Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 23
Текст из файла (страница 23)
З=т 1=1 если (х, у) — система дискретных случайных величин, распределение которой характеризуется вероятностями р,ур Р((Х=х~) (У=ру)), 155 а Х=ф (Х, )'), то математическое ожидание величины Л равно т,=.М [ф (Х, т')]=)~~~~ о(хь х;) рсь с рсия выражается любой из двух формул р(х, гЛ= - ~~Х [ф (хь ру) — т.]' рй = ~Х[ф(хь ру)]з ру — т', . с и Х вЂ” непрерывная случайкая величина с плотностью распредех), а х' — ф(Х), то математическое ожидание величины х равво т т„=М[<р(Х)]= ~ р(х)((х) дх, а дисперсия выражается любой пз двух формул Ва —— 0 [сР (Х][ ~ [<Р(х) — та]з [(х)бх= ~ [ф(х)]з ] (х) бх — тз.
Если (Х, У) — система непрерывных случайных величин с плот. ностыо [(х, р), а Л=ф(Х, У), то математическое ожидание вели. чины Е равно т, = М[и (Х, УЦ = Ц и (х, у) [ (х, у) Фх ор, в дисперсия выражается любой нз двух формул С 0а = 0 [<р (Х, У)] ~ ~ [~р (х, р) — лзз] [ (х, р) бх Ид Ф = ] ~ [ф(х, р)]з [(х, у) Ихней — п~з. Если (Х,, ..., Х„) — система и непрерывных случайнык величин с плотностью 1(х,, ..., ха), а )'=~р(Хт, ..., Х„), то математическое ожидание величвйы У равно лза М [ р (Хм ..., Х„Ц = = ~ ~ ...
~ ~р(х,, ..., х„) [(х„..., х„) охт ... Нх„, а дисперсия выражается любой из двух формул 0„=0[р(Х,, ..., Хан=- '] ~ ... ~ [ю(х,, ..., х„) — е„]з [(х,, ..., х„) бх, ... пт„= м =Ц вЂ” 1[.(" -" -)) [( .,")~х. Если с — не случайная величина, то М [с]=с; 0 [с[=0. Если с — не случайная величина, а Х вЂ случайн, то М [сХ]=с М [Х]; 0 [сХ]=сз0 [Х].
Теорема сложения математических ожиданий Математическое ожидание суммы случайных величии равно сумме их математических ожиданий: М [Х+У]=М [Х[-[-М [У]; и вообще а ! и М ~ ч', Хт~ - и; М [Х!]. !=1 г=т Математическое ожидание линейной функции нескольких случайных величин Г =,'Е а!Х!+Ь, где а! и Ь вЂ” не случайные коэффициенты, равно той же линейной функции от их ьжтематических ожиданий: Г л тг=М ~ ~к~~ ~агХг+Ь~ . ~а!тт+Ь, ! 1 !=т где т з=М [Хс] ((=1, ..., л).
Короче это правило можно записать так. М [!. (Хм Хз, ..., Хв)] Е (тх, т„, ..., тч ), где Š†линейн функция. Математическое ожидание произведения двум случайных величии Х, г' выражается формулой М [Х1'] = М [Х] М [г']+ К,, циониый момент величин Х, Г. Эту формулу в друписать так: Кх = М [ХУ] — т,ти что М [Хг]=а, т [Х, У], Кхг='хм т [Х 1'] — и!,лзэ ожеиия математических ожиданий е ожидание произведения двух иекоррелироваинык н Х, г" равно произведению их математическин М [ХУ] М [Х] М [У]. .. „Хв — независимые случайные величины, тр иванне йх произведения равно произведению мате.
ий м [П х~ -Д и ~х1. мы двух случайных величии выражается йюр- (У [Х+ У] =- О [Х]+ (У [У]+йК„,. 1бу Лисперсия суммм нескольких случайных величин выражаетсв форт мулой 0 ~;~~ Х,~ - ~ч„'Р„, +2~и, К„,„,, т=т ~=т !<У где К„„. †корреляционн момент случайных величин Хб ХГ. Теорема сложения дисперсий Дисперсия суммы двух некоррелированных случайных вели- чин Х, г' равна сумме их дисперсий 0 (Х -)- У) = 0 (Х) + 0 ('г'), и вообще, для некоррелированных случайных величин Хт, Х,, ..., Х„ Г о 1 л 0 ~ ~чР Х;~ - ~ч; 0(хг).
г=т г=т Дисперсия ливейной функции нескольких случайных величин 1'= ~~~ агХ;+Ь, 1=1 где ап Ь вЂ” не случайные величины, выражается формулой ч Л Р =0 ~ аг' а;Х;+Ь ~ = ~~ аз0(Х )+2 ~и~~ ~а ауК,„. з</ В случае, когда величины Х,, Х„ ..., Хл не коррелированы, Р,= 0 ~ х', агХ;+Ь ~ = ~~ , 'аз 0 (Х ). При сложении некоррелнрованиых случайных векторов их корреляционные моыенты складываются, т. е.
если то К„= К„„+К„ Функция ~р(Хм Хз, ..., Х„) нескольких случайных аргументов Хт, Х,, ..., Х„называется «почти линейной», если во всем диапазоне практически возможных значений аргументов оиа может быть с достаточной для практики точиосгью лииеаризоваиа (приближенно заменена линейной). Это означает, что где ( . ) — ' * " — частная производная фуик(,дх, )и дхт 158 пни ф(хы х„..., х,) по аргументу хн в которую вместо каждого аргумента подставлено его математическое ожидание. Математическое ожидание почти линейной функции У= ф (Х,, Хм ..., Х„) приближенно вычисляется по формуле ту т(тх' тх' '''~тх Дисперсия почти линейной функции приблнжевно вычисляется по формуле ~ту ~,а~~д .) х~+2 д~~ы~ (д ) ~д ) Кх~х ~ где 0» — дисперсия случайной величины Хп К, — корреляционный момент величин Хп Х .
хой В случае, когда случайные аргументы Х,, Хм ..., Х„не коррелнрованы, 7.1. Дискретная случайная величина Х имеет ряд распре- деления хг~~ — 1~ О ) ! ) 2 рг~~ 0,2~ 0,1 ~0,3 ~ 0,4 Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины 1'= 2». Решение. т =2 т 0,2+2' О,!+2' 0,3+2'0,4 =2,4. У ,() = ав ()х) — т' = (2 т) 2 0,2 )- (20)в О, 1 + + (2т)е 0,3+ (2')' ° 0,4 — 2,4' = 1,99. 7.2.
Непрерывная случайная величина Х распределена в интервале (О, 1) по закону с плотно- стью 2х при хЕ(0, 1), У(х) = 0 ври х(р(0, 1) (рис. 7.2). Найти математическое ожидание и дисперсию квадрата случайной величины 1'=Х-'. 1 Решение. т =ае!Х)=) хт2хг(х= у е а 1 Рис. 7.2. 1 2 ' хх = а, ٠— т„'= ) (х') ' 2х г(х— /1»а о 1 1 1 3 4 12 159 7.3.
Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закову: г(х)= Ле "" при х>0, (Л > 0). 0 при х<0 Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины г'=е х. Решение. ги =~ е "Ле «а1х= —. Л Л-)-1 ' о О Д =сх (Ц вЂ” гл = е о) а хо(х— о -о — т Х о " Л+1 (). -с2) (Л 1Р о 7.4. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону; Ле "" прн х > О, У(х) = о (Л > 0). 0 при х < 0 Установить, при каких условиях существуют и чему рзвны математическое ожидание и дисперсия случайной величины У= ех.
Решение. лг = ) е"Ле ""'о(х=-Л ) е '" "."а1х; т о о при Л вЂ” 1 > О, т, е. при Л > 1, этот интеграл существует Л и равен лох =- — ; при Л ( ! он расходится. х Л вЂ” 1' ао('г') = ~ е"Ле "" о(х= — Л ~ е " "но(х. о о Прп Л > 2 этот интеграл существует н равен а.,(У) = Л вЂ”, а дисперсия равна Е) = — — (.— ) Л вЂ” 2' У Л вЂ” 2 (,Л вЂ” 1) (Л вЂ” 2)(Л вЂ” 1)о ' прн Л(2 интеграл расходится, и дисперсии )'.)х не существует. 7.5. Непрерывная случайная величина Х распределена по закону: 1 я л 2 — созх при х ~ ( — —; — ) (, 2' 2)' 7'(х) == о р (( ф; —;).
1ВО ! Найти математическое ожидание н дисперсию случайной величины 1" з1п Х. 1 Р е ш е н и е. 2вт = — ~ з(п х соз х Ых О; 0 =222[У) - — ~ з!пвх созх2!х =.—. 1 ! у 2 г 7.6. Случайная величина Х распределена по тому же закону, что и в предыдущей задаче. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины У=) 21пХ). Р е шеи не. и = — ~ ) З!ПХ) СОЗХ2(Х=~ З!ПХСОЗХаХ - —. 1 и о 1 г,) г о 222 () ) = — ) ) з)пх) созх сох =~ (21пх) созх12х =- —.
! Г 2 — г,) — 3. н о !2 =,(Ц ! ! ! о 2 3 4 !г 7.7. Случайная величина Х распределена с постоянной плотностью в интервале (1; 2): т" (х) ( ! при х~(1, 2), ( О при х((1, 2). Найти математическое покидание и дисперсию случайной вели- 1 чины Х ' Р е ш е н и е. ло = З! — 2!х =!п 2 и 1 я,) х 1 ло„= ) —, 2(х — (1п 2)' = — (1п 2)'.
2 1 16! Овчвяов 7.8. Случайная точка (Х, 1') распределена равномерно внутри круга К радиуса г = 1 (рис. 7.8). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Е=Х1'. Решение. в при (х,у) ~К, 1 у(х,у) = 0 при (х, у) (К. 1 Г т, = — ') ') худхду=О (си. задачу 6.7). (Ю гл 1 т.л = — ) ~ хгу о(хну = — ~ отлр ) г соз ор з)п ор огг= —, 1К1 о о 7.9. Случайная точка (Х, У) распределена равномерно внутри квадрата )с (рис. 7.9). Найти лоатематическое ожидание н дисперсию случайной величины Е=Хг. Рис. 7.8.
Рис. 7ти Решение. Так как случайные величины Х, 1' незави- 1 1 1 симы, то лл = ш лл г г У 2'2 4' д [я[ ллг (о( [(Ху)гл „г )))) [Хг[ М [уг[ лг М [Х'|=сг Я= — М [7'г) = —; О,=- —. 2 7.10. Имеются две случайные величины Х и 1", связанные соотношением 1'= 2 — ЗХ. Числовые характеристики величины Х заданы: лл„= — 1; О„= 4.
Определить: а) математическое ожидание и дисперсию величины у", б) корреляционный момент и коэффициент корреляции величин Х, 1'. 162 Решение. а) глу 2 — Зт„=5; Р =( — 3)'4=36. б) Кху=М [ХУ1 лтхгву — — М [Х(2 — ЗХ)[+1 5= 2М [Х1 — ЗМ [ХЯ) + 5, но М [Ха~ =сг [Х] =Р„+лт„'=4+1=5; отсюда К = — 2 — 3 5+5= — 12; г = — = . = — 1, — 12 — 12 ху ' ху ахи, Р'436 что и естественно, так как Х и У связаны лянейной функциональной зависимостью.
7.1 1. Имеется случайная величина Х с математическим ожиданием т, и дисперсией Р,, Найти математическое ожидание и дисперсию следующих случайных величин: У= — Х; Л=Х вЂ”,2г' — 1; У=ЗХ вЂ” У+2л — 3. Ответ. ти = — ех; Р =Р,л лг,= — лт„— 1; Рх=Р„; тх = 2лз„— 5; Р„= 4Р,. 7.12. Имеется система случайных величин (Х, 1; Е) с заданными характеристиками: математическими ожиданиями т„, гл, и, и корреляционной матрицей Рх Кху Кхх Р, Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины У=аХ вЂ” ЬучцсŠ— а. Ответ.
т = алг — Ьт + слг — сь, х х у 1 Р„= азРх+Ь Ру+ сзР— 2аЬКху+2асКхг 2ЬсКу,. 7.13. Имеется л-мерный случайный вектор Х =- = (Х, Х„..., Х'„,, составляющими которого являются и случайных величин Х; с математическими ожиданиями гл„,.(1 = 1, 2, ..., и), дисперсиями Р„ (1 = 1, 2, ..., п) и нормированной корреляционной матрицей ))г.м ))(1 = 1, 2, ..., л; ' <х). Случайный вектор Х преобразуется в лз-мерный случай- вектор У=()хы Уз, ..., И„), причем составляющие век- У получены из составляющих вектора Х линейными 163 преобразованиями л 1'а — — ~~'.~ агаХ~+Ь» (Й = 1, 2, ..., и), г=г ' Найти характеристики случайного вектора )": математические ожидания ие,(л = 1, 2, ..., и), дисперсии Ве, (Ф=- 1, 2, ..., и) и элементы нормированной корреляционной матрицы )(г„,ц,!) (1=1, 2, ..., и; д (!).
Ответ. и„, = ~~~~ ~амтв+ба (Й=-1, 2, ..., и); Л атее~ йке =~~а,'0„,+2 ~~ г„.з'~й.,й.;, гамп — „,. ° ~ с=~ '~1 иь иь где Ке, „, —— ,~ ~аиап0„,. -)- ~ (аиа т+ а иап) г„,. ]г О„0,, 3=1 !с/ 7.14. Имеются две независимые случайные величины Х и 1'. Величина Х распределена по нормальному закону: (к-~Р у' (х)= . е 2 )'2п Величина )' распределена равномерно в интервале (О; 2). Определить: а) М[Х+ г']; б) М[ХУ]; в) М [Ха]; г) М[Х вЂ” У']; д) Р [Х+ 1']; е) 0 [Х вЂ” 1'].
Репгение. а) М [Х+ )г] = М [Х]+ М [у] = 1 + 1 = 2. б) М [Х) ] = М [Х] М [ У] = 1 1 = 1; в) М [Хз] = аа [Х] = Р [Х] + и'„= 4+ 1 = 5; г) М ~Х вЂ” УЯ]= М [Х] — М ['г'Я] =1 — аз[У]= 1 -1 — / — +1) = 112 / 3' д) О [Х+ У] = Р [Х! + 0 [)г] = 4+ й 4 3 ,' е) О [Х вЂ” г'] = О [Х] + ( — 1)~ 0 [г'] = 4— 7.!5. Случайная величйна Х распределена равномерно в интервале (О, а). Определить: а) М [2Х+3]; б) М [ЗХа— — 2Х+1]; в) 0(2Х+3); г) 0 [Ха+1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
