Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 20
Текст из файла (страница 20)
КОН'$РОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Обьясните, как определяются координаты точки. 2. Какие знаки у координат точки, если она принадлежит первой (второй, третьей, четвертой) четверти? 3. Чему равны абсциссы точек, лежащих на оси ординат? Чему равны ординаты точек, лежащих на оси абсцисс? Чему равны координаты начала координат? 4. Выведите формулы для координат середины отрезка.
5. Выведите формулу для расстояния между точками. 6. Что такое уравнение фигуры в декартовых координатах? 7. Выведите уравнение окружности. 8. Докажите, что прямая в декартовых координатах имеет уравнение вида ах+Ьр+с=0. 9. Как найти координаты точки пересечения двух прямых, если заданы уравнения этих прямых? 10. Как расположена прямая, если в ее уравнении коэффициент а=0 (Ь=О; с=О)? 11. Что такое угловой коэффициент прямой и какой его геометрический смысл? 12. Докажите, что графиком линейной функции является прямая.
13. При каком условии прямая и окружность не пересекаются, пересекаются в двух точках, касаются? 14. Дайте определение синуса, косинуса и тангенса для любого угла от 0 до 180 . 15. Докажите, что для любого угла сс, 0' и« 180'. вш (180' — п)=эш к, соэ (180 — а) = — — соэ а, ФЕ (180' — а) = — $а а. 134 8 класс ЗАДАчи 1.
Проведите осн координат, выберите единицу длины К на осях, постройте точки с координатами: (1; 2), ( — 2; Ц,( — 1; — З),(2; — и. 2. Возьмите наудачу четыре точки на плоскости ху. Найдите координаты этих точек. 3. На прямой, параллельной оси х, взяты две точки. У одной из них ордината у=2.
Чему равна ордината другой точки7 4. На прямой, перпендикулярной оси х, взяты две точки. У одной нз них абсцисса х=З.'Чему равна абсцисса другой точки7 5. Из точки А (2; 3) опущен перпендикуляр на ось х. Найди- те координаты основания перпендикуляра. 6. Через точку А (2; 3)проведена прямая, параллельная оси х. Найдите координаты точки пересечения ее с осью у. 7. Найдите геометрическое место точек плоскости ху, для которых абсцисса х=З. 8.
Найдите геометрическое место точек плоскости ху, для которых !х! =3. 9. Даны точки А ( — 3; 2) и В (4; 1). Докажите, что отрезок АВ пересекает ось у, но не пересекает ось х. 10. Какую из полуосей оси у (положительную или отрицатель- ную) пересекает отрезок АВ в предыдущей задаче7 11. Найдите расстояние от точки ( — 3; 4) до: 1) оси х; 2) оси у. П 12.
Найдите координаты середины отрезка АВ, если: 1) А (1; — 2),В(5," 6); 2) А( — 3; 4),В(1; 2); З)А(5; 7), В ( — 3; — 5). 13. Точка С вЂ” середина отрезка АВ. Найдите координаты второго конца отрезка АВ, если: 1) А (О; 1), С ( — 1; 2); 2) А ( — 1; 3), С (1; — 1); 3) А (О; 0), С ( — 2; 2). 14.
Докажите, что четырехугольник АВСР с вершинами в точках А ( — 1; — 2), В (2; — 5), С (1; — 2), Р ( — 2; 1) является параллелограммом. Найдите точку пересечения его диагоналей. 15. Даны три вершины параллелограмма АВСР: А (1; 0), В (2; 3), С (3; 2). Найдите координаты четвертой вершины Р и точки пересечения диагоналей. 16. Найдите середины сторон треугольника с вершинами в точках О (О; 0), А (О; 2), В ( — 4; 0). П 17.
Даны три точки А (4; — 2), В (1; 2), С ( — 2; 6). Най- дите расстояния между этими точками, взятыми попарно. 18. Докажите, что точки А, В, С в задаче 17 лежат на одной прямой. Какая из ннх лежит между двумя другимиу Я В. Дакаатоан коогдинатм на ааоокооти 19. Найдите на оси х точку, равноудаленную от точек (1; 2) и (2; 3). 20. Найдите точку, равноудаленную от осей координат и от точки (3; 6). 21? Докажите, что четырехугольник АВСР с вершинами в точках А (4; 1), В (О; 4), С ( — 3; 0), Р (1; — 3) является квадратом.
22. Докажите, что четыре точки (1; О), ( — 1; 0), (О; 1), (О; — 1) являются вершинами квадрата. П,, 74 23. Какие из точек (1; 2), (3„4), ( — 4; 3), (О; 5), (5; — 1) лежат на окружности, заданной уравнением ха -(- ут = 25? 24. Найдите на окружности, заданной уравнением х +у~= =169, точки: 1) с абсциссой 5; 2) с ординатой — 12. 25. Даны точки А (2; 0) и В ( — 2; 6).
Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок АВ. 26. Даны точки А ( — 1; — 1) и С ( — 4; 3). Составьте уравнение окружности с центром в точке С, проходящей через точку А. 27. Найдите центр окружности на оси х, если известно, что окружность проходит через точку (1; 4) и радиус окружности равен 5. 28*. Составьте уравнение окружности с центром в точке (1; 2), касающейся оси х.
29. Составьте уравнение окружности с центром ( — 3; 4), проходящей через начало координат. ЗО*.Какая геометрическая фигура задана уравнением х~+у~+ах+Ьу+с=О, — +~ — с)0? 4 4 31. Найдите координаты точек пересечения двух окружностей: х +9~=1, х~+у — Зх+у — 2=0. 32. Найдите координаты точек пересечения окружности х +у~ — 8х — 8у+7=0 с осью х.
33. Докажите, что окружность х~+у'+2ах+1=0, )а| ~1, не пересекается с осью у. 34. Докажите, что окружность х~+ уа+ 2ах = 0 касается оси у, о~О. П 35. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точки А ( — 1; 1), В(1„.0). 36. Составьте уравнение прямой АВ, если: 1) А (2; 3), В (3; 2); 2) А (4; — 1), В ( — 6; 2); 3) А (5; — 3), В ( — 1; — 2). 37. Составьте уравнения прямых, содержащих стороны треугольника ОАВ в задаче 16. 38. Чему равны координаты а и Ь в уравнении прямой ах+ +Ьу=1, если известно, что она проходит через точки (1; 2) и (2: 1)? 39.
Найдите точки пересечения с осями координат прямой, заданной уравнением: 1) х+2у+3=0; 2) Зх+4у=12; 3) Зх — 2у+6=0; 4) 4х — 2у — 10=-0. 40. Найдите точку пересечения прямых, заданных П уравнениями: 1) х+2у+3=0, 4х+бу+6=0; 2) Зх — у — 2=0, 2х+у — 8=0; 3) 4х+бр+8=0, 4х — 2у — 6=0. 41*. Докажите, что три прямые х+Зу=З, 2х — у=1 и Зх+ +у=4 пересекаются в одной точке.
42к. Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами (1; 0), (2„'3), (3; 2). 43. Докажите, что прямые, заданные уравнениями у=ах+ +1п у=)сх+сь при 1~ Ф4 параллельны. 44. Среди прямых, заданных уравнениями, укажите пары параллельных прямых: 1) х+ у = 1; 2) у = х — 1; 3) х — у = 2; 4) у = 4; 5) у = 3; 6) 2х+ 2р+ 3 = О.
П 45. Составьте уравнение прямой, которая параллельна оси у и проходит через точку (2; — 3). 46. Составьте уравнение прямой, параллельной оси х и проходящей через точку (2; 3). 47. Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку (2; 3). П 48.
Найдите угловые коэффициенты прямых из задачи 39. 49. Найдите острые углы, которые образует заданная прямая с осью х: 1) 2у= 2х+3; 2) х -1ГЗ вЂ” у =2; 3) х+ уф+ +1=0. П 50. Найдите точки пересечении окружности х'+у'=1 с прямой: 1) у=2х+1; 2) у=х+1; 3) р=Зх+1; 4) у=)сх+1. 51". При каких значениях с прямая х+ у+ с = 0 и окружность х~+у'=1: 1) пересекаются; 2) не пересекаются; 3) касаются? П 52. Найдите синус„косинус и тангенс углов: 1) 120', 2) 135', 3) 150 . 53.
Найдите: 1) в1п 160', 2) соз 140', 3) 1я 130 . 54. Найдите синус, косинус и тангенс углов: 1) 40', 2) 14'36', 3) 70'20', 4) 30'16', 5) 130", 6) 150'30', 7) 150 33', 8) 170'28'. 55. Найдите углы, для которых: 1) вш а = 0,2; 2) сов а = — 0,7; 3) 16 о, = — 0,4. 56. Найдите в1п а и $я а, если: 1) сов сс = —; 2) сов а = — 0,5; 1 з ' 3) сов а= з, 4) сов а= — з 1зт 67. Найдите сова и 16 а, если: 1) в)п а=0,6„0'<а<90'1 2) в)п а= —, 90'<а<180'1 3) в1п сс= —,, 0 <а<180'. с тз б 68. Известно, что 19 а= — —.
Найдите вш а и сов а. 12 69. Постройте угол а„если известно, что вш а= —. в 5 з 60. Постройте угол а, если известно, что сов сс= — —. 5 61е. Докажите, что если сов а=сов р„то а = 9. 62'. Докажите, что если вш а=в1п )), то либо а=)), либо а= = 180' — р. $ 9. ДВИЖЕНИЕ 32. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что зта фигура получена преобразованием из данной (рис. 182). Преобразование одной фигуры в другую навывается деилсепием, если оно сохраняет расстояние между точками, т.
е. переводит любые две точки Х и Ъ' одной фигуры в точки Х', 1" другой фигуры так, что Хх =Хсзр" (рис, 183) 8 а м е ч а н и е. Понятие движения в геометрии связано с обычным представлением о перемещении. Но если, говоря о перемещении, мы представляем себе непрерывный процесс, то в геометрии для нас будут иметь значение только начальное и конечное положения фигуры.
Рис. 182 Рис. 183 188 8 класс Е Рис. 18а Пусть фигура г переводится движением в фигуру г', а фигура г' переводится движением в фигуру Г" (рие. 184). Пусть при первом движении точка Х фигуры г переходит в точку Х' фигуры г', а при втором движении точка Х' фигуры г" переходит в точку Х" фигуры г ". Тогда преобразование фигуры К в фигуру г'", при котором произвольная точка Х фигуры г переходит в точку Х" фигуры г'", сохраняет расстояние между точкамн, а значит, также является движением. Это свойство движения выражают словаъгн. "два движения, выполненные последовательно, дают снова движение. Пусть преобразование фигуры г в фигуру г ' переводит различные точки фигуры г в различные точки фигуры г' (см.
рис. 182). Пусть произвольная точка Х фигуры г при етом преобразовании переходит в точку Х' фигуры Г'. Преобразование фигуры г' в фигуру г', при котором точка Х' переходит в точку Х, называется преобразованием, обратным данному. Движение сохраняет расстояние между точками, поэтому переводит различные точки в различные. Очевидно, преобразование, обратное движению, также являетсв движением. ВЗ. СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ Т е о р е м а 9.1.
То ики„лежак)ие на прямой, при движении переводят в точки, леясащие на прямой, и сокраняется порядок ик взаимноео расположения. Это значит, что если точки А, В, С, лежащие на прямой, переходят в точки А» В» С» то зтн точки также лежат на прямой; 9 9. Движение 1зэ если точка В лежит между точками А и С„то точка В, лежит между точками А1 и Со Доказательство. Пусть точка В прямой АС лежит между точками А н С. Докажем, что точки Аь Вь С~ лежат на одной прямой.
Если точки А о Вь С~ не лежат на прямой, то они являются вершинами треугольника. Поэтому А~С, (А,В, +В,С, По определению движения отсюда следует, что АС =АВ+ВС. Однако по свойству измерения отрезков АС=АВ+ВС. Мы пришли к противоречию. Значит, точка В, лежит на прямой А~Со Первое утверждение теоремы доказано. Покажем теперь, что точка В~ лежит между А1 и Со Допустим, что точка А ~ лежит между точками В~ и С,. Тогда А ~В, + +А~С~ — — В~Со и, следовательно, АВ+ АС=ВС. Но это противоречит равенству АВ+ВС=АС. Таким образом, точка А1 не может лежать между точками В~ и С,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
