Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 7
Текст из файла (страница 7)
КАК ГОТОВИТЬСЯ ПО УЧЕБНИКУ САМОСТОЯТЕЛЬНО Допустим, по какой-нибудь причине, например по болезни, вы не были на уроке. Тогда материал этого урока вам придется изучить самостоятельно по учебнику. Текст учебника надо читать не спеша, по предложениям, не переходя к следующему предложению, не поняв смысла предыдущего. рассмотрим конкретный пример — доказательство третьего признака равенства треугольников. Итак, читаем текст учебника: «Если три стороны одного треугольника. равны соответственно трем сторонам другого треугольника...» Чтобы понять смысл этого предложения, надо знать, что таксе треугольник, его стороны и равенство сторон.
Вы все это знаете, поэтому смысл прочитанного предложения вам ясен. Читаем дальше: «...то такие треугольники равны». Чтобы понять смысл этого предложения, надо знать, какие треугольники называются равными. Но вы и это знаете. Таким образом, смысл теоремы вам ясен. Читаем доказательство.
Д о к а з а т е л ь с т в о. «Пусть АВС и А~В~С~ — два треугольника, у которых АВ=А,Во АС= А~Со ВС =В|С, (см. рис. 55). Требуется доказать, что треугольники равны». Здесь все ясно. Обозначаются треугольники, которые удовлетворяют условию теоремы и равенство которых надо доказать. «Допустим, треугольники не равны», Вы видите, что делается предположение, противоположное утверждению теоремы. Значит, в ходе дальнейшего рассуждения мы должны прийти к противоречию (доказательство от противного). «Тогда у иих ~А«~./Ао ~В~,~Во ~Счь~ Со Иначе они были бы равны по первому признаку». Вспомните первый признак равенства треугольников.
Убедитесь в том, что если выполнено хотя бы одно из равенств ~А=~Аз ~В=~Во ~С=.ГСь то треугольники АВС и А~В~С1 равны, а зто противоречит сделанному предположению. «Пусть А~В~С» — треугольник, равный треугольнику АВС, у которого вершина С«лежит в одной полуплоскости с вершиной С~ относительно прямой А,В, (см. рис. 55)». Здесь все ясно. Этой Фразой начиналось доказательство и первого и второго признаков. «Пусть  — середина отрезка С|С»».
Вы знаете, что такое середина отрезка, «Треугольники А~С~Сг и В~С~С» равнобедренные с общим основанием С|С»». Чтобы понять смысл этого утверждения, надо знать, какой треугольник. называется равнобедренным и какая его сторона называется основанием. ° Поэтому их медианы А|В и В~В являются высотами». Смысл этого предложения вам ясен. Вы знаете, что такое медиана и высота, и знаете свойство медианы равнобедренного треугольника. «Значит, прямые А»0 и В~В перпендикулярны прямой С~С»».
Ясно. «Прямые А Ю и В~В не совпадают, так как точки А ь Во «) не лежат на одной прямой». ф 3. Призиахи равенства тэеувольников 4з Ясно. Если бы точка В лежала на прямой А1Вь то точки С~ и Сз были бы в разных полуплоскостях относительно прямой А|Во аНо через точку Э прямой С,Сз можно провести только одну перпендикулярную ей прямую». Ясно. Вы знаете такую теорему.
«Мы пришли к противоречиюз. Ясно. з Теорема доказана а. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 9 1. Докажите первый признак равенства треугольников. Какие аксиомы используются при доказательстве теоремы 3.1? 2. Сформулируйте и докажите второй признак равенства треугольников, 3. Какой треугольник .называется равнобедренным? Какие стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами? Какая сторона называется основанием? 4.
Докажите, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. б. Какой треугольник называется равносторонним? 6. Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. ?. Объясните, что такое обратная теорема. Приведите при- мер. Для всякой ли теоремы верна образная? 8. Что такое высота треугольника? 9. Что такое биссектриса треугольника? 10. Что такое медиана треугольника? 11. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию. является биссектрисой и высотой. 12. Докажите третий признак равенства треугольников. ЗАДАЧИ 1. Отреаки АВ и СВ пересекаются в точке О, которая П является серединой каждого из них. Чему равен отрезок ВВ, если отрезок АС=10 м? 44 7 класс Рнс.
57 2. Через середину О отрезка АВ проведена прямая, перпендикулярная прямой АВ ~рис. 57). Докажите, что каждая точка Х этой прямой одинаково удалена от точек А и В. 3. На стороне АВ треугольника АВС взята точка Э, а на стороне А~В~ треугольника А~В1С1 взята точка О~ Известно, что треугольники АВС и А~В~С1 равны и отрезки РВ и,О~В~ равны. Докажите равенство треугольников АВС и А~В1Сь 4. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, между которыми нельзя пройти по прямой (рис. бб), выбирают такую точку С„из которой можно пройти и к точке А, и к точке В и из которой видны обе зти точки. Провешивают' расстояния .АС и ВС, продолжают их за точку С и отмеряют СХ) =АС и ЕС=СВ.
Тогда отрезок ЕВ равен искомому расстоянию. Объясните почему. Рнс. 59 ' Отмечают направление шествии-вехами. 1 3. Признаки равенства треугольников П 5. Отрезки АВ и СР пересекаются в точке О (рис. 59). Докажите равенство треугольников АСО и РВО, если известно, что угол АСО равен углу РВО и ВО=СО. 6. Отрезки АС и ВР пересекаются в точке О (рис.
60). Докажите равенство треугольников ВАО и РСО, если известно, что угол ВАО равен углу РСО и АО=СО. 7'". Докажите равенство треугольников по медиане и углам, .на которые медиана разбивает угол треугольника. 8. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, из которых одна (точка А) недоступна, провешивают направление отрезка АВ (рис. 61) и на его продолжении отмеряют произвольный отрезок ВЕ.
Выбирают .на местности точку Р, из которой видна точка А и можно пройти к точкам В и Е. Прозешивают прямые ВРЯ и ЕРХг и отмеряют РР=РЕ и РЦ=ВР. Затем идут по прямой Щ, глядя на точку А, пока не найдут точку Н, которая лежит.на прямой АР. Тогда НЯ равно искомому расстоянию. Докажите. П 9. Периметр (сумма длин сторон) равнобедренного треугольника равен 1 м; а основание равно 0,4 м. Найдите длину боковой стороны. 10. Периметр равнобедрекного треугольника равен 7,5 м, а боковая сторона равна 2 м. Найдите основание. 11. Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м. Найдите его стороны, если основание: 1) меньше боковой стороны на 3 м; 2) больше боковой стороны на 3 м.
12. Докажите, что у равностороннего треугольника все углы равны. 13. От вершины С равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ отложены равные отрезкие СА~ на стороне СА Рнв. 62 Рне. 61 46 7 класс и СВ~ на стороне СВ. Докажите равенство треугольников: 1) САВ| и СВАд 2) АВВ| и ВААь 14. На основании АВ равнобедренного треугольника АВС даны точки А~ и Вь Известно, что АВ|=ВАь Докажите, что треугольники АВ~С и ВА~С равны. 15.
Треугольники АСС, и ВСС~ равны. Их вершины А и В лежат по разные стороны от прямой ССь Докажите, что треугольники АВС и АВС| равнобедренные (рис. 82). П 16. Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи 12. 1 с. На сторонах АС и ВС треугольника АВС азаты точки С; и Сь Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если треугольники АВС~ и ВАСС равны ~рис. 83).
18. 1) Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются также вершинами равнобедренного треугольника. 2) Докажите, что середины сторон равностороннего треугольника являются также вершинами равностороннего треугольника. П 19. 1) Начертите треугольник с острыми углами. С по- мощью чертежного угольника и линейки проведите в нем высоты. Повторите упражнение для треугольника, у которого один угол тупой.
2) Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите в нем биссектрисы. 3) Начертите треугольник, С помощью линейки с делениями проведите в нем медианы. П 3). Докажите, что у равнобедренного треугольника: 1) биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны; 2) медианы, проведенные из тех же вершин, тоже равны. 21. Докажите, что у равных треугольников АВС и А1В,С|. 1) медианы, проведенные из вершин А и Ао равны; Рис.
63 Ркс. 64 у 3. Признаки равенства тРеугольников 2) биссектрисы, проведенные из вершин А и А ь равны. 22. Точки А, В, С, Р лежат на одной прямой, причем отрезки АВ и СР имеют общую середину. Докажкте, что если треугольник АВЕ равнобедренный с основанием АВ, то треугольник СРЕ тоже равнобедренный с основанием СР (рис. 64). 23. Докажите равенство треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу. 24. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВМ. На ней взята точка Р.
Докажите равенство треугольников: 1) АВР и СВР; 2) АМР и СМР. 25. Докажите„что треугольник АВС равнобедренный, если у него: 1) медиана ВР является высотой; 2) высота ВР является биссектрисой; 3) биссектриса ВР является медианой. 26. Даны два равнобедренных треугольника с общим основанием. Докажите, что их медианы, проведенные к основанию, лежат на одной прямой. 27. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВР. Найдите ее длину, если периметр треугольника АВС равен 50 м, а треугольника АВР— 40 м.
28. Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой. П М. У треугольников АВС и А,В,С, АВ=А,В„ АС= =А1Сь а С= л' С1=90'. Докажите, что ХтАВС= = с~А~В~Со 30. Докажите, что у равнобедренного треугольника высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой. 31. Треугольники АВС и АВС~ равнобедренные с общим основанием АВ.
Докажите равенство треугольников АСС~ и ВССь 32а. Точки А, В, С, Р лежат на одной прямой. Докажите, что если треугольники АВЕ~ и АВЕз равны, то треугольники СРЕ1 и СРЕе тоже равны (рис. 65). 33. Два отрезка АВ и СХ) пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников АСР и ВРС. 34. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них. 35. Отрезки АВ и СР пересекаются. Докажите, что если отрезки АС, СВ, ВР и АР равны, то луч АВ является биссектрисой угла САР и луч СР— биссектрисой угла АСВ (р . 66). 48 7 класс Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
