Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Тот же результат дает и формула (е). Аналогично рассматривается случай, когда х~ ~ хъ у~ = ух. При х, = =хи у, =уг точки А~ и Аг совпадают и формула (Ч дает г(=0. 3 а д а ч а (1Я). Найдите на оси х точку, равноудаленную от точек (1; 2) и (2; 3). Р е ш е н и е. Пусть (х; О) — искомая точка. Приравнивая расстояния от нее до данных точек, получим: (х — 1)~+(Π— 2) =(х — 2) +(Π— 3)'. Отсюда находим х= 4. Значит, искомая точка есть (4; О).
Т4. УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ Уравнением фигуры в декартовых координатах на плоскости называется уравнение с двумя неизвестными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры. И обратно: любые два числа, удовлетворяющие этому уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры. Составим уравнение окружности с центром в точке Аг (а; Ь) и радиусом В (рис. 175). Возьмем проиввольную точку А (х; у) на окружности. Расстояние от нее до центра Аа равно В. Квадрат расстояния от точки А до Аг равен (х — а)г+(у — Ь)'.
Таким образом, координаты х, у каждой точки А окружности удов- летворяют уравнению у (х — а)г+(у — Ь)г=Вг. (э) Обратно: любая точка А, координаты которой удовлетворяют уравнению (е), принадлежит окружности, так как расстояние от нее до точки Аг равно В. Отсюда следует, что уравнение (в) действительно является уравнением окружности с центром Аэ н радиусом В.
Рие. 1т5 з 8- Декартовы кааадккат22 ка плоскости Заметим, что если центром окружности является начало координат, то уравнение окружности имеет вид: 2 ) 2 22222 3 а д а ч а (ЗО). Какая геометрическая фигура задана уравнением ае Ь" х2+у2+ах+Ьу+с=О, — + — — с)О? 4 4 Р е ше н ие. Преобразуем данное уравнение следую2цим обрааом: 2 Ь2 а2 Ь2 х2+ ах+ — + у2+ Ьу+ — = — + — с, 4 4 4 4 Мы видим, что рассматриваемая фигура есть ок жность ы ат с центром ( — — ' — ) и радиусом 22= — + — — с. з' з,) 4 4 75. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ Докажем, что любая нрямая в декартовых координатах х, у имеет уравнение вида ах+Ьу+с=О, () где а„Ь, с — некоторые числа, причем хотя бы одно из чисел а, Ь не равно нулю. Пусть Ь вЂ” произвольнав прямая на плоскости ху. Проведем какую-нибудь прямую, перпендикулярную прямой Ь, и отложим на ней от точки пересечения С с прямой Ь равные отрезки СА~ и СА* (рис.
176). Ь Пусть аь Ь| — координаты точ- А ки А~ и аь Ь вЂ” координаты точки А . Как мы знаем, любая точка А (х; у) прямой Ь равноудалена от точек А~ и Ат. Поэтому координаты ее удовлетворяют уравнению (х — а~) +(у — Ь1)' = 2 2 А г (х — а2) + (у Ь2] (4 к) тае. 12С 12а 8 класс Обратно: если координаты х и у какой-нибудь точки удовлетворяют уравнению ( с), то эта точка равноудалена от точек А, н Аь а эначвт, принадлежит прямой Ь Таким образом, уравнение (*:~) является уравнением прямой Ь. Если в этом уравнении раскрыть скобки и перенестн все члены уравнения в левую его часть, то оно примет вид: 2 (аэ — а~) х+2(Ьэ — Ь!) у+(а~+Ь( — а$2 — ЬТ)=О. Обозначая 2 (аэ — а ~ ) = а, 2 (Ь2 — Ь | ) = Ь„а(+ Ь, — а$ — Ь) = с, получаем уравнение (э). По крайней мере одно из чисел а, Ь не равно нулю, так как точки А~ и Аэ рааличны.
Утверждение доказано. 3 а д а ч а (Зб). Составьте уравнение прямой, которая проходит черве точки А ( — 1; 1), В(1; О). Решение. Как мы знаем, наша прямая имеет уравнение вида ах+ Ьу+ с = О. Точки А и В лежат на прямой, а значит, их координаты удовлетворяют этому уравнению. Подставляя координаты точек А и В в уравнение прямой, получим: — а+ Ь+с=О, а+с=О. Иэ этих уравнений можно выразить два коэффициента, например а и Ь, черве третий: а= — с, Ь= — 2с. Подставляя эти эначення а и Ь в уравнение прямой, получим: — сх — 2су+с= О. На с можно сократить. Тогда получим: — х — 2у+ 1 =О.
Это и есть уравнение нашей прямой. Уб. КООРДИНАТЫ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМЫХ Пусть заданы уравнения двух прямых: ах+ Ьу+с=О, а,х+ Ь|у+с~ =О, Найдем координаты их точки пересечения. 7 В. Докаргоо» коовдакат» ка каоокооти Так как точка пересечения (х; у) принадлежит каждой из прямых, то ее координаты удовлетворяют и первому и второму уравнению, Поэтому координаты точки пересечения являются решением системы уравнений, задающих прямые. Рассмотрим пример. Пусть уравнениями данных прямых будут: Зх †у+2, бх — 2у+1=0, Решая эту систему уравнений, находим х= — З„у= — Т.
Точка пересечения прямых ( — 3; — Т). Задача (43). Докажите, что прямые, задаваемые уравнениями у» ух+1„ У» йх+12, при 1~ ~=62 параллельны. Р е ш е н и е. Допустим, прямые не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке (х1, у~). Так как точка пересечения принадлежит каждой из прямых, то для нее у|=ух~+1ь У1 = »Х 1 + 12. Вычитая эти равенства почленно, получим О=  — 4.
А это противоречит условию (й~(2). Мы пришли к противоречию. Утверждение доказано. 77. РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ОТНОСИТЕЛЬНО СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Выясним, как расположена прямая относительно осей координат, если ее уравнение ах+Ьу+с=О имеет тот или иной частный вид. 1. а=О, Ь~О. В этом случае уравнение прямой можно переписать так: гвв в и Таким образом, все точки прямой имеют одну и ту же ординату ь — — ); следовательно, прямая параллельна оси х (рис. 177, а).
В частности, если с=0, то прямая совпадает с осью х. 2. Ь=О, ачьО. Этот случай рассматривается аналогично. Прямая параллельна оси у (рис. 177, б) и совпадает с ней, если и с=О. а) Рис. 117 3. с= О. Прямая проходит через начало координат, так как его координаты ~0; 0) удовлетворяют уравнению прямой (рис. 177, в). 3 а д а ч а (4б). Составьте уравнение прямой, которая параллельна оси х и проходит через точку ~2; — 3). Решение. Так как прямая параллельна оси х, то она имеет уравнение вида у+с=О. Так как точка (2; — 3) лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению: — 3+ с = О. Отсюда с=3.
Следовательно, уравнение прямой у+3=0. 73. УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ В УРАВНЕНИИ ПРЯМОЙ Если в общем уравнении прямой ах+Ьу+с=О коэффициент прн у не равен нулю, то зто уравнение можно разрешить относительно у. Получим: ь с у= — — х — —. ь ь В 8. декартовы каолдоиаты иа олоскости Илн, обозначая — = — й, — = — 1, получим: а с Ь ' Ь Выясннм геометрический смысл козффнцнента й в этом уравнении. Возьмем две точки на прямой А (хд у~), В (хг, уг) (х1 (хв). Ик коордннаты удовлетворяют уравнению прямой: У,=йх~+1, Ут=йхг+й Вычитая этн равенства почленно, получим уг — у~ =й(хв — х~).
Отсюда й= — рт й-'. Кт — М В случае, представленном на рисунке 178, о, "' "' =Фу а. Кт — Х~ В случае, представленном на рисунке 178, б, — "' "' = — $б сс. Кт К3 Таким образом, коэффнцнент й в уравнении прямой с точ- ностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью х. Козффнцнент й в уравнении прямой называется угловым коэффициентом прямой.
'Уг) Рис. 173 3 Ге и тмы 7 — 11 ие. 130 8 класс УР. ГРАФИК ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ При построении графиков функций на уроках алгебры вы, наверное, заметили, что графиком линейной функции является прямая. Теперь мы докажем это. Пусть у = ах+ Ь вЂ” данная линейная функция. Докажем, что ее графиком является прямая. Для данной функции если х=О, то у=Ь, если х=1, то у = а+ Ь. Поэтому графику функции принадлежат точки (О; Ь) и (1; а+Ь). Составим уравнение прямой, проходящей через эти точки; вида: у=йх+й Так как указанные точки графика лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой: Ь=-й-О+1, а+Ь=й.1+С Отсюда находим 1=Ь, й=а.
Итак, наша прямая имеет урав- нение у =ах+ Ь. Значит, уравнению прямой удовяетворяют все точки графика. То есть графиком линейной функции является прямая. 90. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ОКРУЖНОСТЬЮ Рассмотрим вопрос о пересечении прямой с окружностью. Пусть  — радиус окружности и д — расстояние от центра окружности до прямой.
Примем центр окружности за начало координат, а прямую, перпендикулярную к данной, за ось х (рис. 1ТЯ). Тогда уравнением окружности будет хэ+у~=В~, а уравнением прямой х=д. Для того чтобы прямая и окружность пересекались, надо, чтобы система двух уравнений х'+у2=В~ х= д имела решение. И обратно: всякое решение этой системы дает координаты х, у точки пересечения прямой с окружностью.
Решая нашу систему, получим: 1 8. Декартовы еюрдэиати еа еяосмости- а,) Иэ выражения для у видно, что система имеет два решения, т. е. окружиостз и лрямая имеют две точки лересечекия, если В~0 (рис. 179,а). Система имеет одно решение, если В =с) (рис. 179, б). В этом случае лрямая и окружность касаются. Система не имеет решения, т. е. крякая и окруяскость ие яересеюиотся„если Вс.,д (рис. 179, в). 3 а д а ч а (50). Найдите точки пересечения окружности х~+у~=1 с ирямои у=йх+1. Решение. Так как точки пересечения лежат на окружности и на прямой, то ик координаты удовлетворяют системе уравнений х~+у~=1; у=йх+1.
Решим зту систему. Подставим у из второго уравнения в первое. Получим уравнение для х: йх~+4х=О. 4 Уравнение имеет два корня х~ — — О и хэ= — —. Это абс- 5 пиесы точек пересечения. Ординаты этих точек получим из уравнения прямой, подставляя в него х~ и хз Получаем 3 у~=1, уэ= — — Итак, точки пересечения прямои и ок- 5 ружности (О; 1) и( — —; — — ~ Зт ь' ь/ 188 8 иееее 91. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА ДЛЯ ЛЮБОГО УГЛА ОТ 9' ДО 496' До сих пор значения синуса, косинуса и тангенса были определены только для острых углов. Теперь мы определим их для любого угла от 0 до 180'. Возьмем окружность на плоскости ху с центром в начале координат н радиусом В (рис. 180).
Отложим от положительной полуоси х в верхнюю полуплоскость (полуплоскость, где у)0) угол а. Пусть х и у — координаты точки А. Значения з(п а, соз а и 19 а для острого угла а выражаются через координаты точки А, а именно: сов а= —, вш а= —, $8 а=— к . у у В ' й х Определим теперь значения в(п а, сов а и 18 а этими формулами для любого угла а. (Для ФЕ а угол а = 90 исключается.) При таком определении зш 90 =1, сов 90 =О, 81п 180 =О, сов 180 = — 1, $8 180 =О. Считая, что совпадающие лучи образуют угол 0', будем иметь: вш 0 = О, сов 0' = 1„$8 0 = О. Докажем, что для любого игла а, 0 ~ а ( 180', в(п (180' — а) =в$п а, сов (180 — а) = — соз а.
Длл угла аФ90' 1я(180е — а)= — $9 а. Действительно, треугольники ОАВ и ОА~В~ равны по гипотенузе и острому углу (рис. 181). Из равенства треугольников Рие. 181 Рие. 180 Г 8. Декарговы ноордшшты эа элоскоеги следует, что АВ=А~Во т. е. у=рп ОВ=ОВь следовательно, х= — хь Поэтому е?п(180' — )=~=-Е-= ш и. и я соэ (180' — а) = — '= — = — сов а. я и Разделив почленно равенство в1п (180' — а) = эш и на равенство соэ (180' — а) = — соз а, получаем: $8 (180' — а) = — $8 а. 'Что и требовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
