Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Пусть а — данная прямая и А— данная точка на ней. Обозначим через а~ одну из полупрямых прямой а с начальной точкой А (рис. 38). Отложим от полу- прямой аг угол (а1Ь|), равный 90". Тогда прямая, содержащая луч Ь„будет перпендикулярна прямой а.
Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку А и перпендикулярная прямой а. Обозначим через сг полупрямую этой прямой, лежащую в одной полу- плоскости с лучом Ьь Углы (а1Ь|) и (агсг), равные каждый 90", отложены в одну полуплоскость от полупрямой аы Но от полупрямой а~ в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90 . Поэтому не может быть другой прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой а. Теорема доказана.
О п р е д е л е н и е. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра. 28 7 класс Рис. 39 Рис. 40 На рисунке 39 перпендикуляр АВ проведен из точки А к прямой а.
Точка  — основание перпендикуляра. Для построения перпендикуляра пользуются чертежным угольником (рис. 40). 47. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО Способ доказательства, который мы применили в теореме 2.3„называется доказательством от противного. Этот способ доказательства состоит в том, что мы сначала делаем предположение, противополоясное тому, что утверждается теоремой.
Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы н доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы. Поясним ато на примере доказательства теоремы 2.3. Теоремой утверждается, что через каждую точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Допустив, что таких прямых можно провести две, мы пришли к выводу, что от данной полупрямой в данную полуплоскость можно отложить два угла с одной н той же градусной мерой (90').
А ато противоречит аксиоме откладывания углов. Согласно атой аксиоме от данной полупрямой в данную полуплоскость можно отложить толысо один угол с данной градусной мерой. г 2. Сиегкнмг н еергнкольныг углы 18. ВИССЕКТРИСА УГЛА Определение '. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.
На рисунке 41 вы видите угол (аЬ). Луч с исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам: Рис. 41 л (ас)= л (Ьс)= Задача (17). Докажите, что биссектриса угла образует с его сторонами углы не больше 90 . Решение. Как мы знаем, градусная мера любого угла не больше 180'. Поэтому половина ее не больше 90'. 19. ЧТО НАДО ДЕЛАТЬ, ЧТОЕЫ УСПЕВАТЬ ПО ГЕОМЕТРИИ Прн изучении геометрии незнание чего-либо из пройденного материала может быть причиной непонимания нового материала.
Приведем пример. Допустим, на уроке учитель доказывает теорему о равенстве вертикальных углов. Как вы знаете, в этом доказательстве используются определение смежных углов и теорема о сумме смежных углов. Если вы не знаете, какие углы называются смежными, не знаете теоремы о сумме смежных углов, то вы это доказательство не поймете. В результате этот урок будет для вас пустой тратой времени. И к вашему незнанию смежных углов прибавится незнание теоремы о равенстве вертикальных углов. Поэтому для того, чтобы хорошо успевать по геометрии, нужно знать основные результаты изученного материала.
А для этого надо повторять пройденный материал по контрольным вопросам. Повторгпь пройденный материал по контрольным вопросам надо так. Прочитайте вопрос. Уясните его себе. Если требуется дать определение какой-либо фигуры, мысленно дайте ' В дальнейшем слово «определение» писать не будем, а определяемое понятие будем выделять куренном. такое определение.
Полезно еделать от руки чертеж определяемой фигуры. Если в вопросе речь идет о теореме, сформулируйте ее, уясните себе, в чем условие и заключение втой теоремы. Сделайте от руки чертеж, иллюстрирующий содержание теоремы.. Доказательетво теоремы при каждом повторении давать необязательно. Повторяйте пройденный материал каждый раз, когда лри изучении нового материала вы обнаруживаете незнание чего- либо. 9 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какие углы называются смежными? 2. Докажите, что сумма смежных углов равна 180'. 3.
Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны. 4. Какой угол называется прямым (острым, тупым)? 5. Докажите, что угол, смежный с прямым, есть прямой угол. 6. Какие углы называются вертикальными? 7. Докажите, что вертикальные углы равны. 8. Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые. 9. Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения перпендикулярности прямых? 10. Докажите„что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
11. Что такое перпендикуляр к прямой? 12. Объясните, в чем состоит доказательство от противного. 13. Что называется биссектрисой угла? ЗАДАЧИ 14 1. Найдите углы, смежные с углами 30'; 46", 60", П 00о 2. Могут ли два смежных угла быть оба: 1) острыми; 2) ту- пыми; 3) прямыми? Обоснуйте ответ. 3. Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого. 4. Найдите смежные углы, если: 1) один из них на 30' больше другого; 2) их разность равна 40 ", 3) один из них в 3 раза меньше другого; 4) они равны. б. Какой угол образуют часовая и минутная етрелки часов, когда они показывают: 1) 6 ч; 2) 3 ч; 3) 4 ч? з1 1 2.
Сгееэгные и вертикальные углы 6 Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как: 1) 2:3; 2) 3:7; 3) 11:25; 4) 22:23. И 7. Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен 30'. Яему равны остальные углы? 8.
Чему равен угол, если два смежных с ним угла составляют в сумме 100 ? 9. Сумма двух углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна 50'. Найдите зти углы. 10. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, в 4 раза больше другого.
Найдите эти углы. 11. Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, на 50' меньше другого, Найдите зти углы. 12. Найдите углы, которые получаются при пересечении двух прямых, если сумма трех из стих углов равна 270'. И 13. Докажите, что если три из четырех углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равны, то прямые перпендикулярны. 14. Как с помощью линейки проверить, является ли прямым угол в чертежном угольнике (рис.
42)? П 15. Чему равен угол между биссектрисой н стороной данного угла, равного: 1) 30", 2) 52', 3) 172'? 16. Найдите угол, если его биссектриса образует со стороной угол, равный: 1) 60', 2) 75', 3) 89'. 17. Докажите, что биссектриса угла образует с его сторонами углы не больше 90'. 18"'. Докажите, что если луч исходит из вершины угла и образует с его сторонами равные острые углы, то он является биссектрисой угла.
19. Найдите угол между биссектрисами смежных углов. 20. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой. 21. Найдите угол между биссектрисой и продолжением одной из сторон данного угла, равного: 1) 50', 2) 90', 3) 150'.
Рне. 42 Рнс. 42 И 22г. Из вершины О смежных углов АОВ и СОВ про- веден луч ОР в полуплоскость, где проходит общая сторона углов ОВ (рис. 43). Докажите, что луч ОР пересекает либо отрезок АВ, либо отрезок ВС, Какой из отрезков пересекает луч ОР, если угол А.ОР меньше (больше) угла АОВ? Объясните ответ.
23. Из вершнны развернутого угла (аа~) в одну полуплоскость проведены лучи Ь и с. Чему равен угол (Ьс), если: 1) ~(аЬ)=50', г..(ас)=70', 2) ~(а~Ь)=50', г (ас)=70', 3) .I (аЬ)=60', г..(а|с)=30 7 24. Из вершины развернутого угла (аа,) проведены лучи Ь и с в одну полуплоскость. Известно, что с (аЬ)=60', а г (ас)= 30 . Найдите углы (а~Ь), (а1с) и (Ьс).' 25. От полупрямой АВ в разные полуплоскости отложены углы ВАС и ВАР.
Найдите угол САР, если: 1) ~ ВАС=80; Е.ВАР=170'; 2) ЕВАС=87', Е ВАР=68', 3) КВАС= =140', г' ВАР=ВО", 4) г' ВАС=60', Е.ВАР=70'. 26*. Даны три луча а, Ь, с с общей начальной точкой. Известно„что г' (аЬ)= ~(ас)=.~ (Ьс)=120'. 1) Проходит ли какой-нибудь из зтих лучей между сторонами угла, образованного двумя другими лучами? 2) Может ли прямая пересекать все три данных луча? Объясните ответ. $3. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 26. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ Т е о р е м а 3.1 (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними).
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Рис. 44 ф а Прозаики Завекеева ереуеоавкиков Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть у треугольников АВС и А~В1С~ ЕА= ~Аь АВ=А~Во АС=А~С1 (рис. 44). Докажем, что треугольники равны. Пусть А~ВеСв — треугольник, равный треугольнику АВС, с вершиной Ве на луче А|В1 и вершиной Се в той же полу- плоскости относительно прямой А,В„где лежит вершина С, (рис. 45, а).
Так как А~В~ =А~Вм то вершина Ве совпадает с вершиной В, (рис. 45, 6). Так как ЕВ~А1С~ = .~ ВеА ~Си то луч А|Ср совпадает с лучом А1С, (рис. 45, е). Так как А,С, = А~Си то вершина Се совпадает с вершиной С~ (рис. 45, г). Итак, треугольник А1В1С1 совпадает с треугольником А~ВаСь значит, равен треугольнику АВС. Теорема доказана. В~Яд А, В, Вг а) ц,~с >' В~Н) Ве (Вт) А! А г) 34 7 класс 3 а д а ч а (1).
Отрезки АВ и СР пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Кему равен отрезок ВР, если отрезок АС=10 м2 Г р Р е ш е н и е. Треугольники АОС и ВОР равны по первому признаку равенства треугольников (рис. 46). У них углы АОС и ВОР равны как вертикальные, а ОА =ОВ и ОС = ОР потому, что точка О является серединой отрезков АВ н СР. Из ра- А ,у венства треугольников АОС и ВОР Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
