Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Й = ~ + ~ ='Р (Йл )ря)' л 2 т †~р(т,, т, ) = ' = 450 [ом]. 900 900 1 900 о,=о,= —.— =3 [ом]; 8 ИЮ (дгл )м ~(гл+гл)'1м 4 ' (дгл )м (дг, ~м 4 ' я 0 Я = ~~~~ ( — ) о„== — [омг]; о, 1,06 [ом]. ~ ду лл л 9 (,дг;лм ' 8 Прп этом максимальная ошибка будет 3,2 ом, что составляет 0,7 ео (а ие 1ао, как было первоначально) от номинала. 7.73. Резонансная частота колебательного контура определяется из выражения 1 2иргЕС где Х вЂ индуктивнос контура, С в емкость контура.
Определить приближенно среднее значение резонансной частоты контура и ее среднее квадратическое отклонение, если т, = 50 [мк гн]; т, = 200 [пф]; а, = 0,5 [,ин гн] и от =- = 1,5 [пф]. Решение. тг = =1,59 [мггп]. 2п )'т,пь, (- = д~„1 1 =т, д1 )н1 2и) тс р т" 2 Я 2т~ (-)=. —, -= —, д4) дг/ и 2пу'т угтл.2 Я 2т с с л = т,' ° — (0,01'+0,0075').=та ( — ) ° 1О ', ог =- лц ° — ' ° 1О ~=1,0 ° 1О [мг ги], ~то составляет 0,62',а ол номинальной частоты.
208 7.74*. Доказать, что если Х„Х„..., Хи независимы, положительны н одинаково распределены, то и1д х1фх~ =-'. Решение. Так как все величины Х,, Хе.. Хм положительны, то в знаменателе никогда нс стоит нуль. Г!о теореме сложения математических ожиданий имеем и 1 л х, ~ л х1 - л м 1хг1 д л 1 . Так как все величины Х,, Хги ...,Х„ распреледсны олинаково, то м 1х 1' ~ х ~ = и ~х. ~ Х х 1 при любых Г и тл. Обозначим сс пх общее значение: 11:=. 1, 2, ..., л.1. Вместе с тем ясно, что сумма м [л х ~2х1== л и 1х ~ л х1 = В Заменяя выражение, с|овцее под знаком математического и 1 ожидания, через сх, имеем х„а= — лег=-1, откуда а =- —.
Слег= г ловательно, Рй 2', Хц~ ..' Л; =- ~ М Х,,' ~ Х. = ~ ' ..= ', ~то и требовалось доказать. м '1х, ( л х,1— равна единице, следовательно, тоже равно единице: всех величин вида Х;~~ ~Хт 1= 1 и матемаышеское о киданпе ее ГЛАВА 8 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Если Х вЂ” непрерывная случайная величина с плотностью распределения |(х), а случайная величина )' связана с иеюфункциональной зависимостью у= р(х), где гр — дифференцируемая функция, монотонная на всем учасысе возможных значений аргумента Х, то плотность распределения случайны) величины г выражается формулой а(у) =|(ф (у)) (ф' КЛ) где ф — функцня, обратная по отноюению к ~р.
Если гр — функция неменатонная, то обратная функции неодио. значна, н плотность распределения случайной величины определяется в виде суммы стольких слаггемых, сколько значений (при данному) имеет обратная функция: а (у) = ~~р ) (Ф (у))( Ф (у) ) где ф, (у), фг(у], ..., фг(у) — значения обратной функции для данного у. Для функции нескольких случайных величин удобнее искать не плотность распределения, а функцию распределения. В частности, для функции двух аргументов л= р(х, у) функция распределения вычисляется по формуле 6 (г) ( ( | (х, у) бх бу, о (г) где |(х, у) — плотность распределения системы (Х, 1'); (г(г) — область на плоскости хОу, для которой ф(х, у) < г.
210 Плотность распределении у (г) определяется дифференцированием 6 (г): у (г) = б' (г). Плотность распределения суммы двух случайных величин г=х+у выражается любой из формул м % у (г) = ~ ((х, г — х) йх, у(г) = ~ ((г — у,у) йу, где г(х, у) — плотность распределения системы (Х, )'), В частности, когда случайные величины Х, г' независимы, ) (х, у) = )л (х] (з (у), то м у (г) = ) )л(х) Г,(г — х) йх или у(г)= ~ ( ( — у)(л(у)йу В этом случае закон распределения суммы у(г) называегся композицией законов распрйдрления слагаемых )л (х), )з(у). Если случайные велнчнны, поййиненные нормальному закону, подвергать любому линейному преобразованию, то будут получаться снова случайные величины, распределенные нормально.
В частности, если слуйайная величина Х распределена нор. мально с йараметрами т„, а„, то случайная величина у= х+ь (где а, Ь не случайны) распределена нормально е параметрами тн ат„+Ь; аэ ) а) ах. Прн композиции двух нормальных законов: гл(х) с параметрами т„, а„и Гл (у] с параметрами т„, аа получается снова нормальный закон с параметрами )Т ° алг та+ тэ! ах При сложении двух нормально распределенных случайных величин Х, г' с параметрами т, а„, та, аа и коэффициентом корреляцви г „ получается случайная величина г, также распределенная нормально, с параметрами *лилл ил Линейная функция от нескольких независиллых норллально распределенных случайных величин Хл, Х,, ..., Х„ а г = ~~~~ аГХГ+Ь, Г л 211 гге а;, Ь вЂ” неслучайные коэффициенты, также имеет нормальный за- кон распределения с параметрами л ,Г и т, = ~я~~ ~а! т„, + Ь, о = 1 г' "~~ о! эо'„, е=1 !=э где т, о — параметры случайной величины Х; (1=1...,, и).
хг х; В случае, когда аргументы Х,, Х , ... „ Х„ коррелированы, закон распределения линейной функции остается нормальным, по с параметрами гпх= л~ огт + Ь, ! 1 г ° ,=-г г(! где 㠄— коэффициент корреляции величин Х;, Х (1=1, ..., н; ! т!) Композицией двух нормальных законов на плоскости называют закон распределения случайного вектора с составляющими Х=Х +Х,; 1' Ус+1'з где (Х„У,), (Хз, Уз) — случайвые векторы, некоррелированиые Прн композицйн двух нормальных законов иа плоскости получают снова нормальный закон с параметрами гпх=т +т; ту — — т, +т,; К. д =Кх д,+Кх д откуда гхонох, од,+гх,д,ох,оу.
г „= оход Прп проектировании случайной точки (Х, У), распределенной на плоскости по нормальному закону, на ось Ог, проходящую через центр рассеивания и составляющую угол а с осью Ох, получается случайная точка 2, распределенная по нормальному авиону с параметрамп т,=-т. сова+ту з1па, о,=)г о„'соэ'а+ох з)п'а+г„„о од э!и 2а. Характеристической функг!ией случайной величины Х называется функция й(!)=-М [еггх), где ! =- )г — 1 — мнимая единица. 212 1"!' !(х! 1~(~ Для дискретной случайной величины Х л я (() ~~ еихзр а=с где рь=Р(Х==хз) (а=1, ..., л).
Лля непрерывной случайной величины а(!) = ~ еп"')(х) ах, где г(х) — плотность распределения случайной величины Х. Отмеп1м, что д(0]=1 и ) я (!) ! ц1 для любого !. Плотность распределения,'(х) выражается через я(!) формулой ! Г' т(х) е пхк (Г) а! 2л,) О Если случавные величины Х и У связааы соотношением У=аХ, где а — неслучайный множвтель, то их характеристические функции связаны соотношением (!) =ь".. (а!) Если случайная величина У представляет собой сумму независимых случаичных величин л 1 = '~", Хы а=1 то ауй)=п Охх((), а=т т.
е. характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых. 8.1. Случайная величина Х распределена равномерно в интервале ( ††' †' ~ . Найти закон распределения слу- 2' 2/ чзйной величины У=з!пХ. Г еще ние. функция у=в!пш в интервале ( — — ' з и и'з 2' 2! монотонна, поэтому плотность распределения величины У' и<нксг быть найдена по формуле ;(у) ==-у(ф(у)) ~ф'(у) ~ Решение задачи располагаем в виде двух столбцов; слева будем писать обозначения функций, принятые в общем случае; справа †конкретн функции, соответству!ощие 213 — при х~~ — —, — ), 0 при х(( — —, ~) в лежат значения случайной величины г', определяется областью значений функции у=а!их для х Е ( — —, — ) "). 2' 2! 8.2.
Случайная величина Х распределена равномерно в интервале ( — — Л . Найти плотность распределения слу- 2' 2г' чайной вечичины Г=созХ. Решение. Функция у=созх немонотоина в интервале ( "-") — — — ) . Решение будем составлять аналогично преды- 2' 2/' дущему с той разницей, что в данном случае для любого у обратная функция будет иметь дна значения, Решение снова оформляем в виде двух столбцов 1 и и! — при х~( — —, — ) и 2 ' 2,.) *) В дальнейшем при решении аналогичных задач мы для сокрашения записи будем писать выражение плотности распределения только на участке, где она отлична ат нуля, подразумевая прн этом, что ане этого участка оаа равна нулю.
214 Ф данному примеру: у' (х) у= р(х) х=ф(у) ! ф'(у)! 1 ьь (у) = э(у) Вд у.(„р(,))(ф (,)( 0 Интервал ( — 1, 1], в котороь г" (х) у =гр(х) / ф (у) '( ф (у) !фд(у) (=! ф'Ы! К(у) =,'Е У(фг (у))! %(у)! у=з!пх х = агсз!пу 1 У" 1 врв 1 приуЕ ( — 1, 1), при у~( — 1, 1) у== созх хд —— — агссозу хв = агссозу 1 Р 1 — ув 1, 1 в 1 р в 2 при у~(0, 1) ну 1 — у' Г у'(х) у =- ! 1 — х ( х,=1 — у х,=1+У 1 у'(х) у=ш(х) / Ьт(У) х=т ф () )фс(У)! !ф2(У)( Г(У) .—.,'Е У('Ф;(У))И)(У)! д(У)=.у(1 — У)+у(1+У) при У>О. 8.5. Круглое колесо, закрепленное в центре О (рнс. 8.о), приводится во вращение, которое затухает вследствие тре- ния. В результате фиксированная точка А на ободе колеса останавливается на А некоторой высоте гт' (положительной или отрицательной) относительно гори- у г зонтальной линни у — 1, проходящей Ю через центр колеса; высота Н зависит от случайного угла 8, при котором остановилось вращение.
Рве. Ннн Найти: а) закон распределения высоты Н; б) закон распределения расстояния Е) от точки А до прямой ! — т' (считая это расстояние всегда положитель- ным). Решение. гт'=гз1пО, где угол 6 — случайная величина, распределенная равномерно в интервале (О, 2п). Оче- видно, решение задачи не изменится, если считать слу- чайную величину !т распределенной равномерно в интер- вале ( ††, †' тогда Н является зюнотонной функ- 2' 2!' цией 9, 2!б 8.3.
Случайная величина Х распределена равномерно н л! в интервале ( ††, — ). Найти плотность распределения 2' 2)' случайной вел ичины г'= ( з(п Х ). Ответ. а(у)= прп у~(0, 1). 2 и р'~:Ня 8.4. Случайная величина Х имеет плотность распределения 1'(х). Найти плотность распределения случайной величины У=(! — Х(. Решение. Функция У=(1 — х) немонотонна.
Решение будем составлять так же, как в задаче 8.2 Плотность распределения величины Н: л (Ь) = при — г с.. Ь а, г. 1 )/1 ®' Плотность распределения величины В=)Н(: 2 ьа,(п) = при О с.е((г. ° ~/1 (и)' 8.6. Случайнзя величина Х распределена по закону Ре- лея с плотностью УФ У(х) = — е " при х О, ол ~ О прп х О. х е аа'-' (х ~ О) У(х) у е-х' г— х =-Р— 1пу 1 2У1г — 1и д !ее 2 е 2оеу а — аа' = — у 'а при О (у ( 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
