Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Рас. 163 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Дайте определение косинуса острого угла прямоугольного треуголыщка. 2. Докажите„что косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от располоясения и размеров треугольника. 3. Докажите теорему Пифагора. 4. Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуаа больше любого из катеюв. 5. Докажите, что соз сс~1 для острого угла а. 6.
Докажите, что если из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра. Равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше. 7. Докажите неравенство треугольника. 8. Докажите, что в треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон. 9. Дайте определения синуса и тангенса острого угла.
Докажите, что они зависят только от градусной меры угла. 10. Как выражается катет прямоугольного треугольника через гнпотенузу и острый угол, через острый угол и другой катет? 11. Докажите тождества: 31п' се+сов' сс=1; 1+Фи а= —; 1+--1==, 2 1 1 1 осе'а ' 131 а ем' а 12.
Докажите, что для любого острого угла и з1п(90' — а)=сов»т, сов (90* — а)=з1п а. 13. Чему равны значения еинуса, косинуса и тангенеа углов 30', 45, 60'7 14. Докажите, что а(пи и 1я а возрастают при возрастании острого угла а, а соз а убывает. ЗАДАЧИ ~Л 62 1. Постройте угол, косинус которого равен: 1) —; 2) —; а. 4.
з' е» 3) 0,5; 4) 0,8. П 2. У прямоугольного треугольника заданы катеты а и Ь. Найдите гипотенузу, если: 1) а=З, Ь=4; 2) а=1, Ь = 1", 3) а = 5, Ь = 6. 3. У прямоугольного треугольника заданы гипотенуза с и катет а. Найдите второй катет. если: 1) с=б, а=З; 2) с=13, а=б; 3) с=б, а=б. 4. Две стороны прямоугольного треугольника равны 3 и и 4 м.
Найдите третью сторону. (Два случая.) 5. Могут ли стороны прямоугольного треугольника быть пропорциональны чиелам 5, 6, 7? 6. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны: 1) 6 см и 8 ем; 2) 16 дм и 30 дм; 3) 5 м и 12 м. 7. Стороны прямоугольника 60 см и 91 см. Чему равна диагональ? 8. Диагональ квадрата а. Чему равна сторона квадрата? 9. Можно ли из круглого листа железа диаметром 1,4 м вырезать квадрат со стороной 1 м7 10. Найдите высоту равнобакой трапеции, у которой основания 5 м и 11 м, а боковая сторона 4 м. 11. Найдите медиану равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной Ь, проведенную к основанию. 12.
Могут ли увидеть друг друга космонавты, летящие над поверхностью Земли на выеоте 230 км, если расстояние между ними по прямой равно 2200 км? Радиус Земли равен 6370 км. 13. В равностороннем треугольнике со стороной а найдите высоту. 14. Даны отрезки а и Ь. Как построить отрезок: 1) ~Гат+ Ь1; 2) -~/ат — Ь~, а)Ь? 15*.
Даны отрезки а и Ь. Как построить отрезок х= „(аЬЬ? 16. Между двумя фабричными зданиями устроен покатый желоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями равно 10 м, а концы желоба расположены на высоте 8 м и 4 м над землей. Найдите длину желоба. г Х Теорема Пифагора 17. Цокажнте, что если треугольник имеет стороны а, Ь, с и а +Ь'=с', то у него угол, противолежащий стороне с, прямой. 18.
Чему равен угол треугольника со сторонами 5, 12, 13„ противолежащий стороне 137 К 19. На стороне АВ треугольника АВС взята точка Х. Докажите, что отрезок СХ меньше по крайней мере одной из сторон АС или ВС. 20. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон. 21. Даны прямая и точка С на расстоянии Ь от атой прямой. Докажите, что из точки С можно провести две и только две наклонные длины г, если 1) Ь (рис.
164). Рис. 164 22'". Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности на расстояние, меньшее радиуса, пересекает окружность в двух точках. П 23. Докажите, что любая хорда окружности не больше диаметра и равна диаметру только тогда, когда сама является диаметром. 24. Докажите, что точки А, В, С лежат на одной прямой, если: 1) АВ=5 м, ВС=7 м, АС=12 м; 2) АВ=10„7, ВС=17,1, АС=6,4. 25.
Докажите, что любая сторона треугольника больше раз- ности двух других его сторон. 26. Может ли у параллелограмма со сторонами 4 см и 7 см одна из диагоналей быть равной 2 см7 27. В треугольнике одна сторона равна 1,9 м, а другая— 0,7 м. Найдите третью сторону, зная, что ее длина равна целому числу метров. 28а. Докажите, что медиана треугольника АВС, проведенная из вершины А, меньше полусуммы сторон АВ и АС.
29*. Известно, что диагонали четырехугольника пересекают- 8 класс пв ся. Докажите, что сумма их длин меньше периметра, но больше полупериметра четырехугольника. Отрезки АВ и СВ пересекаются в точке О. Докажите, что сумма расстояний от любой точки плоскости до точек А, В, С и В не меньше,чем ОА+ОВ+ОС+О1). бусной остановки так, чтобы сумма расстояний от нее до населенных пунктов А и В была наименьшей. Рассмотрите два случая: 1) населенные пункты расположены по разные стороны от шоссе (рис.
165, а); 2) населенные пункты расположены по одну сторону от шоссе (рис. 165, 6). Могут ли стороны треугольника быть пропорциональными числам 1, 2, 37 Докажите, что в треугольнике каждая сторона меньше половины периметра. Внутри окружности радиуса В взята точка на расстоянии д от центра.
Найдите наибольшее и наименьшее расстоя- ния от этой точки до точек окружности. Вне окружности радиуса В взята точка на расстоянии с( от центра. Найдите наибольшее и наименьшее расстоя- икя от этой точки до точек окружности. Могут ли пересекаться окружности, центры которых на- ходятся на расстоянии 20 см, а радиусы 8 см и 11 см? Объясните ответ. Могут ли пересекаться окружности, центры которых на- ходятся на расстоянии 5 см, а радиусы 6 см и 12 см? Объясните ответ. 34. 35. 38а. Докажите, что в задаче 36 окружности находятся одна вне другой, а в задаче 37 окружность радиуса 6 см на- ходится внутри окружности радиуса 12 см. Могут ли пересекаться окружности с радиусами В1 и Ва и расстоянием между центрами д, если В1+Ва(д? 39 31а.
На прямолинейном шоссе требуется указать место авто- Е 7. Теорема Пифаеова 40*.Даны три положительных числа а, Ь, с, удовлетворяю'щие условиям а( Ь ~с(о+ Ь. Докажите последовательно утверждения: 2) существует прямоугольный треугольник ВСЮ, у кото- с*+а' — Ь' рого гнпотенуаа ВС=а, а катет ВЭ= (рис. 166); 2с 3) треугольник АВС, у которого ВС=а, АВ=с, а расстояние ИЭ равно, имеет сторону АС = Ь (рнс. 166). +а' — Ье 41. Даны три положительных числа а. Ь. с.
Докажите, что если каждое из этих чисел меньше суммы двух других, то существует треугольник со сторонами о, Ь, с. 42. Можно ли построить треугольник со сторонами: 1) а=1 ем, Ь=2ем, с=З см; 2) а=2 ем, Ь=З см, с=4 ем; 3) а=З см, Ь=7 см, с=11 см; 4) а=4 см, Ь=5 см, с=9 сму 43*. Даны две окружности с радиусами Вь Яе и расстоянием между центрами е(.
Докажите, что если каждое из чисел Вь Ве и е( меньше суммы двух других сторон, то окружности пересекаются в двух точках (рис. 167). А с Р . 1ВЕ Рис. 161 44. У прямоугольного треугольника один катет равен П 8 см, а синус противолежащего ему угла равен 0,8. Найдите гнпотенуау и второй катет. 45. В прямоугольном треугольнике гипотенуеа равна а, а один ие острых углов а. Найдите второй острый угол и катеты. 46. В прямоугольном треугольнике катет равен а, а противолежащий ему угол сс.
Найдите второй острый угол, противолежащий ему катет и гнпотенуеу. 47. В прямоугольном треугольнике даны гнпотенуеа с и острый угол а. Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенуау. 116 з класс 48. 1) Найдите в)п 22', в(п 22'36", в)п 22'38', в(п 22'41', соз 68', еов 68 18', соз 68*23'. 2) Найдите угол х, если юп х=0,2850; в)их=0,2844; <ти х=0,2710.
49. Найдите значения синуе» и косинуса углов: 1) 16", 2) 24'36", 3) ТО*32', 4) 88'49'. 50. Найдите величину острого угла х, если: 1) в)п х = 0,0175; 2) в)п х=0,5015; 3) соз х=0,6814; 4) сов х=0,0670. 51. Найдите значение твнгенса угла: 1) 10", 2) 40'40', 3) 50*30', 4) 70'15'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
