Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Для ликвидации возникшей неисправности (ремонта) тРебУетсЯ слУчайное вРемЯ Трзя1 это вРемЯ РаспРеделено по показательному закону: )ге-ш при 1 О, 0 прн 1(0. Времена ликвидации неисправностей независимы. Найти: а) средн1ою долю времени, которую прибор будет исправно работать и среднюю долю времени, которую он будет находиться в ремонте; б) средний интервал времени между двумя последовательными неисправностями. Решение. а) Среднее время исправной работы прибора (математическое ожидание времени, которое проработает прибор после пуска до остановки для ремонта) — 1 1испр с, ° Среднее время ремонта — 1 (реле им 1л а, которую прибор будет нс- Средняя доля времени правно работать: гисир а =- 1исп р+ 1рем л+и )+1л Аналогично средняя доля времени (), которую прибор будет находиться в ремонте: Л )л+ 1л Т, между двумя последова- б) Средний интервал времени тельнылш неисправностями 1 и (исллр+ ~реп ~+и + — =- —.
1л и1л 7.47. В пределы прямоугольника )т со сторонами а и сл (рнс 7 471 случайным образом бросается точка (Х, )'), все положения которой в прямоугольнике йс равновероятны. Строится прямоугольник йс'с верГ4 "7 шиной в точке (Х, )'). Найти а лр' математическое ожидание и дисперсию площади ЯЛ этого прямоугольннка. Решение. Выберем за на- чало координат левый нижний угол прямоугольника, а за оси координат †е нижнюю и левую стороны; тогда случайные величины Х, г" независимы, и Юи.
=ХГ. Поэтому У 4 аЬ 0(~и) =0ХА=*0«В +т«0,+те«О„= а'Ьо ао Ьо Ьо аз тазьз + — — + — — =— 12 12 4 12 4 12 !44 7.43. Случайная точка (Х, У) распределена на плоскости по нормальному закону с круговым рассеиванием: т,=т =О и п„=о =и. Случайная величина )«в †расстоян от точки (Х, 1') до центра рассеивания. Найти математическое ожидание и дисперсию величины Й. Р . «=о«'~~". »о «в ее» т„= М Я =~~ )» хо+уз — е 'о' в(ха»у. о Переходим к полярной системе координат (г, ор): т = ( г' †, е во'о(г ( Игр = о 1/ и ж 1,25о. ,1 У 2 о о .Ог = 0 Я = соз Я вЂ” т« = о «вез* 1 — ~ ~ (хо+уз) — е во* о)х о(у то 2а'и в г' — ' 1 з 1 ° " з" гз — е оо'озг ) ойр — оз — = 2ави ,) 2 =2о' ) 1е 'о(г — оз — =2о' — о' — =о'— 2 2 2 о 7.49.
Событие А состоит в выпадении ровно двух гербов при бросании трех монет. Опыт, состоящий в бросании трех монет, повторяется л раз. Найти математическое ожидание и дисперсию следующих случайных величин: Х вЂ” число появлений события А при л опытах; 1' †часто событня А при л опытах.
Р е ш е н не. Вероятность события А в одном опыте: М1Х~=пр= —; 01Х)=пр(1 — р)= —; За 15л 1 = —, МЯ= — = б, )»ч~У~= — Э~Х~ —— Х М1Х) 3 1 15 7.50. Из урны, в которой находятся два белых шара н три черных, вынимается сразу два шара, Найти м.о. и дисперсию числа появившихся при этом белых шаров а) непосредственно; б) пользуясь теоремами о математических ожиданиях и дисперсиях.
Р е ш е н и е. а) Обозначим Х вЂ” число появившихся белых шаров. Ряд распределения величины Х будет »; ,')О (! )2 рс ) 0,3)0,5 ~0,1 Математическое ожидание величины Х: т»=0 0,3+1 0,6+2 0,1=0,8= —, 4 2 Х вЂ” Х,+Х,, т»,— т,,— —, 4 — т» +т» а ° 5 О„=,О», + О», + 2К»,„,; 12„, = О„= — ° — =— момент сс,,» ~Х, ХД Находим К»,», через начальный Дисперсия величины Х: О = а, 1Х) — т,' = 1' 0,6+ 2' О, 1 — 0,8» = 0,36 = = .
б) Разделим мысленно опыт на два вынимания шара: первое и второе. Обозначим Х вЂ чис белых шаров при двух выниманиях; Х, †чис белых шаров при первом вынимании; Х, †чис белых шаров при втором вынимании; )11((ХхХа]. Построим таблицу распределения вероятностей для системы величин (Х, Ха) ~,, (х„х,] = м [х,х,] = =ОО ° — +01 ° — +1 О ° — +! 1 ° — =- —; з з з !О 10 !О 10 1О ' 3 К..., =х,. ]Х,, Х,] — т.,т., =- — —, Ок = .0х, + йк, + 2Кк,х, = ~~ 7.51. В урне а белых и Ь черных шаров.
Из урны вынимают сразу Ь шаров (А(а+Ь). Найти математическое ожидание и дисперсию числа вынутых белых шаров. Р е ш е и и е. Обозначим Х число вынутых белых шаров; Х=~ХО где Х; — число белых шаров, появившихся при Ь-и вынимании; Р(Х =О)= — Р(Х =1) = —. Ь а а+Ь' ' а+Ь ' а а гл ="~,лг,= ), х х~ а+Ь вЂ” а+Ь ~=к 1=1 Йля нахождения дисперсии хк„подсчитаем Вх., и Кхин а Ь аЬ ккх а+Ьа+Ь (а+Ь)к ' Находим Кх,.хл Йля етого, иак и в предыдущей задаче, строим таблицу распределения вероятностей для пары случайных величин Хп Ху. 187 Имеем К,,„= М ~Х;Х ~ — ю„,.щ,;1 М ~Х;Х~~ = 1 ° Р((Х; = 1) (Хт -— — 1)) =— а (а — 1) д» аЬ (а-]-Ь] (и+Ь вЂ” 1) (а+Ь]' (а-]-Ь)» (и+Ь вЂ” 1) Далее находим дисперсию случайной величины Х Ь = ~д~а 7У», ч 2 х~~~ К»мк ~=) 4(1 Так как дисперсии Е]»,. и корреляционные моменты К»м все одинаковы, то Б частном случае, когда вынимаются все шары (]1 = а +Ь), мы получаем естественный результат: 7.52.
Через произвольную точку А на окружности радиуса г случайным образом проводится хорда АВ (рис. 7.52], так что все ее направления одинаково вероитны. Найти среднее значение длины хорды. Р е ш е н и е. Выразим длину хорды У в зависимости от угла Ф, который составляет хорда с направлением радиуса в точке А. Из рис. 7.52 имеем Г = 2г сов Ф, где Ф вЂ случайн величина, которую мы будем считать распределенной равномерно в интервале (О; — 1, Тогда 2/' 2 чг гл = ( 2г сов ~р — йр= — 1 27г. У-,) и =и о 7.63.е Через произвольную точку А внутри круга радиуса г проводится хорда ВС (рис.
7.53). Все положения Рнс. 7.52. Рнс. 7.53. точки А в пределах круга одинаково вероятны. Все направления хорды ВС, характеризуемые углом Ф между нею н радиусом, направленным в точку А, также одинаково вероятны. Найти средн1ою длину хорды ВС. Решение. Длину хорды гг выразим через координаты точки А(Х, г') и угол Ф: 7у=2Уга — Н'= 2 1' г' — (Х'-)- уа) зш'Ф, где Н.= т' Х'+ г'ап Ф вЂ” перпендикуляр, опущенный из центра круга на хорду ВС. Так как точка (Х, г') равномерно распределена в круге К радиуса г, а угол Ф можно считать равномерно распределенным в интервале (О, †' ), причем точка (Х, г') и угол Ф независимы, то плотность распределения системы (Х, У, Ф) есть —— прн х -) уз с.га О ср( 2 у (х,у, р)- О при ха+уз)га или ~р((О, — ) .
2~ ' Поэтому глл = — „... ~ дФ ~ ~ 23гг* — (х'+уа) з)па~рдхс)у. Переходим к полярным координатам (р, о()): о ол тл —— —,, ~ о(ф ( о(ор ()~г' — р'ап'фр г(р= о о 8 г го (1 — сомо ф) 16г = — "Й~ — 1,70г. .гг' ) 3 апо ф Зл 7.54.* Найти среднее значение длины хорды ВС(рис. 7.54), провеленной через точку А внутри круга, находящуюся на расстоянии Е от центра круга радиуса г, причем все направления этой хорды одинаково вероятны.
С Р е ш е н и е. Хорда ВС выражается 4 7, следующим образом через величины Ю А Ф, г: ВС=2г у 1 — —,ап Ф. „ / !о го Рнс. 7,54. Если длину хорды ВС считать случай- нойвелнчиноИХ, то т = ~ — 2г 1г 1 — ( — ) апогр о(ф= — ~ )гг1 — )го ало фйр — У г л о о !. где 7о = — . г Полученный интеграл представляет собой полный эллиптический интеграл Е()1, — ~ с модулем !о; его значения момоно 2/ 1 найти в справочниках. Например, при Й =.
†, интеграл '2 Е( —, — ) =1,4675 и т ж 1,87г. /! из (2* 2) х Так как полный эллиптический интеграл Е (л, †, изме- ' 2) няется от — (при 7г = О) до 1 (при и = 1), то средняя длина 2 хорды ио„будет принимать значения от 2г (нрн го=О, т. е. 4 для точки А в центре круга) до — г (при Л=г, т. е.
для л точек А на окружности). 7.55.в Техническое устройство состоит из и узлов. Каждый узел может выходить из строя независимо от других. Время исправной работы 1-го узла распределено по показа- тельному закону с параметром )((: )((с-хк при у ) О, 0 при Ф (О. Каждый узел, оказавшийся неисправным, немедленно заменяется новым и поступает в ремонт. Ремонт ('-го узла продолжается случайное время, распределенное по показательному закону с параметром )х(: ( )((е ш( при 1) О, в(~)=' 0 при 1с0.
Устройство работает в течение времени т. Определить: ! а) математическое ожидание и дисперсию числа узлов, которые придется заменить; б) математическое ожидание суммарного времени Т, которое будет затрачено на ремонт вышедших из строя узлов. Решение. а) Обозначим Х( число узлов (что типа, вышедших нз строя за время т. Эта случайная величина распределена по закону Пуассона и имеет математическое ожидание и„,. = )((т и дисперсию Е)„ = )(т. Обозначим Х общее число узлов, вышедших из строя за время т. Иг(еем Так как величины Х; независимы, то О„=-~В„=т'~~) (.
б) Обозначим Т( общее время, затраченное на ремонт всех вышедших из строя за время т узлов ('-го типа. Оно представляет собой сумму времен, затраченных на ремонт каждого из узлов. Так как число этих узлов равно Хо то х1 Т(0 ~ Т(м+ ~ Т(хо ~Тол ь=г где Т, †случайн величина, распределенная по показа(й) тельному закону с параметром Р;; величины Т;, Т; (м (ю независимы. Найдем математическое ожидание случайной величины 7';; для этого сначала предположим, что случайная величина Хг 19! приняла определенное значение ят. При атом условии математическое ожнланив величяны Т, будет Умножив это условное математическое ожидание на вероятность Р того, что случайная величина Х; приняла значение т, и просуммировав все втн произведения, мы найдем полное (безусловное) математическое ожидание величины Т;: Применяя далее теорему сложения математических ожиданий, получим л 1 Т) Е р1 Заметим, что тот же результат можно получить путем слелующнх (не вполне строгих) рассуждений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
