Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Пусть прямая а не проходит ни через одну из вершин треугольника АВС и пересекает его сторону АВ (рис. 26). Прямая а разбивает плоскость на две полу- плоскости. Точки А и В лежат в разных полуплоскостях, так как отрезок АВ пересекает прямую а. Точка С лежит в одной из этих полуплоскостей. Если точка С лежит в одной полуплоскости с точкой А, то отрезок АС не пересекает прямую а, а отрезок ВС пересекает эту прямую (рис. 26, а).
Если точка С лежит в одной полуплоскости с точкой В, то отрезок АС пересекает прямую а, а отрезок ВС не пересекает (рнс, 26, 6). В обоих случаях прямая а пересекает только один из отрезков АС или ВС. Вот и все доказательство. а) Рис. 26 Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы.
В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заклюЧением теоремы. Условие теоремы 1.1 состоит в том, что прямая не проходит 18 7 к»а«с ни через одну вершину треугольника и пересекает одну из его сторон. Заключение теоремы состоит в том, что эта прямая пересекает только одну из двух других сторон треугольника. 13. АКСИОМЫ Утверждения, содержащиеся в формулировках основных свойств простейших фигур, не доказываются и называются аксиомами. Слово «аксиома» происходит от греческого слова аксисс и означает утверждение, не вызывающее сомнений.
При доказательстве теорем разрешается пользоваться основными свойствами простейших фигур, т. е. аксиомами, а также свойствами„уже доказанными, т. е. доказанными теоремами. Никакими другими свойствами фигур, даже если они нам кажутся очевидными, пользоваться нельзя. При доказательстве теорем разрешается пользоваться чертежом как геометрической записью того, что мы выражаем словами. Не разрешается испольаовать в рассуждении свойства фигуры, видные на чертеже, если мы не можем обосновать их, опираясь на аксиомы и теоремы, доказанные ранее.
В геометрии наряду с такими словами, как аксиома и теорема, используется также слово «определение». Дать определение чему-либо — значит объяснить, что это такое. Например, говорят: «Дайте определение треугольника». На зто отвечают: «'1'реугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих зти точки». Другой пример: «Дайте определение параллельных прямых». Отвечаем: «Прямые называются параллельными, если они не пересекаются».
Вы уже знаете определения равенства отрезков, равенства углов и равенства треугольников. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 9 1. Приведите примеры геометрических фигур. 3. Назовите основные геометрические фигуры на плоскости. 3, Как обозначаются точки и прямые? 4. Сформулируйте основные свойства принадлежности точек и прямых. б. Объясните, что такое отрезок с концами в данных точках. у 1.
Основные свойства простейших геометрических фигур 1з 6. Сформулируйте основное свойство расположения точек на прямой. 7. Сформулируйте основные свойства измерения отрезков. 8. Что называется расстоянием между двумя данными точ- ками? 9. Какими свойствами обладает разбиение плоскости на две пол уцлоскости? 10. Сформулируйте основное свойство расположения точек от- носительно прямой на плоскости.
11. Что такое полупрямая или луч7 Какие полупрямые назы- ваются дополнительными? 12. Как обозначаются полупрямые? 13. Какая фигура называется углом? 14. Как обозначается угол7 15. Какой угол называется развернутым? 16. Объясните, что означает выражение: «Полупрямая прохо- дит между сторонами угла». 17. В каких единицах измеряются углы и с помощью какого инструмента? Объясните, как проводится измерение. 18.
Сформулируйте основные свойства измерения углов. 19. Сформулируйте основные свойства откладывания отрезков и углов. 20. Что такое треугольник? 21. 'Что такое угол треугольника при данной вершине? 22. Какие отрезки называются равными? 23. Какие углы называются равными7 24. Какие треугольники называются равными? 26. Как на рисунке отмечаются у равных треугольников со- ответствующие стороны и углы? 26. Объясните по рисунку 23 существование треугольника, равного данному.
27. Какие прямые называются параллельными? Какой знак используется для обозначения параллельности прямых? 28. Сформулируйте основное свойство параллельных прямых. 29. Приведите пример теоремы. ЗАДАЧИ' 1. 1) Проведите прямую. Отметьте какую-нибудь точ- П ку А, лежащую на прямой, и точку В, не лежащую » ~»)пр» «» Многие аадачи настоящего учебника ваяты иа школьных учебников и аадачнинов прошлых лет, в особенности иа «Геометрии» А.
П. Киселева и «Сборника аадач по геометрии» Н. А. Рыбкина. Число в прямоугольнике указывает на номер пункта. материал которого используегоя в решениях еледувхцих аа ним аадач. 20 7 киссс и Ь. Отметьте точку С пересечения прямых; точку А на прямой а, не лежащую на прямой Ь; точ— — — — — — — ку .Р, не лежащую ни на одной Рис. 27 из прямых а и Ь. 2. Отметьте на листе бумаги две точки. Проведите через них от руки прямую.
С помощью линейки проверьте правильность построения. 3. Могут ли две прямые иметь две точки пересечения? Об ьяс- ните ответ. 4. Для проверки правильности линейки применяют такой способ. Через две точки с помощью линейки проводят линию (рис. 27). Затем линейку переворачивают и через те же точки снова проводят линию. Если линии не совпадают, то линейка неправильная. На каком свойстве прямых основан зтот способ проверки правильности линейки? Х 5.
Проведите прямую а. Отметьте на прямой две какие- нибудь точки А и В. Отметьте теперь точку С так, чтобы точка А лежала между точками В и С. 6. Проведите прямую а. Отметьте на прямой две какие-нибудь точки А и В. Отметьте теперь какую-нибудь точку С отрезка АВ. П 7. Точка М лежит на прямой СР между точками С и Р.
Найдите длину отрезка СР, если. "1) СИ= 2,5 см, МР=3,5 см; 2) СМ=З,1 дм, МР=4,6 дм; 3) СМ=12,3 м, МР=5,8 м. 8. Отметьте на прямой две точки. Отметьте на глаз середину отрезка. соединяющего зти точки. Проверьте правильность построения измерениями с помощью линейки. 6. Три точки А, В, С лежат на одной прямой. Известно, что АВ= 4,3 см, АС = 7,5 см, ВС = 3,2 см. Может ли точка А лежать между точками В и С? Может лн точка С лежать между точками А и В? Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? 10.
Точки А, В, С лежат на одной прямой. Принадлежит ли точка В отрезку АС, если АС = 5 см, ВС = 7 см? Обьясните ответ. 11. Точки А, В, С лежат на одной прямой. Может ли точка В разделять точкиА иС, еслиАС=7 м, ВС=7,6 м? Объясните ответ. 12. Могут ли точки А, В, С лежать на одной прямой, если АВ=1,8 м, АС=1,3 м, ВС=З м? Объясните ответ. 13. Могут ли три точки А, В, С лежать на одной прямой, если длина большего отрезка АВ меньше суммы длин отрезков АС и ВС? Объясните ответ.
14. Точки А, В, С лежат на одной прямой. Найдите длину г ь Оснооные соойстоо пРостейших геометрических фигур 21 отрезка ВС, если АВ=2,7 м, АС=3,2 м. Сколько решений имеет задача? 15. На отрезке АВ длиной 15 м отмечена точка С. Найдите длины от)газков АС и ВС, если: 1) отрезок АС на 3 м длиннее отрезка ВС; 2) отрезок АС в два раза длиннее отрезка ВС; 3) точка С вЂ” середина отрезка АВ; 4) длины отрезков АС и ВС относятся как 2:3. П 16. Проведите прямую и отметьте какую-нибудь точку А, не лежащую на этой прямой. Отметьте теперь две точки В и С так„чтобы отрезок АВ пересекал прямую, а отрезок ВС не пересекал ее.
17. Даны прямая и три точки А, В, С, не лежащие на этой прямой. Известно, что отрезок АВ пересекает прямую, а отрезок АС не пересекает ее. Пересекает ли прямую отрезок ВС? Объясните ответ. 18. Даны прямая и четыре точки А, В, С и Р„не лежащие на этой прямой. Пересекает ли прямую отрезок АР, если: 1) отрезки АВ, ВС и СР пересекают прямую; 2) отрезки АС н ВС пересекают прямую, а отрезок ВР не пересекает; 3) отрезки АВ и СР пересекают прямую, а отрезок ВС не пересекает; 4) отрезки АВ и СР не пересекают прямую, а отрезок ВС пересекает; 5) отрезки АВ, ВС, СР не пересекают прямую; 6) отрезки АС, ВС и ВР пересекают прямую? Объясните ответ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
