Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 6
Текст из файла (страница 6)
46 следует равенство их сторон АС и ВР. А так как по условию задачи АС=10 м, то и ВР=10 м. 11. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АКСИОМ ПРИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ТЕОРЕМ Как мы знаем, при доказательстве теорем разрешается пользоваться аксиомами и доказанными ранее теоремами. Обычно в доказательстве ссылаются не на номер аксиомы по списку, а на ее содержание. Именно таким образом мы поступали в доказательстве первого признака равенства треугольников (теорема 3.1). Разберем еще раз зто доказательство, указывая аксиомы, которые в .нем используются. Доказательство начинается словами: «Пусть А~«ѫ— треугольник, равный треугольнику АВС, с вершиной Вс на луче А,В~ и вершиной Сс в той же полуплоскости относительно прямой А~Во где лежит вершина С~э.
Такой треугольник, как мы знаем, существует по аксиоме '17Ш. Далее утверждается совпадение вершин В~ и Вс на том основании, что А ~В1 = А ~Вь Здесь используется аксиома откладывания отрезков (аксиома 171). Затем утверждается совпадение лучей А1С« и А,С, на том основании, что Л.В~А~С~ = ~В«А|Сь Здесь используется аксиома откладывания углов (аксиома Ъ'11). г 3.
Признаки равенства треугольников Наконец, утверждается совпадение вершин С~ и Сь так как А1С~ =АгСь Здесь снова используется аксиома т1. Мы видим, что данное доказательство теоремы 3.1 опирается только на аксиомы. 11. ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ Те ор е ма 3.2 (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам). Вели сторона и нрилежав(ие к ней углы одного треугольника равнъг соответственно стороне и нрилелгак)им к ней углам другого треугольника, го такие треугольники равны. Дока за тельство. Пусть АВС и А,В,С, — два треугольника, у которых АЗ=А~Во е'А=с'А1 и е.В=е В, (рис. 47). Докажем, что треугольники равны. Пусп А|ВгСт — треугольник, равный треугольнику АВС, с вершиной Вг на луче А|В~ и вершиной Ст в той же полуплоскости относительно прямой А~Во где леясит вершина Си Так как А~Вг=А~Вз, то вершина В, совпадает с вершиной Во Так как с' В~А~Си= л В~А1С~ и .~ А|В~Сг= =-.~ А,В,С„то луч А,Сг совпадает с лучом А~Со а луч В1Ст совпадает с лучом В,Сь Отсюда следует„что вершина Сг совпадает с вершиной Сь Итак, треугольник А~В,С, совпадает с треугольником А,ВгСт, а значит, равен треугольнику АВС.
Теорема доказана. и А Рис. 47 за 7 гласе 23. РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Этн равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника. На рисунке 48 изображен равнобедренный треугольник АВС. У него боковые стороны АС и ВС, а основание АВ. Т е о р е м а 3.3 (свойство углов равнобедренного треугольника).
В равнобедренном треугольнике углы нри основании равны. Дока з а те льет в о. Пусть АВС вЂ” равнобедренный треугольник с основанием АВ (рис. 48). Докажем, что у него ./ А = г'. В. Треугольник САВ равен треугольнику СВА по первому признаку равенства треугольников. Действительно, СА = СВ, СВ=СА, г.С= г. С. Из равенства треугольников следует, что г А= ~В. Теорема доказана. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. 3 а д а ч а (12). Докажите, что у равностороннего треугольника все углы равны.
Р е ш е н и е. Пусть АВС вЂ” данный треугольник с равными сторонами: АВ=ВС=СА (рис. 49). Так как АВ= =ВС, то этот треугольник равнобедренный с основанием АС. По теореме 3.3 г' С вЂ” — г'А. Так как ВС=СА, то треугольник АВС равнобедренный с основанием АВ. По теореме 3.3 .~ А= г В. Таким образом, г' С=~А=.~В, т. е. все углы треугольника равны.
Рие. 48 1 3. Признаки риаенетиа трецзольниноо 24. ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА Теорема 3.4 (признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике два узла равны, то он Равнобейр нный Доказательство.ПустьАВС— треугольник, в котором а А =.—. а. В (рис. 50). Докажем, что он равнобедренный с основанием АВ. Треугольник АВС равен треугольнику ВАС по второму признаку А д равенства треугольников. Действи- г .зо тельно, АВ=ВА, .~В=.~А, ~А= = з. В.
Из равенства треугольников следует, что АС = ВС. Значит, по определению треугольник АВС равнобедренный. Теорема доказана. Теорема 3.4 называется обратной теореме 3.3. Заключение теоремы 3.3 является условием теоремы 3.4. А условие теоремы 3.3 является заключением теоремы 3.4. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна. Поясним зто на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так." если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные.
А зто, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными. 3 а д а ч а (16). Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи 12. Решение. В задаче 12 условие состоит в том, что треугольник равносторонний, а заключение — в том, что все углы треугольника равны. Поэтому обратная теорема должна формулироваться так: если у треугольника все углы равны, то он равносторонний. Докажем эту теорему. Пусть АВС вЂ” треугольник с равными углами: ~А= з'В=з'С.
Так как .~А=~В, то по теореме 3.4 АС=СВ. Так как,Г В= е' С, то по теореме 3.4 АС=АВ. Таким образом, АВ=АС=СВ, т. е. все стороны треугольника равны. Значит, по определению треугольник АВС равносторонний. ээ 7 рюсс 2$. ВЫСОТА, БИССЕКТРИСА И МЕДИАНА ТРЕУГОЛЬНИКА Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника. На рисунке 51 вы видите два треутольника, у которых проведены высоты иэ вершин В и Во На рисунке 51, а основание высоты лежит,на стороне треугольника, на рисунке 51, 6— на продолжении стороны треугольника. Висеекгрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне (рис.
52, а). Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называегся отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (рис. 52, 6). Т 3. Пеивнвии фовснстви тжувовьиииов 26. СВОЙСТВО МЕДИАНЫ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА Т е о р е м а З.б (свойство медианы равнобедренного треугольника). В равнобедренном треухокъкике медиана, крове- денная к основанию, яаляетск биссектрисой и въвсогой. Дока за тельство. Пусть АВС вЂ” данный равнобедренный треугольник с основанием АВ и СР— медиана, проведенная к основанию (рис. БЗ).
Треугольники САР и СВР равны по первому признаку равенства треугольников. (У них стороны АС и ВС равны, потому что треугольник АВС равнобедренный. Углы САР и СВР равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Стороны АР и ВР равны, потому что Р— середина отрезка АВ.) Из равенства треугольников следует равенство углов: ~АСР= ~ ВСР,,~ АРС=,~ ВРС.
Так как углы АСР и ВСР равны, то СР— биссектриса. Так как углы АРС и ВРС смежные и равны, то они прямые, поэтому СР— высота треугольника. 'Теорема доказана. 3 а д а ч а (28). Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой. Р е ш е н и е. Пусть АВС вЂ” равнобедренный треугольник с основанием АВ и СР— его биссектриса (рис. 84).
Треугольники АСР и ВСР равны по первому признаку. У них сторона СР общая, стороны АС и ВС равны как боковые стороны равнобедренного треугольника, а углы при вершине С равны, потому что СР— биссектриса. Из равенства треугольников следует равенство их сторон АР и ВР. Значит, СР— медиана треугольника АВС. А по свойству медианы равнобедренного треугольника она является и высотой.
С Рис. 53 Рис. 34 40 7 клесс 1У. ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУТОЛЬНИКОВ Т е о р е и а 3.6 [признак равенства треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треуголъншса, то такие треугольники равны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть АВС и А|В~С~ — два треугольника, у которых АВ=А,Вь АС=А~Со ВС=В,С~ (рис. бб). Требуется доказать, что треугольники равны. Допустим, треугольники не равны. Тогда у них г Ачь ~Аь .~В~ь.~Во ~С~ ~Съ Иначе они были бы равны по первому признаку. Пусть А~В|Сг — треугольник, равный треугольнику АВС, у которого вершина Сг лежит в одной полуплоскости с вершиной С~ относительно прямой А~В1 (см.
рис. бб). 8, А, Пусть Р— середина отрезка С~Си Треугольники А~С~Сг и В,С,С, равнобедренные с общим основанием С,С . Поэтому их медианы А |Р и В1,0 являются высотами. Значит, прямые А,.0 и В~Р перпендикулярны прамой С~Со Прямые А~Р и В,Р не совпадают, так как точки А ь Вь Р не лежат на одной прямой. Но через точку Р прямой С~Се можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана. 3 а д а ч а (29). У треугольников АВС и А~В~С1 АВ= =А~Во АС=А~Сь ЕС= ~С~ =90'.
Докажите, что ~АВС= ЛА~В~Сь » 3. Пр«»нами рае«н«тва трез»аз»нико« Р 4, рис. 56 Р е ш е.н и е. Пусть АВС и А,В~С| — данные треугольники (рис. Бб). Построим треугольник СВР, равный треугольнику СВА, и треугольник С~Р~Во равный треугольнику С,А,Вь как показано на рисунке. Треугольники АВР и А~В|Р1 равны по третьему признаку. У .ннх АВ=А~В~ по условию задачи; АР=А~Рь так как АС=А~С1, ВР=В,Р„так как ВР=АВ, В,Р, = =А~Во Из равенства треугольников АВР и А~В~Р1 следует равенство углов: ~А= ~Аь Так как по условию АВ=А|Вь АС=А|Сь а АА= ~А1 по доказанному, то треугольники АВС и А|В|С| равны по первому признаку. 28.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
