Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 47
Текст из файла (страница 47)
!»ассматриваех!ая система дозаправки а!ожет быть проанализирована как СМО смешанного типа с пара- истрами'. число каналов обслуживания и = 4; число мест в очереди не ограничено (гн = оо); 24 ! 1 плотность потокз заявок Х = — = 0,4 ~ — 1( ! 00 ' (мин! плотность потока обслуягнваний р = — = 0,1 ~ — ); 10 ' ~мин) плотность потока уходов из очереди е =- — = 0,05 20 ' (мин ) Отшода ) 0,4 у = — — = — '=-8 0 Об а= — =4; ) р пр 40,1 Ь = — = — '=8 — целое число.
0,05 ай(п 1,а)+пр(п, я) ( +') у) — й(" у) ~ Й (г + б ) ) )1 (б, у) Р(б, у) 344 По формуле (5) задачи 10.14 находим среднее число дозаправщиков, занятых обслуживанием самолетов: Вероятность того, что самолет будет дозаправлен Р 4 =- — — — — 0,7о. рл о с 8 и Среднее число самолетов з, ожидающих дозаправки самолета в воздухе (см. решение предыдущей задачи при 6= т): Р (4, 4) 8 ( Р (8, 8) — Р («», 8)) Р( 8, 8) Р (4, 4) + Р (4, 4) Я (««, 8) — Я (8, 8Н Среднее время пребывания самолета в очередя (ожидания заправщика в воздухе) будет — « 1,80 го« = — = — ' — — 3,25 (»«ин~). Вероятность того, что произвольно взятый дозаправщпь будет занят обслуживанием самолета; л Среднее время простоя дозаправщика Р««ш« Среднее зрел«я никла работы дозаправщика Г„= Г«+ ~„„= 3,3+ О = 3,3 (~кн(.
Если дозаправщик может сделать 1=5 дозаправок, то среднее время пребывания дозаправщика в воздухе в районе дозаправки будет 1 („=5 13,3=66,7 (мин), после чего этот дозаправщик должен быть заменен новым (заправленным горючим), 10.17. Рассматривается работа автозаправочной станпии (АЗС), на которой имеется четыре заправочных колонки (и = 4).
Заправка одной машины длится в среднем 3 минуты. В среднем на АЗС каждую минуту прибывает машина, нуждающаяся в заправке бензином. Число мест в очереди практически неограниченно. Все машины, вставшие в очередь на заправку, «терпеливо» дожидаются своей очереди. Определить среднее время, проходящее с момента прибывания машины на заправку, до момента ее заправки, а также другие характеристики работы АЗС: среднее число занятых мест й; среднее число машин в очереди з; среднее время простоя колонки между заправками. Р е ш е н и е. Работа АЗС может рассматриваться как работа чистой системы массового обслуживания с ожиданием с характеристиками: число каналов и =4; параметр потока заявок А = 1)à — 1; параметр потока обслуживаний 1 'Гмин ! Г ! ) р = — !Ь вЂ” 1.
В этом случае 3 Ьмин3' Х Ь 3 а= — =3, х= — = — =0,75. р ин 4 Стационарный предельный режим прн ! оо существует, так как х < 1. В данном с~учае вероятность обслуживания любой заявки будет равна едина!е: Р,а, —— 1, так как нано илн позлно машина, вставшая в очередь на обслуживание, дождется его.
Срелнее число занятых каналов будет й= мм =а=-З. н Срелнее число машин з, ожидающих в очереди (см. фор- мулу (10) задачи 1О.!4): аР (и, и) к' , й (и, а) + Р (и, а)— Найдем сумму вида 2. '= зх' = х— ик н, Л ! к х =х — — = нх ! — х (! — х)с 6=О 1=0 Тогда х — (1 — х)' Р(4,3) !2 к й (4,3) + Р (4,3).3 И (и, а) + Р (и, а)— 1 — к Среднее время ожидания машины в очереди будет а 1,33 гии = — = — '= 1,53 (мин). Х 1 Среднее время пребывания машины у АЗС будет равно 3+1,53 =4,53 [мин).
Среднее число машин, ожидающих заправки или заправляющихся, будет Л+ а =-4,53. Среднее время простоя колонки )< зан >< 3 так как Р„,= — =— н 4 10.18". Рассматривается система массового обслуживания следующего типа, Имеется т источников заявок (например, станков, которые могут требовать ремонта); они обслуживаются л каналами (например, бригадой из п наладчиков). Кая<дый источник заявок порождает поток заявок с плотностью ), но только пока он не обслуживается; на время обслуживания поток заявок прекращается (станок останавливается и новых иевсправностей не возникает).
Обслуживание одной заявки продолжается в среднем вре~об 1/Р ' Если заявка застает все каналы занятыми, она становится в очередь и о>кидает неограниченное время. Определить вероятности состояний системы. Р е ш е н и е. Размеченный граф состояний системы показан на рнс. !О.!8. Состояние х (б < А ~«л) означает, что Я Ф-4чРЯ Ф4>Я бв-лРЯ йг-л>Я П хн га ллн ' ' ' ~ич лл а)нт лм л<и Рнс. !О.!8. заявок находятсв на обслуживании (очереди нет); состояние л„+,(1 «( з я т — л) означает, что все каналы заняты и г заявок находятся в очереди. В соответствии с графом состояний можно составить -систему дифференциальных уравнений и при 1 в со иолучнть систему алгебраических уравнений, решив которую 341 относи~ельно вероятностей состояний получим В(I«,й, р) Р(л и) р(т — и — ! Х) Р (О, л) Р (т, Х) Р (и, п) Р (т — (и+а), Х) В(т, и, р)Р(О, п)Р(т, Х) + 1' (л, » и (т — л — 1, Х) (1 (з «т — и), (2) где В(т, Ф, р) ==Со,род В(т, А, р) = ~ С!р'д !=о — функиии, связанные с биномиальным распределением; а Л лр р = —,; и=1 — р; а=- —; Х,= — ' 1+а' ' и ' Х 1) Среднее число заявок на обслуживании А =~~' бра+и ~ р,,= — ~ ЙВ(т, А, р)+ ь=о ! ! о=о т — и про Р(л, л) + ' ~~' Р(т — (и+а), Х) и ро ~п о, пр,р(л, и)Й(т — и — 1, Х) Р(О, л)Р(т, Х) о=о где Р(п, п]Р(т — л — 1, Х) Р(О «) Р (т, Х) — вероятность того, что все каналы свободны.
2) Среднее число заявок, ожидаю!дих обслуокивзния, будет т-л ш-и Р (п, и) ро ° =,.„зр„„=р(О .Р( ) ~, Р( — (и+з), Х)= о=! о= ! ((ги — и) Й (и — и, Х) — - ХВ (т — и — 1, Х)). Р(и, л) ро Р (О, и) Р (т! Х) 348 3) Для определения среднего времени простоя источника ") Гпр найдем веРоатность пРостоЯ заавки Рпгд) (и) (а), Р(и)— пР ю Но вероятность простоя заявки можно также определить пз соотношенвя (н) (пр Рпа = (э) Г(н)+Т(и) а пр р где 7 = ††сре (н) Х откуда время работы источника заявок, р(а) пр (н) апр Л 1 Р() пр 4) Среднее время простоя канала г,р будет (и) (а) ) 1 ) ааи апя = и ааи д 5) Среднее ляется так: время ожидания заявки в очереди опреде- (и) ! = 'пр ач *) Среднее время простоя источника (заявки) равно сумме средних времен нахождения заявки в очереди и на обслуживании.
341) 10.19. Группа из 10 рыболовных траулеров обслуживается одной плавучей базой. Ьаза принимает иа переработку рыбу и обеспечивает траулер необходимыми материалами. Среднее время плавания траулера равно 3 суткам. На базе имеется один причал; среднее время обслуживания траулера — 8 часов. Определить среднюю длину очереди среднее время простоя траулера у,р, среднее время простоя = (и) базы г,'г, среднее время ожидания заявки в очереди г'„„.
Р е ш е н и е. Плавучую базу можно рассматривать как систему массового обслуживания с ограниченным числом источников заявок (т=10). Число каналов обслуживания и=1 (одна плавучая база), 11араметры системы будут: д ! ир а с(=- — = —; )(= — =9; Р = —,:=-0,1; () = ! — Р=0,9. 9' Х ' )+а В соответствнв с решением, приведенным в предыдущей задаче, вероятность того, что канал свободен, равна Ра— — 0,168. й(иии,р) Р (и, и) )( (т — и — ),7) Р(0, п)Р(т, 7) Среднее число заявок в очереди Р (1,!) Р, х= р(о !)'Р(),.) 9) (9Л(9,9) — 9Л (8,9)1 ж 4,54 Математическое ожидание числа зан)пых каналов прп и -- ! равно )е = 1 — р„ =- 0,832. Вероятное(ь того, что траулер будет простаивать, Рп,) =- =--0,537. си и+ )( г' Среднее время простоя траулера (з) ! ~'р —— — пп -— — 3,48 (с()ток~.
пп — ~ ! Р(~) лп Среднее время простоя плавучей базы й ро) ! —— = — — = — =ж 0,057 !суток~!. — ! р(п) пп и Среднее время ожиданий заявки в очереди будет 7 и Гпр . -3,48 — з = 3,15 (гсй(ток)). Ги) ! ! г Из результатов расчета видно, что при таких параметрах плавучая база плохо приспособлена для обслуживания траулеров: они простаивают примерно столько же, сколько я плавают. 10.20. Условия те же, что и в предыдущей задаче, ио на плавучей базе имеется три причала для обслуживания траулеров (л = 3), однако при этом производительность каж- =~'1 дого причала уменьшена в три раза ()=1 ~ — 1 . Таким (сутки! ' образом, общая производительность всех причалов (и)) ! = 3 1) осталась такой же, как и в предыдущей за- (сутки) даче.
Определить характеристики работы такой системы (те же, что и в предыдущей задаче). Р с шеи не. Параметры системы будут: л= — ~ 1 ! ))=! ~ — 1 ! и=3, т=10; а =- -; )( = 9! Р = 0,75; 0 = 1 — Р = 0,25. 1 Вероятность ро того, что все причалы будут свободны, найдем нз выражения ж 0,042. й (!О;3;0,75) Р (3,3) )7 (6,9) 0 25)о + Р (О 3). Р ()О 9) Среднее число занятых причалов э о=о Среднее число траулеров, ожидающих обслуживания: а =- ' [(и — и) Й (и — и,)() — )(й (т — п — 1,7()1 ! (л и)ро Р (О, л) Р (т, 7) ж 0,635. Вероятность того, что траулер будет простаивать около плавучей базы: Среднее время простоя траулера л(о) (и) ! ' пр !лр = —, ж 1,28 )суток1. Р(о) лр 351 Среднее число занятых каналов (поваров) ай (л 1 а)+ар(ли) Р 6 ) и Р(6' у) ж 3,99, р(л,а)+р(л,а)К(+' ) — В(' у) Р(6, у) т. е.
практически все повара будут заняты. ! Среднее число посетителей,.ожидающих в очереди: — Р (л, а) 1(((т+6, у)-)7 (6, у)1(у — Ь)+у(Р(6, у) — Р(т+Ь, у)1) Р (Ь, у) )( (л, а) + Р (л, а) 1)( (т+ б, у) — Л (б, у)1 ж 9,95. Вероятность того, что все места в очереди будут заняты: Р (л,а) Р (т -1- б, у) Р (6, у) И (л, а) + Р (л, а] (И (т+ 6, у) — )( (Ь, уЦ ж 8,43 !О т. е, все места в очереди будут заняты с вероятностью менее одного процента. Бероятность обслуживания Р.„ = †„ ~ О,5. г Так как вероятность того, что зсе места в очереди заняты, чала, то сравнительно низкая вероятность обслуживании объясняется кнетерпеливостью» посетителей. Среднее время пребывания в очереди 1 = — = 4,97 ж 5 ~,нин~. 5 ач Среднее время, затрачиваемое на всю процедуру (стояние в очереди и обед), равно 5+4+10=19 (мил).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
