Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Докажите теорему Фалеса. 16. Докажите, что средняя линия треугольника равна поло- вине соответствующей стороны. 17. Какой четырехугольник называется трапецией? 18. Какая трапеция называется равнобокой? 19. Докажите, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. 20. Докажите теорему о пропорциональных отрезках. ЗАДАЧИ П б0 1 На РисУнках 114 — 116 пРедставлены три ФигуРы, каждая из которых состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. Какая из зтнх фигур является четырехугольником2 2. Постройте какой-нибудь четырехугольник РЕВЯ. Укажите его противолежащие стороны и вершины.
И 3. Сколько можно построить параллелограммов с вер- шинами в трех заданных точках, не лежащих на одной прямой2 Постройте их. у 6, Чееырекугоиькики 4, Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 м. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма. Е 5. Расстояния от точки пересечения диагоналей параллелограмма до двух его вершин равны 3 см и 4 см. Чему равны расстояния от нее до двух других вершин? Объясните ответ. 6. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам. 7.
В параллелограмме АВСР через точку пересечения диагоналей проведена прямая, которая отсекает на сторонах ВС и А Р отрезки ВЕ = 2 и и Агу = 2,8 и. Найдите стороны ВС и АР. Е 8. У параллелограмма АВСР АВ=10 см„ВС= — 15 см. Чему равны стороны АР и СР? Объясните ответ, 9. У параллелограмма АВСР е'. А =30'. Чему равны углы В, С, Р? Объясните ответ. 10. Периметр параллелограмма АВСР равен 10 см. Найдите длину диагонали ВР, зная, что периметр треугольника АВР равен 8 см. 11. Один из углов параллелограмма равен 40'.
Найдите остальные углы. 12. Найдите углы параллелограмма, зная, что один из них больше другого на 50". 13. Может ли один угол параллелограмма быть равным 40*, а другой — 50'? 14. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 25 и 35'. Найдите углы параллелограмма. 15. Найдите все углы параллелограмма, если сумма двух из них равна: 1) 80"; 2) 100"; 3) 160 . 16. Найдите все углы параллелограмма, если разность двух из них равна: 1) 70', 2) 110", 3) 140'. 17, В параллелограмме АВСР точка Š— середина стороны ВС, а Š— середина стороны АР.
Докажите, что четырехугольник ВЕРŠ— параллелограмм. 18. Докажите, что если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом. 19. В параллелограмме АВСР проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке Е. Чему равны отрезки ВЕ и ЕС, если АВ=9 см, АР=-15 см? 20. Две стороны параллелограмма относятся как 3:4, а периметр его равен 2,8 м. Найдите стороны. 4 Г ~к тр г. т тт ьль 21.
В параллелограмме АВСВ перпендикуляр, опущенный из вершины В на сторону АЭ, делит ее пополам. Найдите диагональ ВВ и стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма равен 3,8 м, а периметр треугольника АВ1) равен 3 и. 22. Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и диагонали; 2) по стороне и двум диагоналям. 23. Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и углу; 2) по диагоналям и углу между ними.
П 24. Докажите, что если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником. 25. Докажите, что если в параллелограмме хотя бы один угол прямой, то он является прямоугольником. 26. Докажите, что если у параллелограмма диагонали равны„ то он является прямоугольником. 27.
Бетонная плита с прямолинейными краями должна иметь форму прямоугольника. Как при помощи бечевки проверить правильность формы плиты? 28. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найдите периметр прямоугольника, если его меньшая сторона равна 10 см. 2Э. Б прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр прямоугольника равен б6 см.
Найдите стороны прямоугольника. 30. Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, которые удалены от центра на 6 см и 10 см. Найдите их длины. 31. Б прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол (рнс. 141). Найдите периметр прямоугольника. 32. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие — на катетах (рис. 142).
Чему 4 6. Чееывеиуеоиеииии равны стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как б: 2, а гипотенуза треугольника равна 43 ему П 33. Докажите, что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны. то он является ромбом. 3* Докажите, что если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то он является ромбом. 35. Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его сторон, относятся как 4: б. Найдите углы ромба.
36. Докажите, что четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом: 37. В ромбе одна нз диагоналей равна стороне. Найдите углы ромба. 38. Постройте ромб: 1) по углу и диагонали, исходящей из вершины этого угла; 2) по диагонали н противолежащему углу. 39. Постройте ромб: 1) по стороне и диагонали; 2) по двум диагоналям. П 40. Докажите, что если диагонали прямоугольника пе- ресекаются под прямым углом, то он есть квадрат. 41.
В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого 2 м, вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите периметр квадрата. 42. Дан квадрат АВСХ1. На каждой из его сторон отложены равные отрезки: АА,=ВВ~=СС~=РР,. Докажите, что четырехугольник А~В,С~Р~ есть квадрат (рис. 143). 43. Диагональ квадрата равна 4 м. Сторона его равна диаго- нали другого квадрата. Найдите сторону последнего. 44. Дан квадрат, сторона которого 1 м, диагональ его равна стороне другого квадрата. Найдите диагональ последнего. 4Ь.
В квадрат (рис. 144) вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина в в, Р, Гев Рис. 144 100 з класс прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найдите стороны прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна 12 м.
46. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так,что две его вершины находятся на гипотенузе, а другие две — на катетах. Найдите сторону квадрата, если известно„ что гипотенуза равна 3 м. 47. Из данной точки проведены к окружности две взаимно перпендикулярные касательные, радиус окружности 10 см. Найдите длины касательных (расстояние от данной точки до точки касания).
П * 48. Разделите данный отрезок АВ на и равных частей. 49. Разделите данный отрезок иа указанное число равных частей: 1) 3; 2) 5; 3) 6. П 50. Стороны треугольника равны 8 см, 10 см, 12 см. Найдите стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. 51. Периметр треугольника равен 12 см, середины сторон соединены отрезками. Найдите периметр полученного треугольника. 52. Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 3 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 16 см.
53. Как построить треугольник, если заданы середины его сторон? 54. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, проходящей через середины двух его сторон. 55. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. 56. Найдите стороны параллелограмма из предыдущей задачи, если известно, что диагонали четырехугольника равны 10 м и 12 м. 57. У четырехугольника диагонали равны а и Ь.
Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника. 58. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. П 59. Боковая сторона трапеции разделена на три равные части,и из точек деления проведены к другой стороне отрезки, параллельные основаниям. Найдите длины этих отрезков, если основания трапеции равны 2 м и 5 м.
60. Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании равны. у з. Четыреиугольиики 61. Чему равны углы равнобокой трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 40'? 62. В равнобокой трапеции большее основание равно 2,7 м, боковая сторона равна 1 м, угол между ними 60 . Найдите меньшее основание. 63. В равнобокой трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки 6 см и 30 см.
Найдите основания трапеции. 64'". Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне (рис. 145). Найдите углы трапеции. 65. По одну сторону от прямой а даны две точки А и В на расстояниях 10 м и 20 м от нее. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до прямой а. 66. По разные стороны от прямой а даны две точки А и В на расстояниях 10 см и 4 см от нее.
Найдите расстояние от середины отрезка АВ до прямой а. 67. Основания трапеции относятся как 2:3, а средняя линия равна 5 м. Найдите основания. 68. Концы диаметра удалены от касательной к окружности на 1,6 м и 0,6 м. Найдите длину диаметра. 69. Средняя линия трапеции 7 см. а одно из ее оснований больше другого на 4 см. Найдите основания трапеции. 70. Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобокой трапеции, делит большее основание на части, имеющие длины а и Ь (а) Ь). Найдите среднюю линию трапеции. 71*.
Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам. 72*, Постройте трапецию по основаниям и диагоналям. П аЬс 61 73*. Даны отрезки а, Ь, с, д, е. Постройте отрезок х = —, 74*. 1) В треугольнике АВС проведены медианы АА~ и ВВь которые пересекаются в точке М (рис. 146). В треугольнике в с Рис. 146 Рис.
145 102 8 кзиси АМВ проведена средняя линия РЯ. Докажите, что четырехугольник А ~В~ РЯ вЂ” параллелограмм. 2) Докажите. что любые две медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от вершины. 3) Докажите, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. $7.
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА б2. КОСИНУС УГЛА Косин усом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус угла а обозначается так: соз сс. На рисунке 147 показан прямоугольный треугольник АВС с углом А, равным и. Косинус угла а равен отношению катета АС, прилежащего к атому углу, к гипотенузе АВ, т. е. АС соз я= —. АН Т е о р е м а 7.1. Косинус рхла зависит только от градусной меры угла и не зависит от раснологкения и размеров треухолы ника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
