Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Требуется найти следующие характеристики СМО: 1) среднее число занятых каналов Ф; 2) вероятность того, что произвольно взятый канал будет занят; 3) среднее время занятости одного (произвольно взятого) канала ~,„„; 4) среднее время простоя канала 1„„. Решение. 1) Для любой СМО, в которой каждая заявка может обслуживаться только одним каналом, среднее число заявок Ха, обслуживаемых в единицу времени, определяется как произведение среднего числа занятых каналов на плотность потока обслуживаний: Вероятность обслуживания произвольно выбранной ззявки равна отношению плотности потока обслужснных заявок к плотности потока поступающих заявок: Система дифференцизльных уравнений для вероятностей состояний имеет вид откупа Следовательно, )э =Рй=Р„,); Х й = — Роба Ы плн, в соответствии с формулой (10.3) на стр. 325, — Аэ (и — 1, сз) й=а где Выражение лля срелнего числа занятых каналов можно э полу пыь и нз формулы й = ~эйр, где рь определяется по а=э формуле (10.2) стр.
325, 2) Обозна пгн вероятность того, что произвольно взятый канал занят обслуживанием какой-то заявки, через Р„и. Очевидно, что зта вероятность одинакова для всех каналов, следовательно, й= гр„н, о~куда й б. эс (н — 1, сз) л к(л, сэ) 1 3) Среднее время занятости одного капала т. е. равно среднему времени обслуживания заввки, 4) Срелнее вреэгв простоя канзла („э определим вз условия пан Т Раап гааза+ Гпэ откуда )заи 1 1 1 пан 1эан р )зэн 10.13. Рассматривается работа авгоматической телефонной станнии (АТС), рассчитанной на одновременное обслуживание 20 абонентов (двадцатиканальная СМО). Вызов на АТС поступает в среднем через 6 секунд.
Каждый разговор длится в среднем 2 минуты, Если абонент застает АТС занятой, то он получаеТ отказ, Если абонент застает свободным хотя бы один нз 20 каналов, то он соединяется с нужным ему номером. Определить вероятность того, что абонент, вызывая АТС, не застанет ее занятой, а также другие характеристики работы СМО< среднее число занятых каналов, вероятность занятости канала, среднее время простоя канала.
Р е ш е н и е. АТС можно рассматривать как систему массового обслуживания с отказами и с параметрамн: Вероятность обслум<нвания )< (л — 1, а) зт(19,20) 0 841 )<(л а) )<(20, 20) Среднее число занятых каналов (< =а~ а<а ' 16,8. Вероятность того, что канал занят 0 84 (Т л Среднее время простоя канала — "'" = 22,6(еек1. 1 1 йззн )< ) ззн Из полученных данных видно, что АТС загружена достаточно сильно. 10.14н.
Рассматривается и-канальная система массового обслуживания смешанного типа, на вход которой поступает простейший поток заявок с плотностью Х. Число мест в очереди л<. Время ожидания заявки в очереди Т распределено по показательному закону со средним значением — 1 — Время обслуживания показательное со средним 1 значением (,~ = — . Определить вероятности состояний снстемы. Найти вероятность Р,м того, что заявка будет обслум<ена. Р е ш е н и е.
Размеченный граф состояний системы изображен на рис. 10.14. На этом графе приняты следующие обозначения состояний: хь — в системе имеется ровно Я заявок (О ( А ( л), всв они обслуживаются, очереди нет; Х„+, — в системе все каналы заняты и а заявок находятся в очереди (1 ( г ( и), Читателю предлагается на основе этого графа самостоятельно составить систему дифференциальных уравнений дли П-П " Л Я Я Л Л хл хг ° хяа х» хам ° ° ° хгч хл х, м; лх лх.» Л Я Я (Я (Я Ц (Я Д 4 " У"С'Ю. гневя Рнс.
1О.!4, вероятностей состояний и пз нее при г' — оо получить систему алгебраических уравнений, решение которой имеет впд (0(й~~л), (1) О1 аь а" ах Ц (я+1()) л( 1 Ц ("+ 1Р) (1(з(л), (2) Рл -. '-в « аз аП ат Ц (л+ 1р) где Это выражение можно преобразовать к виду, более удобному для расчетов, заменяя Р ) у Г(б+1) ( — "' Г(6+и+1) ' ц( +]р) ц ( — "+') Еям 1=и где и 6= — =— и лай ! м Г(х) =) е '(е гА (х» 0) — гамма-функция, для которой, п как известно, Г(х-,'-1) — — хГ(х) (х)0).
Если величина 6 †цел число, то уи" "е-' ! Р(е-] 6, у) уиб (6+ е] ] (6+и) ' уие-г Р (б, 1) Ц (л+](]] '=и т-Ьи Р (и у) — ~~Я Р (и, у) 5 =и ) (6, у) Рт (т + 6, у) — й (б, у] Р (6, т) и формулы для вероятностей (1) и (2) примут следу югмий вид: Р (]и, а) Д (т + 6, у) — (( (6, у) Р(б, у) (О-"й(л), (3) Р(л а)— Р (б, у) )( (т+6, у] — Л(б, 1] Р(б, ]] (1 ~» а и) (4) 360 Вероитность обслуживания заявки можно определить как отношение среднего числа заявок )о, обслуживаемых в единицу времени, к плотности потока заявок ),: )о ' обс ' )„ Величина )о определяется иа соотношения )со.= и')с где Й вЂ” срелнее число занятых каналов: П П !г= ~, )сРс -( и~ Р„,.
В=о Если 6 — целое число, то иК (и — 1, а)+ ир (л, и) Р [си+ 6, у) — Я (6, у) Р (6, у) Если 6 не целое число, то вычисление можно провести для двух ближайших к ве.личине б целых чисел и произвести между ними линейную интерполяцию. Такой прием дает удовлетворительные по точности результзты. Если чясло мест в очереди не ограничено (и — оо), то формулы упрощаются с учетом того, что !!по И (ис + б, у) = 1. пс х Если заявки, попавшие в очередь, не покидают ее, а «терпеливо» ожидают начала обслуживания (я=0, а значит, н )) =О), то формулы (1) и (2) принимают вид Р (Л, а) (0) )З(л, сс) + Р (и, а) х Р (и а) х' Рс+о= 1 кис (7) И (и, а) + Р (и, а) ив 1 — х а вероятность обслуживания Р(и, а) хос Ровс = ! — Ри„м — 1 ' 1 и, (8) К(и, а)-1-Р (л, а) х —" 1 — х 341 1 где а ). и= — =- — .
а лм' !1ри гл со такая система превращается в чисту~о систел~у с ожиданием, для которой Р (Ь, сс) Рь = )1(л, а)+Р (л, а)— 1 — я Р(л, а)н' (10) й (и, а) + Р (л, и) — ' 1 — я В системе с неограниченным числом мест в очерелн (т -- оо) и ч =-.0 стационарный реткнм существует только при и (1. 10.15е. Для СМО смешанного типа, рассмотренной в предыдущей задаче, требуется определптгп 1) среднее число ааявок з, находящихся в очереди; 2) среднее время пребывания в очереди г'„; 3) вероятность Р„„ того, что произвольно взятый канал занят; 4) среднее время занятости канала г'„я; 5) среднее время простоя канала 1„~ при условии, по величина 6 = — целое число. пр ).
Р е ш е и и е. 1) Среднее число заявок з, находящихся в очереди, буде~ (см. формулу (4) задачи 10.14): и Р(п а)~~з ( + Р (6, у) з= ~ зрь,— ' ' +6 *= 1 Р (и, а) + Р (и, а) Р (6 у) Преобразуем сумму и и з ' =~~' з — е т —.=— Р(з+6, у) у'+' — 61 Р (6 у) ( + 6)' у"е ' $= 1 $= г 342 у 61 д )((ьч+6, у) — Р(6, у) (6+з)! ду Р (6, у) И ( +6, У) — Р(6, У)1(У вЂ” 6)+У)Р(6 У) — Р (н +6 У)) Р (6, у) так как — Р(б, у) = — — е т= — е т(бу — у ) = — Р(5, у) д . д у 1 — з г г б — у ду ' дуб( 51 д Следовательно, — Р (л,а) (Р(т+Ь,у) — )((б,у))(у — 5)+У (Р (б У) Р (т+б.у))) Р (б, у) й (л, а)+Р (л, а) (И (т+б, у) — й (6, у)) 2) рассмотрим случайную величину ан„ вЂ” время фактического пребывания заявки в очереди.
Величина Т,„ является случайной величиной сааешанного типа: с некоторой веронтностью она равна нулю, а при г 0 имеет плотность распределения у;„(1). Допустим, что для конкретной заявки это время приняло значение, лежащее в интервале (у,г+Ж) (1 О). Вероятность этого равна уаа(г)а)г. Предположим, что заявки обслуживаются в порядке поступления. Тогда к моменту ухода рассматриваемой заявки из очереди за ней будет находиться в среднем Я заявок, а слеловательно, полное математическое ожидание числа заявок, находяпаихся в очереди будет: Ю з =- ~ )г1у',„(г) с)г =)а(,н, откуда (он = — а). а 3) Вероятность занятости канала а Р аан где аз †средн число занятых каналов, определяемое по формуле (5) задачи 10.14. 4) Среднее время занятости канала 1 зан 5) Среднее время простоя канзла 1 аан и 1зан ") Зта формула справедлива н для случая, когда заявки вызываются нз очереди не в порядке поступления, а в случайном порядке.
343 10.16. С целью увеличения дальности беспосадочного полета производится дозаправка самолетов горючим в воздухе. В районе дозаправки постоянно дежурит четыре самолета-дозаправщика. Если дозаправка началась, то она осуществляется до конца и длится в среднем 1О минут. Если все дозаправщики заняты, то самолет, нуждающийся в дозаправке, некоторое время может кожндать» (совершать полет по кругу в районе дозаправки); среднее время ожидания 20 минут.
Если самолет так и не дожидается дозаправки в воздухе, он садится на запасной аэродром. Интенсивность полетов такова, что в среднем за час в район дозаправки прибывает 24 самолета. "!испо самолетов, ожндшощнх дозаправки в воздухе, ничем не ограничено. Определить вероятность Р,а, того, что самолет будет дозаправлен, и другие характеристики этой системы: среднее число занятых дозаправщнков и; вероятность занятости произвольно выбранного дозаправщнка Р„„; среднее время простоя дозаправщика )„~; среднее время «цикла работы» дозаправщика 7„, + 1„», Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
