Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Рис. 78 у г. Сумма углов треугольника А сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов АВВ и ВАС. Так как зти углы внутренние односторонние для параллельных АС и ВЭ и секущей АВ, то их сумма равна 180'. Теорема доказана. Из теоремы 4.4 следует, что у любого треугольника хотя бгг два угла острые. Действительно, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть два угла, каждый из которых не меньше 90'. Сумма этих двух углов уже не меньше 180 .
А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180'. Что и требовалось доказать. 3 а д а ч а (80). Чему равны углы равностороннего треугольникау Р е ш е н и е. У равностороннего треугольника, как мы знаем, все углы равны. Так как они в сумме дают 180, то каждый нз них равен 80'. 34. ВНЕШНИЕ УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине (рис.
79). Чтобы не путать угол треугольника прн данной вершине с внешним углом при этой же вершине, его иногда называют внутренним углом. гн . тэ ЪЕ 7 класс и в Рис. 80 Т е о р е м а 4.5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных е ним. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть АВС вЂ” данный треугольник (рис. 80). По теореме о сумме углов треугольника г'А+ г'.В+ с'С=180'. Отсюда следует, что г. А+ г'.В= 180' — г'.С. В правой части этого равенства стоит градусная мера внешнего угла треугольника при вершине С. Теорема доказана.
Из теоремы 4.5 следует, что внешний угол треуголъника больше любого внутреннего угла, не смежного е ним. 3 а д а ч а (35). В треугольнике АВС проведена высота СВ. Какая из трех точек А, В, 1) лежит между двумя другими точками, если углы А и В треугольника острыеу Р е ш е н и е. Точка В не может лежать между точками А и Э. Если бы она лежала между точками А и Ю (рис. 81), то острый угол АВС как внешний угол треугольника СВВ был бы больше прямого угла СВВ.
Точно так же доказывается„что и точка А не может лежать между точками В н 1). Значит, точка В лежит между точка- миА иВ. у 4. Сумма уелое еуеуеольмоео 35. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК Треугольник называется прлморголънъьм, если у него есть прямой угол. Так как сумма углов треугольника равна 180, то у прямоугольного треугольника только один прямой угол. Два других угла прямоугольного треугольника острые. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 180' — 90'=90'. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу. называется гипотенуэой, две другие стороны наэываются катетами (рис. 82). Ву /ШИРЕ Рис.
82 С1 ( Рье. 88 Отметим следующий признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету: Если гипотенуэа и катет одного прямоуголъкоео тререольншса соответственно равны гипотенузе и катету дрреоэо треРеолъмимв го такие треуеолъники равны (рис. 83). Доказательство этого признака дано в виде решения задачи 29кф 3. 3 а д а ч а (43). Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30' катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.
Р е ш е н и е. Пусть АВС вЂ” прямоугольный треугольник с прямым углом С и углом В, равным 30* (рис. 84), Построим треугольник ЮВС, равный треугольнику АВС, как показано на рисунке 84. М т класс а С А Рис. 84 У треугольника АВР все углы равны (60 ), поэтому он равносторонний. Так как АС= — АР, а АР=АЗ, 1 1 то АС= — АВ. Что и требовалось докаэать. 2 36. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА К ПРЯМОЙ Те о рема 4.6. Вз любой точки, не лежав1ей на даккой прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один. Доказательство.
Пусть а — данная прямая и А— не лежащая на ней точка (рис. Вб). Проведем через какую.нибудь точку прямой а перпендикулярную прямую. А теперь проведем через точку А параллельную ей прямую Ь. Она будет перпендикулярна прямой а, так как прямая а, будучи перпендикулярна одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Отрезок АВ прямой Ь и есть перпендикуляр, проведенный иэ точки А к прямой а. Докажем единственность перпендикуляра АВ. Допустим, Рис.
88 Рис. 85 у 4 Сумма углов треугольника существует другой перпендикуляр АС. Тогда у треугольника АВС будут два прямых угла. А зто, как мы знаем, невозможно. Теорема доказана. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием ог гочки до прямой.
Задача (60). Докажите, что расстояния от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны. Р е ш е н и е. Пусть а и Ь вЂ” параллельные прямые и А, А, — любые точки на прямой а (рис. 86). Опустим из точки А~ перпендикуляр А ~В~ на прямую Ь. Отложим из точки В~ на прямой Ь отрезок В~В, равный отрезку ААо так, чтобы точки А ~ и В были по разные стороны прямой АВь Тогда треугольники АВ~А1 и В|АВ равны по первому прививку. У них сторона АВ~ общая, АА1 — — ВВ1 по построению, а углы В1АА~ и АЗ~В равны как внутренние накрест лежащие параллельных а и Ь с секущей АВь Из равенства треугольников следует, что АВ есть перпендикуляр к прямой Ь и АВ=А~Во что и требовалось доказать. Как видим, расстояния от всех точек прямой до параллельной прямой равны.
Поэтому говорят, что параллельные прямые равноотстоящие. Рас:тоянием между параллельны ни прямыми называетея расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой прямой. ЗУ. ИЗ ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ Первоначальные сведения о свойствах геометрических фигур люди нашли, наблюдая окружающий мир и в результате практической деятельности. Со временем ученые заметили, что некоторые свойства геометрических фигур можно вывести из других свойств путем рассуждения.
Так возникли теоремы и доказательства. Появилось естественное желание по возможности сократить число тех свойств геометрических фигур, которые берутся непосредственно из опыта. Утверждения оставшихся без дока- ее 7 класс Н. И. Лсйачевский— Русский математик (1792 — 1856) КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны. '2.
Объясните, какие углы называются внутренними односторонними. Какие углы называются внутренними накрест лежа щимиТ 3. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна 180'. зательств свойств стали аксиомами. Таким образом, аксиомы имеют опытное происхождение. Геометрия в ранний период своего развития достигла особенно высокого уровня в Египте.
В первом тысячелетии до нашей эры геометрические введения от египтян перешли к грекам. За период с Ч11 по 111 век до нашей эры греческие геометры не только обогатили геометрию многочисленными новыми теоремами, но сделали также серьезные шаги к строгому ее обоснованию. Многовековая работа греческих геометров за этот период была подытожена Евклидом (330 — 275 тт, до н.
э.) в его знаменитом труде «Начала». Изложение геометрии в «Началах» Евклида построено на системе аксиом. Эта система аксиом отличается от системы аксиом, принятой в данном учебнике. Но в ней также есть аксиома параллельных. Аксиома параллельных в отличие от других аксиом не подкрепляется наглядными соображениями. Может бвггь, поэтому со времен Евклида математики многих стран пытались доказать ее как теорему.
Но это никому не удавалось. Наконец, в Х1Х веке было доказано, что это невозможно сделать. Первым, кто обоснованно высказал это утверждение, был великий русский математик Николай Иванович Лобачевский. В1 г л, Сумма углов трвугольнака 4. Докажите признак параллельности прямых. б. Объясните, какие углы называются соответственными. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то соответственные углы тоже равны, и наоборот.
6. Докажите, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую. Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку, не легкащую на этой прямой? 7. Докажкте, что если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180'.
8. Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. 9, Докажите, что сумма углов треугольника равна 180'. 10. Докажите, что у любого треугольника по крайней мере два угла острые. 11. Что такое внешний угол треугольника? 12. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. 13.
Докажите, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. 14. Какой треугольник называется прямоугольным? 16. Чему равна сумма острых углов прямоугольного тре- угольника? 16. Какая сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой? Какие стороны называются катетами? 17. Сформулируйте признак равенства прямоугольных тре- угольников по гипотенузе и катету. 18. Докажите, что из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, н только один 19.
Что называется расстоянием от точки до прямой? 20. Объясните, что такое расстояние между параллельными прямыми. ЗА~ДАЧИ 1. Докажите, что если некоторая прямая пересекает П одну из двух параллельных прямых, то она пересе- кает н другую. 2. Докажите. что если две прямые пересекаются, то любая третья прямая пересекает по крайней мере одну из этих прямых. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
