Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 4
Текст из файла (страница 4)
19. Даны пять точек и прямая, не проходящая ни через одну из этих точек. Известно, что три точки расположены в одной полуплоскости относительно этой прямой, а две точки — в другой. Каждая пара точек соединена отрезком. Сколько отрезков пересекает прямую? Объясните ответ. П, ™~ 20.
Даны прямая а и точки А, Х, У, Я на этой прямой (рис. 11). Известно, что точки Х и У лежат по одну сторону от точки А, точки Х и Я тоже лежат по одну сторону от точки А. Как расположены точки У и Я относительно точки А: по одну сторону или по разные стороны? Объясните ответ. 21.
Отметьте две точки А н В. Проведите полупрямую АВ. 22. На отрезке АВ взята точка С. Среди полупрямых АВ, АС, СА, СВ назовите пары совпадающих полупрямых, дополнительных полупрямых. Объясните ответ. Е. ,7 ~ 23. Проведите из одной точки три произвольных луча.
Определите на глаз углы, образуемые этими лучами. Проверьте ваши ответы, измеряя углы транспортиром. Повторите упражнение. 24. Луч а проходит между сторонами угла ~сгг). Найдите угол ~сФ, если: 1) .~ ~ас>=35', .~ ~ад~=75т; 2) / (ас)=57, ~~аг1~=62', 3) ~ахает=94, ~(ад~= — 85". 25. Может ли луч с проходить между сторонами угла (аЬ), если: 1) ~(ас)=30', ~(сЬ)=80, ~.(аЬ)=50' 2) ~(ас)=- =100', ~(сЬ)=90', 3) угол (ас) больше угла (аЬ)? 26.
Между сторонами угла (аЬ), равного 60", проходит луч с. Найдите углы (ас) и (Ьс), если: 1) угол (ас) на 30' больше угла (Ьс); 2) угол (ас) в два раза больше угла (Ьс); 3) луч с делит угол (аЬ) пополам; 4) градусные меры углов (ас) и (Ьс) относятся как 2:3. П 27. Проведите прямую. Отметьте на ней какую-нибудь точку А. Затем отметьте на глаз точку В атой прямой так, чтобы АВ=5 см. Проверьте точность построения точки В линейкой. Повторите упражнение для: 1) АВ=З см; 2) АВ=? см; 3) АВ=10 см.
28. Постройте на глаз углы 30', 45', 60', 90'. Проверьте точность построения транспортиром. Повторите задание. 29. Существует ли на полупрямой АВ такая точка Х, отличная от В, что АХ=АВ? Объясните ответ. 30. На луче АВ отложен отрезок АС, меньший отрезка АВ. Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объясните ответ. 31. На луче АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка ВС, если: 1) АВ=1,5 м, АС=0,3 м; 2) АВ=2 см, АС=4,4 см. П 32.
Постройте на глав треугольник с равными сторонами (равносторонний треугольник). Проверьте точность построения измерением сторон. 33. На стороне АВ треугольника АВС взята точка В. Чему равна сторона АВ треугольника, если АВ = 5 см, а ВО=6 см? 34. На стороне АВ треугольника АВС взята точка Ю. Найдите угол С треугольника, если .~ АСЭ=ЗО', а ~ВСЕ)=?0'. 35.
Начертите какой-нибудь треугольник. Постройте от руки на глаз равный ему треугольник. Проверьте правильность построения, измеряя соответствующие углы и стороны. Повторите упражнение. 36. Треугольники АВС и РОВ равны. Известно, что АВ= 5 см, ВС=6 см, АС=7 см. Найдите стороны треугольника РЦВ. Объясните ответ. 37.
Треугольники АВС и РЦВ равны. Углы второго треугольника известны: ~Р=40', ~9=60', ~В=80'. Найдите углы треугольника АВС. 38. Треугольники АВС и РЯВ равны. Известно, что сторона АВ равна 10 м, а угол С равен 90'. Чему равны сторона РЯ н угол В? Объясните ответ. 39. Треугольники АВС, РЦВ и ХУЯ равны. Известно, что АВ=5 см, ЯВ=6 см, ЯХ=? см.
Найдите остальные стороны каждого треугольника. Е Л Основные свойства нростейших геометрических фигур 23 А В В 0 Рнс. 29 В С Рис. 30 Рис. 23 Звездочкой ( ) отмечены задачи повышенной трудности. 40. Дан треугольник АВС. Существует ли другой, равГ3 ный ему треугольник АВР? К 41. Может ли прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, не пересекать другую? Объясните ответ. 42. Даны две пересекающиеся прямые. Можно лн провести третью прямую, параллельную каждой из двух данных? 43. Может ли прямая, не проходящая ни через одну из ~12 ! вершин треугольника„пересекать каждую его сторону? Почему? 44*'.
Даны четыре точки А, В, С и Р. Известно, что точки А, В, С лежат на одной прямой и точки В, С, 1) также лежат на одной прямой. Докажите, что все четыре точки лежат на одной прямой. 45з. Даны четыре прямые а, Ь, с и с(. Известно, что прямые а, Ь, с пересекаются в одной точке и прямые Ь, с, сг также пересекаются в 'одной точке. Докажите, что все четыре данные прямые проходят через одну точку. 46*. 'Гочки А, В„С, Р не лежат на одной прямой. Известно, что прямая АВ пересекает отрезок СР, а прямая СР пересекает отрезок АВ. Докажите, что отрезки АВ и СР пересекаются.
47е. Дан треугольник АВС. На стороне АС взята точка Вь а на стороне ВС вЂ” точка А ы Докажите, что отрезки АА ~ и ВВ1 пересекаются (рис. 28). 48*. Отрезки АВ в СР, не лежащие на одной прямой, пересекаются в точке Е. Докажите, что отрезок АС не пересекает прямую ВР (рис. 29). П 49*.Докажите, что если луч, исходящий из вершины угла, пересекает отрезок АВ с концами на сторонах угла, то он пересекает: 1) отрезок АС с концами на сторонах угла; 2) любой отрезок СР с концами на сторонах угла (рнс. 30). 24 7 класс 30. Докажите, что две прямые либо параллельны, либо пере- секаются в одной точке.
51*.Точки А и С принадлежат прямой а. На полупрямой СА отложен отрезок СВ, больший отрезка СА. 1) Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объясните ответ. 2) Докажите, что точка А разбивает прямую а на две полупрямые АВ и АС. $2. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ 14. СМЕ)ННЫЕ УГЛЫ О п р е д е л е н и е. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми. На рисунке 31 углы (а~Ь) и (асЬ) смежные.
У них сторона Ь общая, а стороны а~ и ас являются дополнительными полупрямыми. Пусть С вЂ” точка на прямой АВ„лежащая меясду точками А и В, а Р— точка, не лежащая на прямой АВ (рис. 32). Тогда углы ВСР и АСР смежные. У них сторона СР общая. Стороны СА и СВ являются дополнительными полупрямыми прямой АВ, так как точки А и В этих полупрямых разделяются начальной точкой С. а Я 01 С Рис. 31 Рис. 32 Теорема 2.1. Сумма смвжнься углов равна 180'. Доказательство. Пусть .Е4а~Ь) и л'..(асЬ) — данные смежные углы (см.
рис. 31). Луч Ь проходит между сторонами а~ и аг развернутого угла. Поэтому сумма углов (а ~ Ь) и (асЬ) равна развернутому углу, т. е. 180'. Теорема доказана. г 3, Смежные и вертикальные углы Из теоремы 2.1 следует, что если деа уааа рагим, то смсжнмс с ними углм раенм. Из теоремы 2.1 следует также, что если угол вс развернутый, то его градусная мера меньше 180'. 3 а д а ч а (3). Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого, Р е ш е н и е. Обозначим градусную меру меньшего из углов череа х.
Тогда градусная мера большего угла будет 2х. Сумма углов равна 180'. Итак, х+ 2х= 180, Зх= 180. Отсюда х=60. Значит, наши смежные углы равны 60' и 120'. Угол, равный 90, называется прямым углом. Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежнмй с прямым углом, есть прямой угол. Угол„меньший 90', называется острым углом. Угол, больший 90' и меньший 180', называется тупым. йруиой угол долрый угол Рис. ЗЗ Гуппи угол Так как сумма смежных углов равна 180', то угол, смежный с острым углом, тупой, а угол, смежный с тупым углом, острый.
На рисунке 33 изображены три вида углов. 15. ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ О пределе н не. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полу- прямыми сторон другого. 26 7 класс На рисунке 34 углы (а,Ь~) и (а2Ь,) вертикальные. Стороны аа и Ьс второго угла являются дополнительными полу- прямыми сторон а, н Ь| первого угла. Теор е м а 2.2. Вергикальные уаяы равны.
Доказательство. Пусть (а~Ь|) и (асЬа) — данные вертикальные углы (рис. 34). Угол (а Ьа) является смежным с углом (а~Ь|) и с углом (ааЬс). Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем„что каждый из углов (а~Ь|) и (ааЬа) дополняет угол (а~Ь2) до 180, т. е.
углы (а~Ь~) и (ааЬа) равны. Теорема доказана. Рис. Зз г .з4 3 а д а ч а (9). Сумма двух углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна 50'. Найдите зти углы. Р е ш е н и е. Два угла, которые получаются при пересечении двух прямых, либо смежные, либо вертикальные (рис. 35). Данные углы не могут быть смежными, так как их сумма равна 50', а сумма смежных углов равна 180".
Значит, они вертикальные. Так как вертикальные углы равны и по условию их сумма 50, то каждый из углов равен 25'. 16. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ Пусть а и Ь вЂ” прямые, пересекающиеся в точке А (рнс. 36). Каждая из зтих прямых точкой А делится на две полупрямые. Полупрямые одной прямой образуют с полупрямыми другой прямой четыре угла. Пусть а — один нз Рис. 36 у Х Смежные и еертикальлые углы этих углов. Тогда любой нз остальных трех углов будет либо смежным с углом а, либо вертикальным с углом а.
Отсюда следует, что если один нз углов прямой, то остальные углы тоже прямые. В атом случае мы говорим, что прямые пересекаются под прямым углом. О к р е д е л е н и е. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом (рис. 37). Перпендикулярность прямых обозначается знаком ) . Запись а( Ь читается: «Прямая а перпендикулярна прямой Ь». Теор е ма 2.3. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну. Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
