое из этих расстояний меньше суммы или равно сумме двух других. Дока з а тельство. Пусть А, В, С вЂ” три данные точки.
Если две точки из трех или все три точки совпадают, то утверждение теоремы очевидно. Если все точки различны н лежат на одной прямой, то одна из них лежит между двумя другими, например В. 3 этом 1 7. Теоиема Пифаеога случае АВ+ВС=АС. Отсюда видно, что каждое из трех расстояний не больше суммы двух других. Допустим теперь, что точки не лежат на одной прямой (рис. 154). Докажем, что АВ(АС+ВС. Опустим перпендикуляр СР на прямую АВ. По доказанному АВ(АВ+ВВ.
И так как АЭ(АС и ВВ(ВС, то АВ =АС+ВС. Теорема доказана. Р В Рис. 154 Рис. 155 Заметим, что в случае, когда точки не лежат на одной прямой, в неравенстве треугольника строгое неравенство. Отсюда следует, что в любом треузольннке каждая сторона меньше суммы двух друзах сторон. Задача 123). Докажите, что любая хорда окружности не больше диаметра и равна диаметру только тогда, когда сама является диаметром. Р е ш е н и е (рис. 155).
По неравенству треугольника АВ(ОА+ОВ=2В, причем если центр О не лежит на отрезке .АВ, то неравенство строгое, Равенство имеет место только в случае, когда хорда проходит через центр, т. е. является диаметром. 67. СООТНОШЕНИЯ МЕ)КДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ Пусть АВС вЂ” прямоугольный треугольник с прямым углом С и острым углом при вершине А, равным а 1рис.
156). Согласно определению соз а равен отношению катета, прилежащего к углу а, к гипотенузе. 108 8 класс Синусом угла о. (обозначается з1п ес) называется отношение противолежащего катета ВС к гипотенузе АВ: ВС з1п а= —. АВ Тангенеом угла я (обозначается $у а) называется отношение противолежащего катета ВС к прилежащему катету АС: Рис. 156 $д а= —. ВС АС ' Синус и тангенс уапа так же, кап и косинус, зависят толысо от величины угла. Действительно, по теореме Пифагора вс = ~ А — лС По определению ВС ааа= —. АВ Подставим значение ВС: Так как соз а зависит только от величины угла, то и аш а зависит только от величины угла. По определению $д а=— ВС АС Разделим числитель и знаменатель на АВ: ВС АС в!и о $д а= —: — =— АВ'АВ сова ' Отсюда видно, что и Фу а зависит только от величины угла.
Из определения вша, сова и 1у а получаем следующие правила." Катет, противолежащий углу а, равен произведению гипотенузьв на звп а. Катет, прилежащий к углу я, равен произведению гипотенузы на соз а. г 7. теоаема Пифаеоза Катет, нротиволежая)ий углу а, равен нроизвеоению второго катета на (у а. Эти правила позволяют, зная одну из сторон прямоугольного треугольника и острый угол, находить две другие стороны; зная две сторонь1, находить острые углы (рис. 157).
а«ГЛЛ.С 6еб СОЫ 0 а=6 (дс( Рис. 157 3 а д а ч а (47). В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза с и острыи угол а. Найдите катеты, их проекции.на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу. Реше ни е (рнс. 188), АС =АВ соз а = с соз а; ВС=АВзвп а=с з1п а; ВП=-ВСз1п а=сз1п а; АВ=АС соз а=с сов а'„ С0 =АС з(п а = с з(п а соз сс.
Рис. 158 Для з(псе, сова и 1д а составлены специальные таблицы. Эти таблицы позволяют по данному углу а найти з1п а, соз а и Фб а или по значениям з1па, соз а, $у сс найти соответствующий угол. В настоящее время для атой цели обычно применяют микрокалькуляторы.
бб. ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА Одно тождество вы уже знаете: в1и « (д а= —. сов а Докажем следующие тождества: зшв а+ савв а=1, 1+Фу~ се=,, 1+ —., еов'« ' сз'«вж « 110 8 ивово Возьмем любой прямоугольный треугольник АВС с углом при вершине А, равным х (рис. 159). По теореме Пифагора ВС" +.АСв=АВ'. Разделим обе части равенства на АВ-'. Получим: Рие. 159 Но — =е)п а, — =сов а.
Таким образом, ВС . АС АВ ' АВ з1п и+сов а=1. Это равенство есть тождество. Оно верно для любого острого угла я. Чтобы получить второе тождество, разделим обе части полученного тождества на созе ее. Получим: — +1= —,, ли 1+13 в1и' а 1 2 1 еовв а еовв а ' сов' а Если обе части тождества в)поп+соев а=1 разделить на зшв а, то получим третье тождество: 1 1 1+ —, ве'а в1и а" Значение этих тождеств заключается в том, что они позволяют, зная одну из величин зш а, соз и или $я а, найти две другие. 3 ада ч а (63).
Вычислите значения зшя и Фй а, если в 5 соз а= —. 13 Решение. Так как зш- и+соева=1, то вша= 1 — соз и= 1 — ~ — ) = —. К5~ 12 ~1З) 15 вша 15 Фн а= — = —. вова 5 г 7. Теорема ПщЬагара бр. ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА НЕКОТОРЫХ УГЛОВ Теорема 7.4. Для любого острого угла я ьбп (90' — я) =сов я, сов (90' — я) =вгп я. Доказательство.
Пусть АВС вЂ” прямоугольный треугольник с острым углом я при вершине А (рис. 160). Тогда острый угол при вершине В равен 90 — я. По определению ВС Ас в1пя= — . сов я= —, АВ' АВ' вгп(90 — я)= —, сов(90' — я)=— э АВ Из второго и третьего равенств получаем вш(90 — я)=сов я. Из первого и четвертого равенств получаем сов (90' — я)=в1п я. Теорема доказана. Рас. 160 Найдем синус. косинус и тангенс угла 45'. Для етого построим прямоугольный треугольник с острым углом 45' (рис. 161). Второй его острый угол тоже равен 45', поэтому треугольник равнобедренный. Пусть катеты треугольника равны а. По теореме Пифагора гипотенузв будет а -~~2. Находим: вш 45 = —.
= —. = —; а 1 ~/2. а 1/2 г2 сов 45 = — = — =- —; (д 45'= — =1. а 1 .г2 е а ау~2 92 2 ' а 1 7. георееео пифаеоро 113 Так как соз а= —, сов р= —, АВ АВ АС' АВ' то соз а~сов б, т. е. при возрастании угла косинус убывает. Так как зш а=-1~1 — соз сь а соз и убывает при возрастании угла, то з1п и возрастает. о1П а Так как Фя и= — и з1п а возсое а А растает„а сова убывает при возрастании а„то Фя сс возрастает при возрастании а. Теорема доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
