Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 37
Текст из файла (страница 37)
где О-ь= — ыю йтв = (Ев (у=1, 2, ...). Спектральной плотностью стапионарной случайной функции Х (Е) называется предел отношения дисперсии, прнкодященся на данный интервал частот, к длине этого интервала, когда последняя стремится к нулю, Спектральная плотность 5х(ю) и корреляционная функция йх(т) связаны преобразованиями Фурье. В действительной форме они имеют вид 2 Г 5 (ю) — ) йх(т) сов юг»Е», ь из последнего соотношения вытекает, что х Вх йх (й) ) 5х (ю) ~ю.
ь В комплексной форме преобразования Фурье, связывающие спектральную плотность 5 (ю) н корреляпионную функцню, имеют вид 2 ) "х(т где 5„(ы) = — 5 . (ю). 1 Как 5х (ы), так и 5„(ю), — действительные, неотрицатеяьные четные функции, но 5х (ы) рассматривается только в интервале (О, »о). Нормированной спектральной плотностью вх(ю), з„(ю) называется спектральная плотность, деленная на дисперсию случайной функции З()х,()х 5х (ы) * 5.» (ю) Белым и»умом называется случайная функция Х (Е), любые два различные (сколь угодно близкие) сечения которой не коррелированы и корреляционная функция которой пропорциональна дельта- функции: К (Е, Е') = О (Е) б Š— Е' .
х ( ) Величина 6(Е) называется интенсивностью белого шума. Стаиионарным белым шумом называется белый шум с постоянной интенсивностью 6 (Е) = б = сои з1. Корреляционная функция стационарного белого шума имеет вид й, (т) Об (т), откуда его спектральная плотность постоянна и равна О 8 (ю) з Дисперсия стационарного белого шума равна 0„=66(0), т. е. бесконечна.
Если на вход стационарной линейной системы Е поступает ста. ционарная случайная функция Х (Г), то спустя некоторое время, достаточное для затухания переходного процесса, случайная функ- ция У (1) на выходе линейной системы также будет стационарной. Спектральные плотности входного и выходного сигналов связаны соотношением б„(ы) = 5„(м) ) Ф (гю) ), где Ф (гы) †амплитуд-частотная характеристика линейной системы. Говорят, что стационарная функция Х (1) обладает зргодическиж свойством, если ее характеристики (т„, й„(т)) могут быть опреде- лены как соответствующие средние по времени для одной реализа. ции достаточно большой продолжительности.
Достаточным условием зргоднчности стационарной случайной функции (по математическому ожнданию) является стремление к нулю ее корреляционной функции при т — ~ ем 11ш /г„(т) =О. Для того чтобы случайная функция Х(1) была зргодична по дисперсии 1)л, достаточно, чтобы случайнаяфуякция У(1)=(Х(1))' обладала аналогичным свойством, т. е. при тч-че: 11ш й,(с) =0 *). т-~ О При решении аадач, связанных со случайныыи функциями, часто бывает удобно выполнять преобразования с помощью различ- ных скачкообразных функций, а также обобщенных функций типа дельта-функции. Приводим определения и основные свойства таких функций от действительного аргумента т.
1. )т) †моду (абсолютная величина); т прн т ) О, — тири т<0. 2, 1(т) — единичная функция (единичиый скачок). 1 при т>0, 1 1 (т) = — при т= О, 0 при т<0. *) Для того чтобы случайная функция была зргодична по корреляционной функции, нужно, чтобы аналогичным свойством обладала функция 2(1, г)=Х(1) Х(1+т). 269 3. з)опт — знак величины т (сигнум): 1 при т>0, з]йпт 0 при т О, — ]при т<О.
4. 6 (т) — дельта-функция; 6 ( с) = — 1 (т). д йт 11. 1(т)= ~ 6(т) бт = — ~ б(з1йпт)! 1 Р = 2,) 12. Для нечетных положительных й (з!йпт)а=з!йпт. Для четныя положительных й (зпйп 'т) = ( 18. ]т! ( — !,"! ]- ]ъ ,(Ы!т!)з+' 1 при тза О, 0 при т=О; !' при з нечетном и й четном, при з нечетном и й нечетном, при з четном и й четном, ]т'-' при з четном и й нечетном! 270 Дельта-функция — четная функция т. Основные свойства дель- та-функции: а) тб(с)=0 и вообще ~р(т)6(т)=-0, функция, непрерывная при т=О.
е+е б) ~ ф(т) 6(т) бт=ф(0), если функция ф(1) непрерывна в о-е з з+з ! точке т=О(в > 0), ~ ф(т)6(т)бт= ~ ф(т) 6(т)бт —,р(О), 2 з-е о если функция ф (т) непрерывна в точке т=-О. Из этих определений вытекают следующие свойства, имеющие место для любых действительных т и нечетной функции ф (1): 1, ]т]=тз!йпт; 2. т=]т]з]йп с; 3, ф(т) ~р(]с!)з]йп с; 4. ~р(! т!)=<р(т) з!йп т; 5. ~рз(! т !)=~рз(т); б, з!би т=21 (т) — 1; 7. 1(с); 8. ]т]=т(21(т) — !]; 9. — з!йпт; з!йп т+1 Н]т! 2 с(т )4 ~~ о) т) ~ ) т)т~ ' при й нечетном, йт / ) тх при и четном; И. Ч'() т)) ( — ) = г д)т(ча ат (<р'(т)) при в нечетном и л четном, л) т) ')~+' <р'(т) л а нечетном н а нечетном, / ~рт(т) прн а четном н и четном, =~'(т) ( ~р() г)) ~р1 ~ (т) при ° четном н х нечетном; (' дй~т) '(~ ) ~р'(т) при и четном, йт,/ ( <р()т))~р' '(т) прн л нечетном.
9.1. Случайная функция Х(г) в каждом сечении представляет собой непрерывную случайную величину с плотностью распределения у'(х, г). Написать выражения для математического ожидания т„(1) и дисперсии В„(г) случайной функции Х(1). О т в е т. О лг„(1) = ) х,г(х, г) г(х; 1Э„(() = ~ (х — лг (г)')яу(х, 1) Их. — ч 9.2. Случайная функция Х(1) представляет собой случайну1о величину Х (У) = У, где Ь' †непрерывн случайная величина с плотностью распределения гр(п). а) Написать выражение одномерного закона (плотности) распределения у(х, г) случайной функции Х (1).
6) Найти математическое ожидание е„(~) и дисперсию О„(г) случайной функции Х(~). в) Написать выражение двумерной функции распределения Г(хы х, гы 14) двух сечений Х(у ), Х(1 ) случайной функции Х(г). Ответ. а) у'(х, У) = — ~р(х); б) лг„(~) = ) юр(х) дх=лтю О„(у) = ) (х — лг,)т~р(х) дх = Еу~; в) г. (хм х, 1„г,) = = Р ((Х (Г ) < х ) (Х (Г ) < х )) = Р (($' < х ) ((г < х )). Если х (х„то из Тх(хд следует УС х„и Р ((УСхт) ()г(х,))-. ю =Р ()г < х,) = ~ <р (х) г(х. Следовательно, Ф ') ~р(х) Нх=)ч(х ) при х (хз, Ь'(хы х„Уы 1,)= ~ ~р(х)~(х=Е(хз) при хз(хы х где Г(х) = ~ гр(о) г(о — функция распределения величины (г. 9.3. Случайная функция Х (1) задана в виде Х(~) = )чт — , 'Ь„ где У вЂ случайн величина, распределенная по нормальному закону с параметрами т„ а, Ь вЂ” не случайная величина. Найти плотность распределения Г"(х, Ь) сечения случайной функции Х(1) и ее характеристики ж„(1), Е2„(1), К„(г, 1').
О т в е т. у (х, Ь) — нормальный закон с параметрамн гл,~+Ь; )1(о,: 1к - (т Ы-~-Ю 1" у(х, 1)= е (Г)а )/2и лг„(г) =лг„1+Ь; Е),(1) = ген'„; К„(1, 1') =а,'й'. 9.4. Показать, что любая функция двух аргументов вида л Х )~бР; (~) Р; (~'), (9.4) где О~ †неотрицательн числа, грг(1) †люб действительные функции (( = 1...,, л), обладает всеми свойствами корреляционной функции. Р е ш е н и е. Достаточно показать, что существует случайная функция Х(1), имеющая корреляционную функцию(9.4). Рассмотрим действительную случайную функцию Х(1), заданную в виде канонического разложения л х (~) = и„ (т) + Х ) л, (г), гле 0 (1';] =Во Корреляционная функция втой случайной функции имеет вид и К„(г, г') = ~ч",пгниг (1) фг(1'), что и требовалось доказать, 9.5.
Случайная функция Х(1) имеет характеристики лг„(1) = 1 и К„(1, 1') = е' ы+'1. Определить характеристики случайной функции 1'(У) = 7 + 1. Определить, являются дх (г) Л ли стационарными случайные функции Х(7) и 1" (7). ггх Р е ш е н и е. В силу линейности преобразования 1 — + 1 ггг лг (1) =1 — лг„(1) +1 = 1. К (1, 1') = 11 — „, К„(1, 1') = Ы'гх'ечг'+' г. да дГ ГгзГ' Нн одна нз случайных функций Х(7) и г'(1) не является стационарной, так как их корреляционные функции зависят не только от т= 1' — 1, но от каждого из аргументов Г, 1'. 9.6. Случайнав функция Х (1) имеет характеристики: 1 гл~ (г) 01 К» (1 1 ) 1 ) (г г)я Найти характеристики случайной функции У (7) = ~ Х (1) 71. а Определить, стационарны ли случайные функции Х(7) н 1 Н). Решение.
В силу линейности преобразования ) Х(Ц гГГ о ш,(7) =~ш„(1) 77=О, о сг(~ о =) ж ) кр, о и = ) (),,',~' „,) а- 0 О о я г = ~ (агс)и (Ф' — 1) — агс1я ( — 7Ц И 2 !+(à — Г')Я =1 агс191+1' агс1и К вЂ” (1 — 1')агсГя(Ф вЂ” М') — 1п (1 1 Га) (1 ) Г г) 273 Случайная функция Х(1) стационарна (К„(1, Е) с ° л„( — 1))1 случайная функция г'(1) = ) Х(1) И не стао ционарна. Действительно, дисперсия случайной функции Е) (1) равна О (1) =К (1, т) = 21агсгй 1 — 1п(1+Р), т.
е. зависит от 1. 9.7. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию суммы двух некоррелированных случайных функций Х(1) и г"(1) с характеристиками гв„(1) = 1; Кн (~, Е) = В'1 лт (г) = — г; К (1, 1 ) =й е'"нч г). О т в е т. Е (1) = Х (1) + Г(Г); лг, (~) = и (1) «гл (1) =г — С=о; К,(К,)')=К„(~, Е)+К (Г', Е)=А (1«.ей+ ) 9.8. Имеется комплекснав случайная функция х.(У) = = Х(г)-1-1У(1), где Х(1), У(Г) — некоррелнрованные случайные функции с характеристиками гл (Г) = та; К„(г, т') = е-ч~ и-гп; лг (г) = 1; К (г, К) = егмпч-г1. У ' У Найти характеристики случайной функции Е (1): лг, (1), К,(г, Е) и .0Ф(1). Ответ. гв,И)=Р-;ю'; К,(Г, Е)=е-ч "-гн+е'" и+г); В (1) =К (г, Г) =1+еа" '. 9.9. Траектория космического летательного аппарата в вертикальной плоскости изображается двумя уравнениями: Х(~) = АР+ Ву+ С, 1'(У) = ЕУа «- Е~ -1; Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
