Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 43
Текст из файла (страница 43)
2 2 о Покажем, что если р (т) ) О, то максимум спектральной плотности достигаетси в точке в = О: з = зх(О). Это непосредственно вытекает нз опенки интеграла, а (в) — ) р„(с) сов втФт~ — ) р„(т) 1с(т=з (0), 2 г 2 г о о Таким образом, при р„(т)) 0 2 1 1 з =з (0)= — т; !)у = м †. и о о з .2н 4т„' откупа т„бг",= —. ! 9.57. На вход колебательного звена системы автоматического регулирования, передаточная функция которой имеет вид ср (р) = , ' , (й > О), подается белый шум, спектральная плотность которого равна Ю„"(в) = № Определить дисперсию выходного сигнала о), ") Подразумевается, что речь идет о достаточно удаленных участках времени, после окончания переходных процессов.
3!6 Р е ш е н и е. ) Т 0рн)о+5/а+Й (о ' откуда уйо)до лйФ ,) ) Т Птв)'+5рн+)о)" 5 Зал1етилд, что дисперсия выходного сигнала не зависит от постоянной времени колебательного звена Т, а зависит лишь от коэффициента усиления й, коэффициента демпфирования $ и мощности сигнала Глг. 9.58. Передаточвая функция системы, на которую подается сигнал Х(о), имеет внд 0)(Т)= о ° 1+Тпа ТдроЧ-д+Ь ' где и = 25 ) — 1; Т, = 0,05 (сел ). 1 сок) ' Спектральная плотность входного сигнала 2Т6 о'(ы)=Т+ Т ' Гг)дадо1 где Т= 1 [сгк~, 5„= 4 ~ —,1 .
Требуется найтц дисперсию выходного сминала. Р е ш е н н е. К (ол) = 5„'" (ед) ) бл (Ф) ~ — Тд (Гы)'+1 =25')ТТ,(; )о (Т4 Т,)(,,) .~(1+ Т); г Я, 1 г ь, (дто)о+ьд (ты)о Рь, ,) а ( ) 2л ) ) ао ()ол)о+ад(йо)о+ад)ы+ао)о а адЬ, — адьо+ ао"д — —" 3 2ао (аоао — а,а,) в нашем слУчае Ьо = О, Ьд = — Т„'Ь, =- 1, а, = ТТд, ад — — Т+ Тд, ао=1+ДТ, а =к. адЬо ь,— Во = 4пТ5 ' 0,0428 !граде). 31г 9.59. Случайная функция Х(с) имеет математическое ожидание пл„(Е) 5 и спектральную плотность 8 8, (со) -„-(- + — „—, . Найти корреляционную функцию случайной функции Х(().
Решение. В задаче 9.17 было показано, что для корреляционной функции вила Хо (т) В„е-" ' спектральная плотность имеет вид Я,(ю) * Вои и (аз+со') ' Следовательно, в нашем случае а = 1; П, 8; )оо (т) = 8е- ". 9.60. Случайная функция Х(с) имеет математическое ожидание т„(с) = 8 и спектральнусо плотность 20 5+ ело п 25+Всоо-с-ело ' Найти корреляционную функцию случайной функции Х(с). Р е ш е н н е. В задаче 9.18 было показано, что для корреляционной функции вида ст„(т) =-В„е-о~" соз лст спектральная плотность имеет вид В„сс а'+ ро+ со' и (а'+ (() — со)') (ссл+ (5 +со) о) В„а аз+ ()о -1- ело и (по+()о)о+2 (ао ро) сел+оса Следовательно, а'--, 'ро = 5, а' — Рз= 3, откуда а, о = = )/ 4 = -л- 2.
Нас удовлетворяет только положительное значение корня: а = 2; тогда р = ~ 1 (оба корня отвечасот 20 усссовиялс задачи), а П„= — =- 10. Таким образом, /о„(т) =10е-о "~ созт. ГЛАВА 1О мАРкоиские пРоцессы. потоки СОБытий. ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Говорят, что в физической системе Х происходит случайный процесс, если она с течением времени может под влиянием случайных факторов переходить из состояния в состояние.
Система Х называется системой с дискретными отстояниями, если она имеет счетное (в частном случае †конечн) множество возможных состояний х», хз, ..., х„, ..., и переход из одно~о состояния в другое осуществляется скачком. Ниже будут рассматриз ваться только системы с дискретными состояниями.
Возможные состояния системы Х наглядно изображаются с помощью так называемого гра4«т сосглояний (рис. 1Оа), на котором состояния системы изображены прямоугольниками, а возможные переходы системы из состояния в состояние — стрелками, соединяющими соответствующие прямоугольники.
Рис. 10б. Рис. !Оа, На рис. 10а показан граф состояний системы, ныеющей четыре озможных состояния; х,, хз, х», х«. Из состояння х, возможны ереходы в хз или хз; из состояния ха — в х, или обратно в х,; из остояния х, — в х,, из состояния х, †обрат в хз. Состояние системы называется «состоянием без выхода», если з него невозможен переход ии в какое другое состояние (см.
сотаяние хз на рис. 10б). 319 Для описания случайного процесса, протекающего в системе с дискретными состояниями х>, х„..., х„, часто пользуются вероятностями состояний Р> (1) р> (г) ° ° ° ° р (1) где р>(1) (й 1, 2, ..., л) — вероятность того, что в момент 1 система находится в состоянии х„. Вероятности ра (Г) удовлетворяют условию и ~ р (Г)=1 А г Случайный процесс, протекающий в системе Х, называется лро> цгссом с дискретным временем, если переходы системы из состояния в состоявие возможны только в определенные люменты времени Если переходы возможны в любой момент времени, процесс называется процессом с нвпргрывнмм временем.
Если в системе Х с дискретными состоявиями -происходит случайный процесс с непрерывным временем, то переходы системы из состояния в состояние можно рассматривать как происходящие под влиянием некоторых лов>оков событий (см. гл. 5 стр. 92). Случайный процесс с дискретными состояниями называется лгарковским, если все вероятностные характеристики процесса в будущем зависят лишь от того, в каком состоянии атот процесс находится в настоящий момент времени, и не зависят от того, каким образом этот процесс протекал в прошлом (>будущее зависит от прошлого только через настоящее>). Если процесс марновский, то все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими, Если процесс, протекающий в системе с дискретными сос~оявиями и непрерывным временем, является марковским, то для вероятностей состояний р, (1), р, (1), ..., р„(1) можно составить систему линейных дифференциальных уравнений.
При составлении зтих дифференциальных уравнений удобно пользоваться графом состояний системы, на котором против каждой стрелки, ведущей иэ состоянии в состояние, проставлена плотность (интенсивность) потока тг Я событий, переводящего систему из состояния в сосгояние по данной стрелке. Образец такого графа (разчгчгнного графа состояний) показан на рис. 1йв. Здесь )к Г обозначает плотность Шг й йг потока событий, переводящего систему из со- стояния хс в состояние хр дг гг Если имеется размеченный граф состояний Хр системм Х, то систему дифференциальных урав- нений для вероятностей состоячий рз(Г) (й 1, Ряс )ав 2...,, л) можно сРвэУ написать, пользУЯсь следующим простым правилом.
В левой части наждого уравнения стоит производная ь —, а в правой части— сИ стольхо членов, сколько стрелои связано непосредственно с данным состоянием; если стрелка ведет в данное состояние, член имеет знак плюс, если ведет из данного состояния, член имеет знак минус. Каждый член равен плотности потока событий, переводящего систему по данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка. Например, для системы Х, размеченный граф состояний которой показан на рис.
10в, система дифференциальных уравнений будет: ор (1) ь!! =ьг, з Рз (1)+~з, трз (1) (ьк з+)д з) Рз (!) 4 ° (П =).О з Рт(1) (ьз, з+йз, з т "з, з) Рз(!) г)Рз (!) дт =йд з Рт ()) + Ха, з Рз (1) (йз, т+ за, з) Рз (!) ="з, з Рз(1)+)Ьз, з Рз (1) г( (!) б! Число уравнений может быть уменьшено на единицу, если учесть условие: для любого ! Рт (!) + Р.
(!) -'г Рз (!) + Р» (!) - 1 Начальигле условия для интегрирования тахой системы отражают состояние системы в начальный момент. Если, например, система при 1=0 была в состоянии хь, то полагают Рз(0)=1; р;(0) 0 при! Ф й. Предельным Режимом для системы Х называется случайный про песе, устанавливаюшнйся в системе прн 1- со. Если в числе состояний системы нме!ется состояния без выхода, то при ! оз система с практической достоверностью оказывается в одном нз иих. Если все потоки событий, переводящие систему из состояния в со.
стояние, стационарны (Хг (=сола!), общее число состояний конечно и состояний без выхода нет, то предельный режим существует и характеРизУетсв пРедельными веРоагностЯмп состонний Р,, Рм ..., Рт и ~Ч~', рь — 1 . Чтобы найти зги вероятности, приравнивают нулю з=! левые части уравнений для вероятностей состояний (полага!от все производные — равными 0) и решают полученную систему лн. г)Р» (!) г(г нейиых алгебраических уравнений. К ним добавляется нормировочное условие а Х Р-!.
а=з Например, для системы Х, размеченный граф состояний которой дан на рис. 10в, система алгебраических уравнений, определяющая 32! 11 и. С. везтцель, л. л. Озчзроз предельный режим, будет! ая, г Ре+ "з, «Ра — (ьд а+ йк з) Р« = О ~, а Рт-(йз «+аз а+йз «) Р,=О, й« „р, + д,, р,— (),+ й, «) р„= о, ~«, «Рз+)««,4 Рв О Р«+Ря+Рз+Р«= ! Потоком Пальма (потоком с ограниченным последействием) называется поток событий, у которого промежутки между соседки««и собитнямн представляют собой независимые случайные величины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
