Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Дано: а!! Ь!~с14. Докажите, что а~1с~. 4. Прямые АВ и СР параллельны. Докажите, что если отрезок ВС пересекает прямую АР, то точка пересечения принадлежит отрезку АР (см. рис. 70). П Ь. Дан треугольник АВС. На стороне АВ отмечена точка В„а на стороне АС вЂ” точка С~ (рис. 87). Назовите внутренние односторонние и внутренние накрест лежащие углы при прямых АВ, АС и секущей В~Се 6. Назовите внутренние накрест лежащие и внутренние односторонние углы на рисунке 72. 7. Отрезки АР и ВС пересекаются.
Для прямых АС и ВР и секущей ВС назовите пару внутренних накрест лежащих углов. Для тех же прямых и секущей АВ назовите нару внутренних односторонних углов. Объясните ответ. К 8. Даны прямая АВ и точка С, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой АВ. 9. Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными и секущей, параллельны, т.
е. лежат на параллельнмх прямых. 10. Отрезки АВ и СР пересекаются в точке Е и делятся этой точкой пополам. Докажите, что прямые АС и ВР параллельны. 11. Треугольники АВС и ВАР равны. Точки С и Р лежат по равные стороны от прямой АВ. Докажите, что прямые АС и ВР параллельны. И 12. Угол АВС равен 80, а угол ВОР равен 120'.
Могут ли прямые АВ и СР быть параллельными? Обоснуйте ответ. 13. Прямые АС и ВР параллельны, причем точки А и Р лежат по разные стороны от секущей ВС (рис. 77). Докажите, что: 1) углы РВС и АСВ внутренние накрест лежащие относительно секущей ВС; 2) луч ВС проходит между сторонами угла АВР; 3) углы САВ и РВА внутренние односторонние относительно секущей АВ. 14. 1) Разность двух внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей равна 30'. Найдите эти углы. 2) Сумма двух внутренних накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей равна 180 .
Чему равны эти углы7 15. Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 72 . Найдите остальные семь углов. 16. Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 30 . Может ли один из остальных семи углов равняться 70'7 Объясните ответ. у 4. Сумма Углав твеввольнико 17. Докажите, что две прямые, параллельные перпендикулярным прямым, сами перпендикулярны. Е 18. Найдите неизвестный угол треугольника, если у него два угла равны: 1) 50' и 30", 2) 40' и 75', 3) 65 и 80', 4) 25' и 120'. 19.
Найдите углы треугольника, если онн пропорциональны числам: 1)1,2,3; 2)2,3,4; 3)3,4„5; 4)4,5,6", 5) 5, 6, 7. 20. Может ли в треугольнике быть: 1) два тупых угла; 2) тупой и прямой углы; 3) два прямых угла? 21. Может ли быть тупьгм угол при основании равнобедренного треугольника? 22. Найдите угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника, если угол при основании у него равен: 1) 40; 2) 55", 3) 72 . 23. Найдите угол при основании равнобедренного треугольника, если угол между боковыми сторонами равен: 1) 80', 2) 120", 3) 30', 28 Гас. З? 25 26 27 Один из углов равнобедренного треугольника равен 100' Найдите остальные углы. Один из углов равнобедренного треугольника равен 70'. Найдите остальные углы.
Сколько решений имеет за- дача? Докажите, что если один из углов равнобедренного треугольника равен 60', то этот треугольник равносто- ронний. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса СР. Найдите углы треугольника АВС, если угол АРС равен: 1) 60"; 2) 75", 3) а В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом при вершине В, равным 36', проведена биссект- риса АР. Докажите, что треугольники СРА и АРВ равно- бедренные ~рис. 88).
64 7 класс Ю А Е г .зз 29. В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и В. Точка их пересечения обозначена Р. Найдите угол АРВ, если: 1) ~А=50', ~В=100', 2) ~А=к, ~В=5; 3) ~С=130', 4) ~С=7. 30. Нему равны углы равностороннего треугольника2 31.
Под каким углом пересекаются биссектрисы двух внутренних односторонних углов при параллельных прямыху П 32. Один из внешних углов равнобедренного треуголь- ника равен 70'. Найдите углы треугольника. 33. Найдите углы треугольника, зная, что внешние углы при двух его вершинах равны 120' и 150*. 34. Два внешних угла треугольника равны 100' и 150'. Най- дите третий внешний угол. 35. В треугольнике АВС проведена высота СР. Какая из трех точек А„В, Р лежит между двумя другими, если углы А и В треугольника острыеу 36. В треугольнике АВС проведена высота СР. Какая из трех точек А, В, Р лежит между двумя другими, если угол А тупой? Обоснуйте ответ.
37. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию. 38. Сумма внешних углов треугольника АВС при вершинах А и В, взятых по одному для каждой вершины, равна 240'. Чему равен угол С треугольникау 39. Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС отложены отрезки АР=АВ и СЕ=СВ (рис. 89). Как найти углы треугольника РВЕ, зная углы треугольника АВС7 40. У треугольника один из внутренних углов равен 30', а один из внешних 40*.
Найдите остальные внутренние углы треугольника. и 41. Из вершины прямого угла треугольника АВС про- ведена высота ВР. Найдите угол СВР. зная„что: 1) ~А=20"; 2) ~А=65', 3) ~А=и. е Б. ГеометРические иостооеким 42. Из вершины тупого угла В треугольника АВС проведена высота ВР. Найдите углы треугольников АВР и СВР, зная, что ~А=а, "В=3. 43.
Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30' катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы. 44. Найдите углы прямоугольного равнобедренного тре- угольника. 4б. В равностороннем треугольнике АВС проведена медиана АР Найдите углы треугольника АВР. 46. Высоты треугольника АВС, проведенные из вершин А и С, пересекаются в точке М.
Найдите ~ АМС, если ~А=70', ~С=80'. 47*. В треугольнике АВС медиана ВР равна половине стороны АС. Найдите угол В треугольника, П 48. Прямая а пересекает отрезок ВС в его середине. Докажите, что точки В и С находятся на одинако- вом расстоянии от прямой а.
49. Отрезок ВС пересекает прямую а в точке О. Расстояния от точек В и С до прямой а равны. Докажите, что точка О является серединой отрезка ВС. б0. Докажите, что расстояния от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны. б1. Докажите, что расстояния от вершин равностороннего треугольника до прямых, содержащих противолежащие им стороны, равны. 3 $. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ 33.
ОКРУЖНОСТЬ Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности. Расстояние от точек окружности до ее центра называется радиусом окружности. Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром (рис. 90). гж. эо 3 ти читке. т — 11 ие. 66 7 кзеее Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром. На рисунке 91 ВС вЂ” хорда, А — диаметр. Рие.
91 Рие. 92 3 а д а ч а (3). Докажите, что диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей. Решение. Пусть А — хорда окружности н С вЂ” ее середина (рис. 92). Треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ. У него стороны ОА и ОВ равны как радиусы окружности. По свойству медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию, отрезок ОС является высотой.
Позтому диаметр окружности, прове. денный через середину хорды, перпендикулярен хорде. Зт. ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины. Теорема 3.1. Центр окружности, описанной около треугольника, авляегсн точкой пересечении перпендикуляров к сторонам треугольника, ироведенных через середины зтих сторон. Дока з а тельство. Пусть АВС вЂ” данный треугольник и Π— центр описанной около него окружности (рис. 93).
Треугольник АОС равнобедренный: у него стороны ОА и ОС ф 5, ГеометРические оостРоения ет равны как радиусы. Медиана ОР этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне АС и проходящей через ее середину. Точно так же доказывается, что центр окружности лежит на перпендикулярах к двум другим сторонам треугольника. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, часто называют серединным перпендикуляром. В связи с этим иногда говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Рис. 93 Рис. 94 Задача (6).
Докажите, что серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются. Решен не. Пусть АВС вЂ” треугольник и а, Ь вЂ” серединные перпендикуляры к его сторонам АС и ВС (рис. 94). Допустим, прямые а и Ь не пересекаются, а значит, параллельны. Прямая АС перпендикулярна прямой а. Прямая ВС перпендикулярна прямой Ь, а значит, и прямой а, так как прямые а и Ь параллельны.
Таким образом, обе прямые АС и ВС перпендикулярны прямой а, а значит, параллельны. Но это неверно. Прямые АС и ВС пересекаются в точке С. Мы пришли к противоречию. е тверждение доказано. 68 7 класс 40. КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной.
При этом данная точка окружности нааывается точкой касания. На рисунке 95 прямая а проведена через точку окружности А перпендикулярно к радиусу ОА. Прямая а является касательной к окружности. Точка А является точкой касания. Можно сказать также, что окружность касается прямой а в точке А. В А гас. 96 3 а д а ч а (8). Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания. Р е ш е н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
