Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Математическое ожидание случайной функции Х(г) по формуле полного математического ожидания равно ат = т„у+ О'(1 — 7) = уши Дисперсию найден через второй начальный момент: аа (Х (()» = аа» У» у + 0 (1 — у) = у (Р„+ тл,',), откуда Рн = а, (Х(г)» — т„'..= у (Р„+и,',) — уат„'=уР„+у(1 — у) лт,',. В данном случае случайная функция Х(() не центрирована. Ве корреляционную функцию будем искать через второй смешанный начальный момент: К„(г, с+т) = М (Х(г) Х(г+ г)» — шла. Найлем М [Х(1)Х(1+т)].
Будем его вычислять по формуле полного математического ожидания, Как и в предыдущей задаче, представим ось Ог покрытой перемежающимися участками: зачерненные соответствуют импульсам, а светлые— промежуткам между ниии. Обозначим Т вЂ” случайное значение левой границы участка (Т, Т+ т). Возможны три гипотезы: Н, †о точки Т и Т+т попали на участок одно~о и того же импульса; Нз †од из точек Т, Т + т попала на участок одного из импульсов, а другая †друго; На †хо бы одна из точек Т, Т+т попала вне участков каких-либо импульсов. Г!ри первой гипотезе величины Х(Т) и Х(Т+т) совпадают и М(Х(Т)Х(Т+т)»=М»и»=Р.+ „'. При второй гипотезе величины Х(Т) и Х(Т+т) представляют собой независимые случайные величины с одинаковыми математическими ожиданиями и„; по теореме умножения математических ожиданий М (Х(Т) Х(Т+т)» =гл».
При третьей гипотезе М ~Х(Т) Х(Т+т)~ О. Полное математическое ожидание будет М (Х(1) Х (1+ т)~ = Р (Н ) (О„+ гн„') + Р (Н ) т„'. Вероятности Р (Н ) и Р(Н,), а значит, и корреляционная функция зависят только от т. 1) при О( т ( у Р(Нт)=у — т, Р(Н,)=0; М !Х(г) Х(с+ т)1= (7 — т) (И„+ е„?. Корреляционная функция на атом интервале ив (т) (7 т) Фи (Г гли) 7 2) при у~т(1 — у Р(Нт) =0; Р(Н ) =0; М (Х(1) Х(1+т) =О! н„(т) = 0 — у'т„' = — 7вльь! 3) при 1 — у(т .1 Р(Н,) =О; Р(Нз) =у — (1 М (Х (1) Х ((+ т)) = (7 — (1 — т)) лг„'! /г (т) =- (у — 1 + т) лг,', — уелг„' = (у — 1 + т — уз) гн„'. Дальнейшие интервалы значений т исследуются аналогичным образом.
Рнс. 9.32б. График функции й, (т) представлен на рис. 9.326. 1 При (т( ) — кривая й„(т) периодически повторяется, По формуле для математического ожидания функции от случайной иелнчнны 1 имеем при л (т < а+ 1: с М(Х(1) Х(1+тЦ= (' Х(1) Х(1+т) 1 21= О х+1 т 1 1 г(г+т — л) И+ 1 1(1+т — — 1) с(1= о хсс т т)з т л 2 ' 2 6 (и = О, 1-1, 1-2...,). Отсюда следует, что коррелчцнонная функция зависит только от т и при п(т < л+1 (и=О, ~ 1, -~ 2,...) сшеет вид К„(1, 1+т) = Ах (т) =- М (Х(т) Х (1+т)1 — т„-'= (а+! — т)', т — са 5 2 ' 2 12' Это периодическая функция с периодом 1, график которой состоит нз периодически повторяющихся отрезков парабол, обре!ценных выпуклостью вниз. В интервале О -'т < 1 это парабола (1 — т)а т 5 и (т) = —,+ х 2 2 12 с'1 1 с вершиной в точке ( —, — ~.
Полагая т=О, получим (,2 ' 2ау' — () —— отсюда Е (т) = Х (1) У (И) = Х Ю У (1) 300 9.34. рассматриваются две некоррелированные центрированные случайные функции Х(1), )х(1) и их произведение т(1) =-Х(1) г'(г). сТоказать, что корреляционная функция произведения равна пронзведениго корреляционных функпий сомножителей: К,(1 !')=К„(г г)К (т т) Решен е, Кх(1рк)=М Ф(1) Е(1 )11 ЯФ Х(У) — лс (1).
Так как случайные фуюсцпн Х(1) и г'(1) нв коррелированы и центрированы, то лс,(1) =тх(1) т (1) =О; К,(», »') М (Х(») У(»)Х(»') У(»')1= М (Х(») Х(»') ( М (у (») 1'(»')) = К„(», »') К (», »'). Отсюда, в частности, при»=»' п,(») = в„(»')и (»). 9.35. Доказать, что корреляционная функция произведения а независимых центрированных случайных функций Л(») =П Х, (») равна произведению корреляционных функций сомножителей К,(», » )='ПК„.,(», »'). 3'=1 Р е ш е н и е. Доказательство аналогично предыдущему, с той разницей, что для применения теоремы умножения математических ожиданий в атом случае недостаточно иекоррелированности сомножителей, а независимости †достаточно.
9.36. Рассматривается произведение двух некоррелированных случайных функций ! Л (») = Х (») У (»), причем случайная функция Х(») такая, как в задаче 9.21 (случайное чередование значений + 1 и — 1 с простейшим потоком перемен знаков), а случайная функция г'(») †так, как в задаче 9.26. Найти характеристики случайной функц г (»). Решение. Имеем: Яь (»)»ву (») 0; лт~ (») = 01 К.(», »')= -"~ ~; К,(», »)= 'й-совы,т (.=» — »). На основании задачи 9.34 имеем К (», »') = К„(», »') К (», »') = — е-ай ~1 соз ыд'т.
На рис. 9.36 показана одна нз возможных реализаций случайной функции Е(1), полученная перемножением соответствующих ординат реализаций случайных функций Х(1) и т'(1). Рвс, 9.36. 9.37. На телефонную станцию поступает простейший поток заявок с плотностью Х. Случайная функция Х (()— число заявок, поступившее за время 1 (см. задачу 9.20). кх (О Найти характеристики ее производной У(1) = Ф Р е ш е н не. В обычном смысле разрывная случайная функция Х (т) не дифференцнруема, однако, пользуясь обобщенной дельта-функцией, можно записать характеристики производной. Преобразование У(() =, связывающее случайную лх (т) функцию У(1) с Х(1), является линейным однородным.
Поэтому на основе задачи 9.20 ш „(() = — „и„(() = — И = "л; У( ' ) д~д~' ио (1 — ~') б(2 — ~') О, откуда йу(~' ~ )= ! (,) ! И вЂ” у'))=Н6 — !')=И(т) ° д Таким образом, корреляционная функция случайной функции у(!) пропорциональна дельта-функции, т. е. функция Г(!) представляет собой стационарный белый шум с интенсивностью Ст=). и средним уровнем т = Х, Спектральная плотность такого белого шума будет Ф я;(ы) = ~~ Хб(т) е-антс(т = ! Р Л 2л н " 2п ' 9.38:::.
Имеется функция /г„(т), обладающая следующилш свойствачп: 1) Фх ( — т) = А„(т); 2) Ф,(0)) 0; 3) (Угх (т) (<)с„(0). Треоуется выяснить, может ли функция й„(т) быть корреляционной функцией стационарной случайной функции, т. е. обладает ли она свойством положительной определенности, !1оказать, что достаточным условием полоакительной определенности является условие, чтобы функция 5'к(ы) = ) )аа (т) соз ыт ~й 2 Г (9.38а) о была неотрицательна при любом значении вк Ю„(ы) ) О, (9.38б) т. е.
чтобы, вычисляя спектральную плотность по формуле 9.38а, мы ни нри каких с» не получали отрицательных значений этой плотности. Р е ш е н и е. Предположим, что Я„(се))0, в докажем, что при этом функция )а (т) = А„(1' — 1) будет положительно определенной. Имеем и (т) = ) Ь (63) соя свт лсо = ч О =- ~ Я„(св) соз саг соа Ы'сйо+ ) 8„(ю) з!п в1 з!и от!'Ао. (9 38в) а ь Положительная определенность функции А„(1' — г) состоит в том, что для л>обой функции ф(г) и любой области интегрирования В должно выполняться условие ] ~ й„(г' — г)р(() р(г') а а'~о. <в> <в> Проверим зто неравенство по отношению к функции (9.38в): ~ ~В„(а) сова('сова('(р(Г)(р(В) ((ать (в) <в) < о -,'- ~ Я„(а) з(п а(' з>п е)>'(р (Ф) <р ((') (йа л<г' ((г' = о = ~Я„(а) ~ ~ сов акр(() Л ') сова('(р(В) Ж'-( о <<в) <в> + '] з!пайр(() ((Г) з!паг'(р(г')((г' ((а.
<в) <в> Обозначая ~сов айр(>)((Г= ф„(В, а), ~апайр(Ф)((Г=<р,(В, а), (в) (в) имеем ( ( >(„(1 — Г')(р (г)(р(<') (<г'Ш' = <в> <в> = ) Я„(а) ((<р (В, <о)]'-(- ((р (В, а)]в) Ьо)<), в так как по условию Я„(а) г-О. Можно доказать, что условие (9.38б) является не только достаточным, но и необходимым для того, чтобы корреляционная функция была положительно определенной.
9.39. Имеется стационарная случайная функция с характеристиками т„(Г) л>; К„(г', В)=й,(т), где т=г' — й Найти характеристики ее производной у'(() = — Х(т) и по- Ф казать, что она также стационарна. 304 Решение. Так как У(т) связано с Х(т) линейным однородным преобразованием, то тл,, (г) — лт„(г) = 0 = сопзй и дГ дб д' д Г д =- —,/г (т) — ~ —,д (т)1 деде е де ~ дг х Но —,=1 и — = — 1 поэтому дт дт дГ' де д Гд д2 Кг((~ ) д1 ~д е(')) д т е(т) дГ дтт х( ) Так как правая часть равенства зависит только от т, то а2 Кт(т, К) =йт(т) = — — „, Ае(т), и сл> чайная функция т'(г) стационарна.
9.40. Стационарная случайная функция Х (т) имеет корреляционную функцию )е„(т). Случайная функция г'(г) получается из нее дифференцированием: У(т) = — . Найти дИ (г) де корреляционную функцию йт(т), если: а) )е ( т) = е-" ('~; б) л„(т) = е-" кц (1 -~- а ! т ~); в) л (т) = е-' ~т~ ( соз рт -~г — з!и р ( т ( ) (сс ) О). Р е ш е н н е. При решении задачи мы будем пользоваться аппаратом обобщенных функций, правила пользования которыми приведены в на сале данной главы. а) /г (т)= — — е епц= — — ~ — ае а,:т, =-а ~ — ие-а ~т~ — ) -г- — е-" ~т~~ Г д )т) т 2 дт т ' дте = ае-е ~т) 126 (т) и ( з(ип т)Я1 30$ Наличие слагаемого 2б (т) покззывает, что и составе случайной функции г"(1) есть белый шум.
«!г б) )гг(т) = — —,(е- !'1(1+а!т!)1= втг — ае-а!г! (1 г а!т!) ! а е-а!г!~ г! ! в !т! «!!т! — лт ~ лт ~й аз (е-а !г з!ггп т,)т)) с«г (е-а !г, т) ««т е'г =аг ~е-гг!г! — ае-г!г;т" ~ ае- ! .(1 а~т!) «1!т!1 в) )г (т) = — е-" ' " ! соз рт-)- — з!п 1! ~ т ) ) = Етг и , 1 ««)т! =- — — ~ — ае ь г!' соз рт-)- — з!и р! т)) — + «!т + е -" ! ' ! ( — (1 3! и «) т -'- а соз )) ) т ) И!т!т !т )— «! ! аг рг Й: = — — — [ — з!п )!те-" !'! — — ', аз+ рг з!г, Ф)Ц 1г соз рте-""! — аз!и рте-"!г! — ~ = = (аз -,— ()г) е-" !' ! ( соз рт — ~ з!и () ! т ) ~ )! 9.41. Найти спе!«тральнуго плотность стационарной случайной функции с корреляционной функцией: !г (т) = ае-" ! ' ! (26 (т) — а (з!пп т)г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
