Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Аналогично доказывается, что точка С~ не может лежать между точками А~ и Вь Так как нз трех точек А„В„С, одна лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только Вь Теорема доказана полностью. Из теоремы 9.1 следует, что нри движении нрлмые нерелодяг в лрямые, нолулрнмые — в лолулрямые, отрезки — в отрезки (рис. 185). Докажем, что ири движении солраняются узлы между лолулрямыми. Х' д 140 3 кзасс Рис. 186 Пусть АВ и АС вЂ” две полупрямые, исходящие из точки А, не лежащие на одной прямой (рис.
186). При движении эти полупрямые переходят в некоторые полупрямые А~В~ и А~Со Так как движение сохраняет расстояния, то треугольники АВС и А~В~С~ равны по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует равенство углов ВАС и В,А~Со что и требовалось доказать. 64. СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ Пусть 0 — фиксированная точка и Х вЂ” произвольная точка плоскости (рис. 187). Отложим на продолжении отрезка ОХ за точку О отрезок ОХ', равный ОХ.
Точка Х' называется симметричной точке Х относительно точки О. Точка, симметричная точке О, есть сама точКа О. Очевидно, что точка, симметричная точке Х'„есть точка Х. Преобразование фигуры г в Фигуру Г', при котором каждая ее точка Х переходит в точку Х', симметричную относитель- К Рис. 1з7 141 1 9. Движение но данной точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О. При этом фигуры г' и )т' называются симметричными относительно точки О (рис.
188). Если преобразование симметрии относительно точки О переводит фигуру Г в себя, то она называется центрально-симметричной, а точка О называется центром симметрии. Например, параллелограмм является центрально-симметричной фигурой. Жго центром симметрии является точка пересечения диагоналей (рис. 189). У' Рис. 190 Т е о р е м а 9.2. Преобразование симметрии относительно точки являегея движением. Доказательство. Пусть Х и У вЂ” две произвольные точки фигуры г (рис 190). Преобразование симметрии относительно точки О переводит их в точки Х' и У'. Рассмотрим треугольники ХОУ и Х'ОУ'. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников.
У них углы при вершине О равны как вертикальные, а ОХ=ОХ', ОУ=ОУ' по определению симметрии относительно точки О. Из равенства треугольников следует равенство сторон: ХУ=Х'Г'. А это значит, что симметрия относительно точки О есть движение. Теорема доказана. 83. СИММЕ1РИЯ О1НОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ Пусть б — фиксированная прямая (рис. 191). Возьмем произвольную точку Х и опустим перпендикуляр АХ на прямую и. На продолжении перпендикуляра за точку А отложим отрезок АХ', равный отрезку АХ. Точка Х' называется еимметрич- 142 8 класс Рис.
192 Рис. 191 ной точке Х относительно прямой я. Если точка Х лежит на прямой я, то симметричная ей точка есть сама точка Х. Очевидно, что точка, симметричная точке Х', есть точка Х. Преобразование фигуры Р в фигуру Р', при котором каждая ее точка Х переходит в точку Х, симметричную относительно данной прямой я, называется преобразованием симметрии относительно прямой я. При етом фигуры и и Р' называются симметричными относительно прямой и (рис. 192). Если преобразование симметрии относительно прямой я переводит фигуру Рв себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой и, а прямая я называется осью симметрии фигуры.
Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам„являются осами симметрии прямоугольника (рис. 193). Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии (рис. 194). Рис. 194 Рис. 193 У 9. Движение 143 Т е о р е м а 9.3. Преоброаова- У ние симметрии относительно нрнмой является движением. Дока за тел ь ство, Примем данную прямую за ось у декартовой системы координат (рис.
19б). Пусть произвольная точка А (х; у) фигуры 1т переходит в точку А'(х', у') фигуры г'. Из определения симметрии относительно пря- Рис. 195 мой следует, что у точек А н А' равные ординаты, а абсциссы отличаются только знаком: х'= — х. Возьмем две произвольные точки А (х~, "у~) и В (хг, уг). Они перейдут в точки А' ( — х~, у~) и В' ( — хг, уг). Имеем: АВ =(хг — х~) +(т2 — т'~), .А'В"=( — х~+х~)е+(уе — у~)'. Отсюда видно, что АВ=А'В'. А это значит, что преобрааование симметрии относительно прямой есть движение.
Теорема доказана. 86. ПОВОРО1 Поворотом плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходжций из этой точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении (рис. 196). Это значит, что если при повороте около точки О точка Х переходит в точку Х', то лучи ОХ и ОХ' образуют один и тот же угол, какова бы ни была точка Х. Этот угол называется углом поворота. Преобразование фигур прн повороте плоскости так- О же назъгаается поворотом. Рис.
196 3 а д а ч а (26). 1) Постройте точку Ао в которую переходит точка А при повороте около точки О на угол 60' по часовой стрелке. 2) Постройте фигуру, в которую переходит отрезок АВ при повороте около точки О на угол 60' по часовой стрелке. Решение. 1) Проведем луч ОА и построим луч ОМ так, что ЕАОМ=-60' (рис.
197, а). Отложим на луче ОМ отрезок ОА о равный отрезку ОА. Точка А| является искомой. 2) Построим точки А1 и Во в которые переходят при заданном повороте точки А и В, являющиеся концами отрезка АВ (рнс. 197, б). Отрезок А~В, является искомым, поскольку при повороте отрезок переходит в отрезок. ЕУ. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ЕГО СВОЙС1ВА Наглядно параллельный перенос определяется как преобразование, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние (рис.
198). Такое определение не является математически строгим, потому что в нем употребляется выражение»в одном и том же направлении»„ которое само нуждается в точном определении. В связи с этим параллельному переносу мы дадим другое, отвечающее тому же наглядному представлению, но уже строгое определение. е 9. Дввкеиие Введем на плоскости декартовы координаты х, у.
Преобразование фигуры р, трн котором произвольная ее точка (х; у) переходит в точку (х+а; у+ Ь), где а и Ь одни и те же для всех точек (х; у), называется параллельным иеремосом (рис. 199). Параллельный перенос задается формулами х'=х+а, у'=у+Ь. Этн формулы выражают координаты х', у' точки, в которую переходит точка (х; у) при параллельном переносе. Рис. 198 Рис. 199 Параллельный перенос есть движение. Действительно, две произвольные точки А (х~', у~) и В (хд, уе) переходят при параллельном переносе в точки А' (х|+а; у~ + Ь), В' (хс+а1 ус+ Ь).
Поэтому АВ~=(хс — х~) +(уе — у~)~, А'В'=(х,— х )'+(уе — у )'. Отсюда АВ=А'В'. Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояния, а значит, является движением, что и требовалось доказать. Название епараллельный переносе оправдывается тем, что ири параллельном иеремосе точки смещаютея ио иараллеланаем ~или совпадающим) прильем на одно и то же расстояние. 146 6 класс в' Рис. 201 Рис. 200 Действительно, пусть точки А (х(, у() и В (хг, уз) переходят в тачки А' (х(+а; у(+ Ь) и В' (хг+а; уг+ Ь) (рис. 200). Середина отрезка АВ' имеет координаты х(+хг+и 9(+Ю+Ь х= 2 * 2 * у= Те же координаты имеет н середина отрезка А'В. Отсюда следует, что диагонали четырехугольника АА'В'В пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Значит, этот четырехугольник — параллелограмм. А у параллелограмма противолежащие стороны АА' и ВВ' параллельны и равны.
Заметим, что у параллелограмма АА'В'В параллельны и две другие противолежащие стороны — АВ н А 'В'. Отсюда следует, что нри параллельном переносе нрямал переходит в параллельную прллгую (или в себя). 3 а м е ч а н и е. В предыдущем доказательстве предполагалось, что точка В не лежит на прямой АА'. В случае, когда точка В лежит на прямой АА ', точка В' тоже лежит на этой прямой, так как середина отрезка АВ' совпадает с серединой отрезка ВА' (рис. 201). Значит, все точки А„В, А', В' лежат на одной прямой. Далее, АА'= г(*, г- — *,( г(г -(.
ь — г ( =гУгг ВВ'= г((хг+а — хг) ++(уг+ Ь вЂ” у)г) .=-(((а2+ Ь . Таким образом, в этом случае точки А и В смещаются по прямой АВ на одно н то же расстояние ~а + Ь~, а прямая АВ переходит в себя. бб. СИЦЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСА Теорема ВА. Каковы бы ни были двв точки А и А', существует один и только один нараллельныб нервное, нри котором точка А ие- А А / реходит в точку А'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
