Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 13
Текст из файла (страница 13)
111). Рис. 111 47*. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежа- щий к ней угол и разность двух других сторон. 48с. Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме другого катета и гипотенузы. 49а. 1) Из точки А к окружности с центром О и радиусом В проведена касательная (рис. 112).
Докажите, что точка С касания лежит на основании равнобедренного треугольника ОАВ, у которого ОА=АВ, ОВ= 2В. 2) Проведите касательную к окружности, проходящую через данную точку вне окружности. 50*. Проведите общую касательную к двум данным окружностям (рис. 113). Рис. 112 Рис. 113 8 класс $6. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ 59.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При атом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называютси вершинами чегырехугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырехугольника. 3 а д а ч а (1), На рисунках 114 — 116 представлены три фигуры, каждая из которых состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. Какая из зтих фигур является четырехугольником7 82 8 клесс Р е ш е н и е. Четырехугольником является только фигура на рисунке 11б, так как у фигуры на рисунке 114 точки А, В, С лежат на одной прямой, а у фигуры на рисунке 11б отрезки ВС и АР пересекаются.
Рис. 117 Рис. ЫЕ Вершины четырехугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями. У четырехугольника на рисунке 117 диагоналями являются отрезки АС и ВР. Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами. 'У четырехугольника на рисунке 117 противолежащими являются стороны АВ и СР, ВС и АР. Четырехугольник обозначается указанием его вершин.
Например, четырехугольник на рисунке 117 обозначается так: АВСР. В обозначении четырехугольника рядом стоящие вершины должны быть соседними. Четырехугольник АВСР на рисунке 117 можно также обозначить ВСРА или РСВА. Но нельая обозначить АВРС (В и Р— не соседние вершины). Сумма длин всех сторон четырехугольника называется периметром. вз 5 Е. Чееырегугсиьииии 51.
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е, лежат на параллельных прямых (рис. 118). Т е о р е м а 6.1. Вски диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. Доказательство. Пусть АВСΠ— данный четырехугольник и Π— точка пересечения его диагоналей (рис. 119). Треугольники АОО и СОВ равны.
У них углы при вершине О равны как вертикальные, а ОР=ОВ и ОА=ОС по условию теоремы. Значит, углы ОВС и ООА равны. А они являются внутренними накрест лежащими для прямых АО и ВС и секущей ВВ. По признаку параллельности прямых прямые АВ и ВС параллельны. Так же доказывается параллельность прямых АВ и СО с помощью равенства треугольников АОВ и СОВ. Так как противолежащие стороны четырехугольника параллельны, то по определению этот четырехугольник — параллелограмм. Теорема доказана. Рис.
119 Рис. 11З 52. СВОЙСТВО ДИАГОНАЛЕЙ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА Т е о р е м а 6.2 (обратная теореме 6.1). Диагонали параляелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, Доказательство. Пусть АВСΠ— данный параллелограмм (рис. 120). Проведем его диагональ ВЭ. Отметим на 84 8 класс ней середину О и на продолжении отрезка АО отложим отрезок ОСо равный АО. По теореме 6.1 четырехугольник АВС~Р есть параллелограмм. Следовательно, прямая ВС5 параллельна АР. Но через точку В можно провести только одну прямую, параллельную АР.
Значит, прямая ВС5 совпадает с прямой ВС. Точно так же доказывается, что прямая РС 5 совпадает с прямой РС. Значит, точка С~ совпадает с точкой С. Параллелограмм АВСР совпадает с АВС5Р. Поэтому его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана. С5 Рис. 121 Рис. 120 3 а д а ч а (6). Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам. Р е ш е н и е.
Пусть АВСР— данный параллелограмм и И5 — прямая, пересекающая параллельные стороны АВ и СР (рис. 121). Треугольники ОАЕ и ОСЕ равны по второму признаку. У них стороны ОА и ОС равны, так как Π— середина диагонали АС. Углы при вершине О равны 'как вертикальные, а углы ЕАО и 15СО равны как внутренние.накрест лежащие при параллельных АВ, СР и секущей АС. Из равенства треугольников следует равенство сторон: ОЕ=ОЕ, что и требовалось доказать. Е 6. Четывеиуеольииии 21. СВОИСТВО ПРОТИВОЛЕЖАЩИХ СТОРОН И УГЛОВ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА Т е о р е м а 6.3.
У параллелограмма прогиволежаи)ие стороны равны, противолежащие углы равны. Д о каза те л ь ство. Пусть АВСР— данный параллелограмм (рис. 122). Проведем диагонали параллелограмма. Пусть Π— точка их пересечения. Равенство противолежащих сторон АВ и СР следует из равенства треугольников АОВ и СОР.
У них углы прн вершине О равны как вертикальные, а ОА=ОС и ОВ=ОР по свойству диагоналей параллелограмма. Точно так же из равенства треугольников АОР и СОВ следует равенство другой пары противолежащих сторон — АР и ВС. Равенство противолежащих углов АВС и СРА следует из равенства треугольников АВС и СРА (по трем сторонам). У них АВ=СР и ВС=.РА по доказанному, а сторона АС общая. Точно так же равенство противолежащих углов ВСР и РАВ следует из равенства треугольников ВСР и РАВ. Теорема доказана полностью.
Рис. 122 Рис. 123 Задача (18). Докажите, что если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом. Р е ш е н и е. Пусть АВСР— данный четырехугольник, у которого стороны АВ и СР параллельны и равны (рис. 123). Проведем через вершину В прямую Ь, параллельную стороне АР.
Эта прямая пересекает луч РС в некоторой точке Сы Четырехугольник АВС~Р есть парал- лелограмм. Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то С~1)=АВ. А по условию АВ= =СМ?. Значит„ВС=ЗСь Отсюда следует, что точки С и С1 совпадают.
Таким образом, четырехугольник АВС1) совпадает с параллелограммом АВС~1), а значит, является параллелограммом. $4. ПРЯМОУГОЛЬНИК Прямоугольник — ато параллелограмм, у которого все углы прямые (рис. 124). Т е о р е м а 6.4. Диагонали прямоугольника разны. Доказательство. Пусть АВС1) — данный прямоугольник (рис. 125). Рис. 124 Рис. 125 Утверждение теоремы следует из равенства прямоугольных треугольников ВАЮ и СЮА.
У них углы ВА11 и С1)А прямые, катет АР общий, а катеты АВ и СВ равны как противолежащие стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует, что их гипотенузы равны. А гипотенузы есть диагонали прямоугольника. Теорема доказана. 3 а д а ч а (24). Докажите, что если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником. Р е ш е н и е. Углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, являются внутренними односторонними (рис. 126), позтому их сумма равна 180'.
Так как по 5 6. Четиретуеольииии Рис. 126 условию задачи эти углы равны, то каждый из них прямой. А параллелограмм, у которого все углы прямые, есть прямоугольник. 55 РОМБ Ромб — зто параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 127). В Рис. 127 Теорема б.б. Диагонали ромба яереееяаеотея яод ярямым углом. Диагонали ромба являютея биссектрисами его углов. Доказательство.
Пусть АВСΠ— данный ромб (см. рис. 127), Π— точка пересечения его диагоналей. По свойству параллелограмма АО=ОС. Значит, в треугольнике АВС отрезок ВО является медианой. Так как АВСР— ромб, то АВ =ВС и треугольник АВС равнобедренный. По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к его основанию, является биссектрисой н высотой. А это значит, что диагональ ВВ является биссектрисой угла В и перпендикулярна диагонали АС.
Теорема доказана. 3 а д а ч а (33). Докажите. что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом. 88 8 нласс в С Р е ш е н и е. Пусть АВСВ— параллелограмм с перпендикулярными диагоналями и Π— точка пересечения диагоналей (рис. 128). Треугольники АОВ и АОВ равны по первому признаку равенства треугольников.
У них углы при вершине О по условию прямые, Рнс. 128 сторона АО об1цая. а ОВ=ОВ по свойству диагоналей параллелограмма. Из равенства треугольников следует равенство сторон АВ=АВ. А по свойству противолежащих сторон параллелограмма АР=ВС, АВ =СР. Итак, все стороны параллелограмма равны, а значит, он есть ромб. 56. КВАДРАТ Квадрат — зто прямоугольник, у которого все стороны равны (рис. 129). Так как стороны квадрата равны, то он является также ромбом. Поэтому квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба: 1. У квадрата все углы прямые.
2. Диагонали квадрата равны. 3. Диагонали квадрата яересекаютея вод прямым углом и являются биссектрисами его углов. Рис. 120 Рис. 122 Е 6. Четырекггопьники 3 а д а ча (40). Докажите, что если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он есть квадрат. Р е ш е н и е. Так как прямоугольник есть параллелограмм, а параллелограмм с перпендикулярнымн диагоналями есть ромб (задача 33), то у рассматриваемого прямоугольника все стороны равны (рис. 130). По определению такой прямоугольник есть квадрат 57. ТЕОРЕМА ФАЛЕСА Т е о р е м а 6.6 (теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (рис. 131). Рнс. 131 Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А ь Аг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
