Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Для того чтобы максимальная из величин Х, г' была меньше г, нужно, чтобы каждая из этих величин была меньше х: 6 (х) = Р ((Х < х) ( 1' < л)) = Г (х, г), где Р(х, у) = ) ') г" (х,у) е(х е(у. Таким образом, 0 (л) = ~ ~ у (х, у) е(х е(у. 231 Если Хт=)е=... =)н.=!., то получаем закон Эрланга (а — Г1-го норндкаг ). (),х)н ле т (х)= е- х=).Р (л — 1, Ек) (х > О), (а — 1) ! бн (х) — — 1)Р( — 1, ),х)е! о =-1 — ) ),Р(л — 1, )х) е!х= — 1 — Р(а — 1, ).х) (х > О], к Чтобы найти плотность распределения д(«), продифференцируем 0 («) по величине «, входящей в пределы двойного интеграла. Дифференцировать будем как сложную функцию двух переменных «, и «„из которых каждая зависит от «(«х = ««в = «)' н( х" («) = „= — < ') ~у(х,у)ду (гх1= ) г г = — — „1+ — „' = ~у(«,у) Фу+ ) у(х, «) дх.
дб (г) дг(, дб («) дгг В частном случае, если величины Х, г' независимы, у(х,у) —-- =,1;(х),1а(у), то 2 г 3'(«) =-Л(«) ~ .га(у)йу+у,(«) ( Л(х) дх, нли, более компактно, д(«) =.('1(«) Гз(«)+Уз(«) Гт(«). Если случайные величины Х и г' независимы и одинаково распределены [~' (х) =у, (х) =у(х)), то д'(«) =2у(«) Г(«).
8.33. Система двух случайных величин (Х, У) имеет плотность распределения у (х, у). Найти функцию распределения 0 (и) и плотность распределения и(и) У' минимальной из этих двух величин: Гг( (/=ш!п (Х, У). Р е ш е н и е. Будем искать дополнение до единицы функции рзспределения: а и 1 — 0 (и) = Р (У ) и) = =Р ((Х) и) (У) и)). Рнс.
8.33. Зто есть вероятность попадания слу- чайной точки (Х, У) в область О (и), заштрихованную на рис. 8.33. Очевидно, 1 — 0 (и) = 1 — Р (и, оо) — то (оо, и) + го(и, и), откуда 0 (и) = г". (и, оо) + г"'(оо, и) †«" (и, и) = = то (и) Ч- Р (и) †(и, и), 232 Дифференцируя по и, имеем (см.
задачу 8,32) и Я К(и) =~д(и)+гя(и) — ~,г (и,у) с(у — ~ у(х, и) с(м. Б случае, когда величины Х и т' независимы, и л .К (и) =-у„(и) -,;- га (и) — у', (л) ~,г е (у) г)у — уя (и) ~,г, (х) Нх = =-У; (и) [! — Гя (и)) -Р~я (и) !1 — У'; (и)) Если случайные величины Х и У независимы п одинаково распределены [у (х) =-уе(х) =у(х)[, то А (и) = — 2У (и) [1 — тт (и)]. 8.34. Имеется л независимых случайных величин Х,, Х.„..., Х„, распределенных по законам с плотностями Л(лг) Л(хя) У.
(и.) Найти плотность распределения максиаюльной из них: К = тах [Х„Х„..., Х,) и минимальной: У= в!и [Х, Хе...,, Х„), т. е. той из случайных величин, которая в результате опыта примет максимальное (минимальное) значение. Р е гп е н и е. Обозначим О,(я) функцию распределения величины Х.
Имеем Ог ( ) =-- Р (Х < з) = П " (з)* где Рг(з) = ~ У;(х;)г(х; ()=1, 2, ..., л). Дифференцируя, получим сумму произведений производных отдельных функций распределения гт, (х,), г.а (х ),..., г"'„(х„) на произведения всех остальных функций, кроме той, которая продифференцирована. Результат мо~кно записать в виде йа(з)=..' „—,,) ПЮз) )т (а) l ~=1 Аналогично, обозначая 6„(и) функцию распределения величины У, получим л 0„(и) = 1 — Ц (! — Р;(и)~. Дифференцируя, почучпм л А'„(и) = ~~'~ 1,, Ц ~ ! — г;(и) !. ! — ь Г 1=! 8.35. Имеется п независимых случайных величин Х„ Х , ..., Хгн распределенных одинаково с плотностью у(х).
Найти закон распределения максимальной из ннх: 2 = шах (Х„Х„..., Х„') и минимальной: У': шпа (Хм Х Л Решение. На основании решения предыдущей задачи а, ( ) = г'" (з); Л, (з') = пГ" ' ( ) г" (х); 0„(и) = 1 — (! — Р (и) ~"; яа (и) .= и [1 — г (и))" ' г (и). 8.36. Производится три независимых выстрела по плоскости хОу; центр рассеивания совпадает с началом координат, рассеивание нормальное, круговое, и„= и, = и. Из трех точек попадания выбирается та, которая оказалась ближе всех к центру рассеивания. Найти закон распределения расстояния И ш от точки попадания до центра.
Решение. Имеем Р ы=-ш!п(Ип А'з гса) Из решения предыдущей задачи имеем К (г) =311 — Р(гизев(г), где г(г), у"(г) — функция распределения и плотность распрелелення расстояния й от точки попадания любого выстрела до центра рассеивания, ы г (г) = )з ()с ( г) = 1 — е у" (г) = —, е '"* (г ) О). Отсюда 3»' 3» (г) е во' йт!и о» Т' (~)=) е 'Л при Та(1я) = — )»,е ь" при )0; Ея> О. Р е ш е н и е. На основании решения задачи 8.33 дя(и) =-Т, (н) [1 — Ея(и)]+уя(и) [1 — Е,(н)] =- — хб» -х» ) — »»» -л,и (л Р) ) е Я +гп» т.
е. закон распределения минимальной из двух независимых случайных величин, распределенных по показательным законам, есть то»ке показательный закон, параметр которого равен сумме параметров исходных законов. Вывод нетрудно обобщить на любое число показательных законов. 8.38. В условиях предыдущей задачи найти закон распределения „,(з) максимальной из величин Т, Та. Р е ш с и и е. ь»»( ) =Л(~) я( ) ( У2(4)»»1Ф= -х», ) — х»»,), )» ь +х ~» те т яе» вЂ” (, п,)е (з ) О). Этот закон показательным не является. При ).,=)а=-).
,(»»(з) ==2Хе х»(1 — е ~') (а> О), 8.3У:. Над случайной величиной Х, имеющей плотность распределения Т(х), производится л независимых опыгов; наблюденные значения располагаются в порядке возрастания; получается ряд случайных величин Еы х'„ ..., Еа, ..., Е„. т. е. плотность распределения расстояния от ближайшей из трех точек до центра рассеивания имеет тот же вид, что и для каждой из них, ио при условии, что параметр и уменьшен в ]ТЗ раз, т. е.
заменен значением и' = = . 8.37. Найти закон распределения д»(и) минимальной из двух независимых случайных величин Т, Та, распределенных по показательным законам; Рассматривается д-я из них Х„. Найти ее функцию распределения 0„(г) и плотность распределения йа(х). Решение. Оь (х) = Р (х,в < в). Для того чтобы А-я (в порядке возрастания) из случайных величин Ем Хю ..., л„... „Е„была меньше х, нужно, чтобы не менее А пз них были меньше ас Оь(а) = ~ )э, н=ь где Р†вероятнос того, что ровно т из набщоденных и л опытах значений случайной величины Х будут меньше г. По теореме о повторении опытов Р„=- С,'[Г(з)]" [! — Г(з)[" откуда Сь(.) =- ~л С.
[Г(.)[-[1-Г(д)[ --, и=а где Плотность распределения дь(в) можно найти, дифференпнруя это выражение и учитывая, по С,'," (п — гл) ==лС'„", (т ( л). После простых преобразований получим ла(в) =лС» [Г(г) [Г(з)[ь г [1 — Е(а)~" ь. Однако гораздо проще получить да (а) непосредственно, с помощью следующего простого рассуждения. Элемент вероятности дь(в) ах приближенно предсгавляет собой вероятность попадания случайной величины Л„ (и-го в порядке возрастания значения случайной величины Х) на участок (х, з+Ж), Для того чтобы это произошло, нужно, чтобы совместилнсь следующие событию 1) какое-то из значений случайной величины Х попало па интервал (в, х + г(в); 2) ()г — 1) других каких-то значений оказались меньше г; 3) (и — и) остальных значений оказались больше х (вероятностью попадания более чем одного значения на элементарный участок (з, г + г(л) пренебрегаем).
Вероятность каждой такой комбинации событий равна г" (я) где(г". (е))о д (1 — г". (я))о ". Число комбинаций равно произведению числа п способов, какими можно выбрать одно значение нз и, чтобы поместить его на интервал (е, я+г(е), на число Со, способов, какими из оставшихся п — 1 значений можно выбрать й — 1, чтобы поместить их левее а. Следовательно, уо (з) г(з = — пСоо:дд У(з) ~Р(е)]о д (1 — г' (з))до о гте, откуда ~о(е) = пС„":дд~(е) [Р'(е)1о ' ~1 — Р(з)1о о. 8.40. В электропечи установлено четыре регулятора(термонары), каждый из которых показывает температуру с некоторой ошибкой, распределенной по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и среднал~ квадратическим отклонением оп Происходит нагревание печи. В момент, когда две нз четырех термопар покажут температуру не ниже критической т„ печь автоматически отключается.
Найти плотность распределения температуры Л, при которой будет происходить отключение печи. Р е ш е и и е, Температура Е, при которой происходит отключение печи, представляет собой второе в порядке убывания (т. е. третье в порялке возрастания) из четырех значений случайной величины Т, распределенной по нормальному закону с центром рассеивания то и средним квадратическим отклонением пг: П вЂ” оп* /(1) = е од 'г' 2 г Соответствующая функция распределения х (о) о)у» (~ то) Пользуясь результатами предыдущей задачи при п = 4, й = 3, получим гг — топ д. (() = е оог ~фо ( то )1 ~1 «1до (~ то )] 8.41. Имеется и независимых случайных величин Хд, Хо, ..., Х„, функции распределения которых имеют внд 237 степенной зависимости: 0 при х(0, Г;(х,) = — х1'1 при 0 < х;(1, (1'=1,2...,, л).
! при х,)1 Наблюдается значение каждой нз случайных величин и из них выбирается максимальное Е. Найман функцию распределения 6 (л) втой случайной величины. Р е ш е н и е. На основании решения задачи 8.34 л л 6(з) =П Р;(а) =Пзо1 при О <а(1 о — 1 нлн, если обозначить а ~~Р ~/11п 0 при 6(х) =- яь при 1 прн л 'О, 0<я 1, я) 1, Р (х + х = т) = ~ Р (х1 — — А) Р (х тл — А) = о=о а а х ао ао а, е а,1 аЫа а1 (Ло — Л) 1 а=о 238 т.
е. максимум нескольких случайных величин, распределенных по степенному закону в интервале (О, 1), также распределен по степенному закону с показателем степени, равным сумме показателей степеней отдельных законов. 8.42. Дискретные случайные величины Хт, Х„ ..., Хл независимы и распределены по законам Пуассона с параметрами а„ ао, ..., ал. Показать, что их сумма У= ~ Хг 1=1 также подчинена закону Пуассона с параметром а =-~ ап 1-1 Ре ш е н ие. Докажем сначала, что сумма двух случайных величин Х1 и Х подчинена закону Пуассона, для чего найдем вероятность того, что Х1 + Хо = т (11 = О, 1, 2, ...). гл! учитывая, что С„", = ', представнм это выражение в виде е ' +"' '~" Са а гн-а (аг+аг] ы+а г и! С.~ иа,а, и. е з, 1=о а это есть распределенпе Пуассона с параметром аг -)- а,, Такнн образом доказано, что сумма двух независимых случайных величин, подчннепных законам Пуассона, тоже подчиняется закону Пуассона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
