Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Ае — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла и Ае лежит между А, и Аг (рис. 131). Пусть Вь Вь Вг — соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если А1Ае=АгАг, то В~Ве=ВеВг. Проведем через точку В прямую ЕР, параллельную прямой А|Ач По свойству параллелограмма А~Аг=ЕВеи А'Аг= =В.Е И так как А,Аз=А Аь то РВе=ВеЕ. Треугольники ВеВ1Р и ВгВ,Е равны по второму признаку.
У них ВгР=ВеЕ по доказанному. Углы при вершине Ве равны как веРтикальные, а Углы ВеРВ1 и ВгЕВг Равны как внУтРенние накрест лежащие при параллельных А~Вг и АгВг и секущей ЕР. Из равенства треугольников следует равенство сторон: В1Вт=ВтВ» Теорема доказана. Замечание. В условии теоремы Фалеса вместо сторон угла можно взять любые две прямые, при етом заключенке теоремы будет то же: параллельные прямые, пересекаюк)ие дее данные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой. Иногда теорема Фалеса будет применяться и в такой форме. фвлес Милетский— древиетрив вский увеиый (Ч1 в.
де и. е.) Рис. 132 3 а д а ч а 148). Разделите данный отрезок АВ на п равных частей. Решение. Проведем из точки А полупрямую а, не лежащую на прямой АВ (рис. 132). Отложим на полу- прямой а равные отрезки: АА„А|А» АтАе, ..., А„,А„. Соединим точки А„и В. Проведем через точки А ь А»,„ А„, прямые, параллельные прямой А.В. Они пересекают отрезок АВ в точках „» ..., В. ь которые делят отрезок АВ на п равных отрезков (по теореме Фалеса). у 6. Чееыееигеоеьиики З3. СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИИА Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Т е о р е м а бЛ.
Средина линия треигольника„соединяюи)ал середины двух данных сторон, нараллельна г ретьей стороне и равна ее яоловине. Доказательство. Пусть РŠ— средняя линия треугольника .4ВС (рис. 133). Проведем через точку Р прямую, параллельную стороне АВ. По теореме Фалеса она пересекает отрезок АС в его середине, т. е. содержит среднюю линию РЕ.
Значит, средняя линия РЕ параллельна стороне АВ. Проведем теперь среднюю линию РР. Она параллельна стороне АС. Четырехугольник АЕРР— параллелограмм. По свойству параллелограмма ЕР=АР, а так как АР=РВ по теореме Фалеса, то ЕР= — АВ. Теорема доказана. 1 2 В А Н 0 Рис. 134 Риа. 133 3 а д а ч а (бб). Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Р е ш е н и е. Пусть АВСР— данный четырехугольник и Е, Р, О, Н вЂ” середины его сторон (рис. 134).
Отрезок ЕР— средняя линия треугольника АВС. Поэтому ЕР !) '3АС. Отрезок ОН вЂ” средняя линия треугольника АРС. Поэтому БНЦАС. Итак, ЕР"1СеН, т. е. противолежащие стороны ЕР и ОН четырехугольника ЕРОН параллельны. Точно так же доказывается параллельность другой пары противолежащих сторон. Значит, четырехугольник ЕРОН вЂ” параллелограмм. 59. ТРАПЕЦИЯ Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции.
Две другие стороны называются боковыми сторонами. На рисунке 135 вы видите трапецию АВСР с основаниями АВ и СР и боковыми сторонами ВС и АР. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется раенобоной. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции. С Р Рис. 136 гв . 1зз Т е о р е м а 6.8. Средняя линия трапеции параллельна основаниям «роа«а «я полуеумме. Доказательство.
Пусть АВСР— данная трапеция (рис. 136). Проведем через вершину В и середину Р боковой стороны СР прямую. Она пересекает прямую АР в некоторой точке Е. Треугольники РВС и РЕР равны по второму признаку равенства треугольников. У них СР =РР по построению, углы при вершине Р равны как вертикальные, а углы РСВ и РРЕ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АР и секущей СР. Из равенства треугольников следует равенство сторон: РВ=РЕ, ВС=ЕР. Значит, средняя линия Рй трапеции является средней линией треугольника АВЕ.
По свойству средней линии треугольника РЩАЕ и отрезок Рй = — АЕ = — ~АР+ ВС). Теорема доказана. у е. четырегуголъними 3 а д а ч а (80]. Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании равны. Р е ш е н и е. Пусть АВСР— разнобокая трапеция (рис. 137). Докажем, что углы трапеции при основании СВ равны. Е (' Рис.
137 0 Проведем через вершину В прямую, параллельную стороне АО. Она пересечет луч РС в некоторой точке Е. Четырехугольник АЗУ вЂ” параллелограмм, По свойству параллелограмма ВЕ=АВ. По условию А0=ВС (трапеция разнобокая), значит, треугольник ВСЕ равнобедренный с основанием ЕС. Углы треугольника и трапеции при вершине С совпадают, а углы при вершинах Е и В равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых секущей. Поэтому Л.АРС= ~ВСВ.
Утверждение доказано. 60. ТЕОРЕМА О ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ ОТРЕЗКАХ Т е о р е м а 6.9. Параллельные лрямые, нересекаюи)ие стороны угла, отсекают от сторон угла нронорционалъные отрезки. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть стороны угла А пересекаются параллельными прямыми в точках В, С и Вь С, соответственно (рис.
138). Теоремой утверждается„что АС< АВ, АС АВ * (*) Докажем сначала равенство (е) в случае, когда существует такой отрезок длины б, который укладывается целое число раз и на отрезке АС, и на отрезке АС,. Пусть АС= лб, АС1 —— = тб и и ) т. Разобьем отрезок АС на я равных частей (дли- 94 8 клаее ны б).
При этом точка С~ будет одной из точек деления. Проведем через точки деления прямые, параллельные прямой ВС. По теореме Фалеса эти прямые разбивают отрезок АВ на равные отрезки некоторой длины бо Имеем: АВ= або АВ~ =яебь Мы видим, что АС~ ел АВ~ из — = — и — = —. АС л АВ л Значит, АС~ АВ~ АС АВ' что и требовалось доказать. Докажем теорему в общем случае (не для запоминания). До- АС< АВ~ АС> АВ~ пустим, что — Ф вЂ”, например, что — => —. АС АВ' АС АВ Р .
1ЗЕ Рие. 138 Отложим на луче АС отрезок АСе= — АВ, (рис. 139). АС АВ При этом АСе~АС,. Разобьем отрезок АС на большое число п равных частей и проведем через точки деления прямые, параллельные ВС. При достаточно большом и на отрезке С~Се будут точки деления. Обозначим одну нз них через У, а соответствующую точку на отрезке АВ~ через Х. По доказанному АС АВ у 6. Чстырсиусоииииии Заменим в этом равенстве величину АУ меньшей величиной АСи а величину АХ большей величиной АВь Получим: АС., АВ, АС АВ Отсюда АС~~ — АВ,. Но АС1= — АВО Мы пришли к АС АС АВ АВ противоречию. Теорема доказана.
64. ПОСТРОЕНИЕ ЧЕТВЕРТОГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГЮ ОТРЕЗКА Задача 6.1. Даны отрезки а, Ь, с. Построить отрезок Ьс х= —. О Р е ш е н и е. Строим любой неразвернутый угол с вершиной О (рис. 140). Откладываем на одной стороне угла отрезки ОА =а и ОВ= Ь, а на другой стороне отрезок ОС =с. Соединяем точки А н С прямой и проводим параллельную ей прямую ВР через точку В. Отрезок ОР=х. Действительно, по теореме о пропорциональных отрезках ОА ОС ОВ ОВ Отсюда ОР =- — ' ОВ.ОС Ь-с ОА а Таким образом„отрезок ОР есть искомый отрезок х. 3 а м е ч а н н е. Построенный отрезок х называется четвертым пропорциональным.
Зто название связано с тем, что он является четвертым членом пропорции а: Ь=-с:х. Рис. 140 96 8 сласс КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какая фигура называется четырехугольником? 2. Какие вершины четырехугольника называются соседними, какие — противолежащими? 3. Что такое диагонали четырехугольника? 4. Какие стороны четырехугольника называются соседни- ми? Какие называются противолежащими? б. Как обозначается четырехугольник? 6.
Что такое параллелограмм? 7. Докажите, что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом. 8. Докажите, что диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 9. Докажите, что у параллелограмма противолежащие сто- роны равны, противолежащие углы равны. 10. Что такое прямоугольник? 11. Докажите, что диагонали прямоугольника равны. 12. Что такое ромб? 13. Докажите, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом; диагонали ромба являются биссектрисами его углов. 14. Что такое квадрат? Перечислите свойства квадрата. 1б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
