Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 20
Текст из файла (страница 20)
[(х, у) [е (и) Случайные величины (Х, У) называются независимыми, если условный закон распределения одной из них не зависит от того, какое значение примет другая: [т(х[у]=[т(х] или [з(р[к)=[з(у). Начальным моментом порядка й+з системы (Х, У) называется величина аа,,[Х, У[=М[ХьУл) 1(енгпральным моментоле порядка й+з системы (Х, 1') назывеется велвчина ! р,,[Х, У) =йй[ХьУ ).
Расчетные формулы для определения моментов а) Для дискретных случайных величин о,. [Х, У) = ХХ х' у] ры, рь а [Х, У) =~~~ Р(х; — т )ь (дг — глв)а р р где р;.= Р ((Х=хт) (У=ру))) 130 б) для непрерывных слулайных величин Ф пл, [Хг 1'[= ') ') харе[(х, у) с(хйу; Ф ра [Х, У) = ) ) (х — т„)л (у — ти)х [(х, у) йх йу, Ф где ) (х, у) — плотность распределения системы. Корреляционным моментом К „двух случайных величии (Х, У) называется центральный момент порядка 1+1, т. е. р„(Х,У) (второи смешанный центральный момент): К.„=ры[Х, У)=М[ХУ]. Для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю. Коэффициентом корреляции гхи двух случайных величин (Х, У) называется безразмерная величина 1(ху "хэ =— охои УР =г' Р, [Х, Х[! „Х Р„=['Р г[Х, Х[.
Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линей-' ной зависимости между случайными величинами. Случайные величины (Х, У) называются некорре.гиуованнь[я[и, если их корреляционный люмент (или, что равносильно, коэффициент корреляции) равен нулю. Из независимости случайных величин следует их иекоррелиро. ванносттб напротив, из некоррелировавности случайных величин еще не следует их независимость. Если случайные величины (Х, У) связаны линейной функциональной зависимостью вида У =аХ+Ь, то нх коэффициент корреляции г„„ = ~ 1, где знак + или — берется в соответствии со знаком коэффициента а. Для любых двух случайных величин [гхэ[чц 1, дикцией распределения системы п случайных ве,шчин Х„ ..., Х„) называется вероятность совместного выполнения и ейств вида Хс < хр Р (х„х, ..., х„)=Р ((Хг < х,) (Хз < х,) ... (Х„< ха)).
лотностью распределения системы и случайных веттин иазы- смешанная частная производная п-го порядка функции расления: дч [(х1 хз г ХР) д д д Р(хгг кг[ г хн), Х1 22 ' Хн ункция распределения Рс(х[) одной из величин Хг, входя- систему, получается из Р (хг, хг, ..., х„), если положить все аргументы, кроме хо равными + го: Рг(хг)Р(+ со[ + Рог х[[[+го) 131 Плотность распределения отдельной величины Х;, входяще() в систему (Х„, Хв, ..., Х„), выражается формулой Ф м (;(х;) ~ ...
~ й(хы хе, ..., х„)йхт ... йх; тйхг+т ... йх„. Плотность распределения отдельной подсистемы (Х„Хз, ..., Хе), входящей в систему (Хт, Хе, ..., Ха, Ха+ы ..., Х„), выражается формулой м а(х„..., хл)=~ ... ~)(х„...,хш ...,хл)йха, йх„. Условная ила~ность распределения подсистемы Хт, ..., Хл при фиксированных значениях всех остальаых случайных величин вмражается формулой Г. (хт, х„..., хв) е (х , ..., хе ~ ха.„, ..., х ) =, 1а+ц .. и (хает ° ° ~ лл) Если случайные величины (Хы Х„..., Х„) независимы, то ) (хы х.„..., хе) = (т (хт) Гз (х,) ... (и (ха).
Вероятность попадания случайной точки (Х,, ..., Х„) в пределы и-мерной области 0 выражается л-кратным интегралом Р((Х„..., Ха)~Р)=~ ... ~)(хы ..., х„)йхт ... йх„. ,п~ Корреляционной лакрицей системы и случайных величии (Х,, Х„ ..., Ха) называется таблица, составленная из корреляционных мамонтов всех атнх величин, взятых попарно 'Кы К ° ° Ктч( (|к.
~К21 Клз '' К ! мы= ~ 1 Кат Квз " Кив ~ где К;у -— К„,х = М ~Х,Ху~ — корреляционный момент случайных ва. личин Хи У; Корреляционная матрица симметрична: Кгу= Кум поэтому обычно заполняется лишь половина таблицы, ! 1Кы Кж ° ° Кти ~ Кез ° ° ° К По главной диагонали корреляционной матрицы стоят дисперсяи случайных величин (Х„Х„,, Хл): Кы = () (Х,).
Нармиро»анной корреляционной матрицей системы л случайных величин называетсн таблица, составленная из коэффициентов корреляции всех этих величин, взятых попарно, ! г<з г<э 1 г,з гэь ! )) »<у)«= КН где г;у= — — коэффициент корреляции величин Хг, Х . о;о, Нормальный закон распределения для двух случайных величин (Х, )г) (нормальный закон на плоскости) имеет плотность вада <» т»1< зм» н<»)<е — <нг) !э те!<1 ! 21< -г<< о» о»оз аз 1(х, р) = е у 2яо о Р»1 — гз где т„, тв — математические ожидания случайных величин Х, )г; о, о, — их средине квадратические отклонения; г — пх коэффицяент корреляции. Для случайных величин, распределенных по иорчазьноыу закону, некоррелированность равносильна независимости.
Если случайные величины (Х, у) некоррелнрованы (независимы), то г =О и 2но„ои В атом случае оси Ох, Ор называются слоеными осями рассеивания, з о„, аи — славными средними кеадратичеекими отклонениями. Если при этом т„=-т, =О, то нормальный закон вринимает канани <еский еид< .» е» 1 та» »о< 1(х, у) = — е 2по„ои Вероятность попадания случайной точки. распределенной по нор- мальному закону, в прямоугольник Р (рис.
бг) с осямв, параллель- ными главным осям рассеивания, выражается формулой )з((Х 1') ц)!) = = ~Ф» ( — ~) — Фь ( — ") ~ ~ Ф* ( — ) — Ф' ( — ) ~ . Эллипсам равной ллотности (эллипсом рассеивания) называется вллипс, во всех точках которого плотность распределения Г(х, р) нормального закона постоянна: 1(х, р) =сонэ!. Полуоси эллипса рассеивания пропорциональны главным средним квадратическим отклонениям: а=да; Ь=йа, 133 Вероятность попадания случайной точки, распределенной нс нормальному закону, в область Еа, ограниченную вллипсом рассеи.
вания, равна аг Р((Х, У)ЕЕа) 1 — в где а — размеры полуосей аллипса в средних квадратических отклонениях. Если а„=ау — — а, рассеивание по нормальному закону называ. ется круговым. При круговом нормальном рассеивании с гл„=ту —- О расстояние м' от точки (Х, У) до начала координат (пентра рассеивания) распределяется по закону Релея: г 201 Г(г)= —,в при г > О, а' О прн г <О. Нормальны!! закон в пространстве трех нзмереннй для независимых случайных величин (Х, у, Е) выражается формулой (2п)зтг а .аунг ВеРоЯтность попаданиЯ слУчайной точки (Х, У, Е) в область Ем ограниченную зллнпсоидом равной плотности с полуосямн аГ йа„, у=даю с=)га, равна Р ((Х, У, 2)~Еа)=2Ф*(й) 1 — ~У вЂ” кв 6.1.
Два стрелка независимо один от другого производят по одному выстрелу, каждый по своей мишени. Случайная величина Х вЂ чис попаданий первого стрелка; у †второ стрелка. Вероятность попадания н мишень для первого стрелка р„, для второго рз. Построить функцию распределения Р (х, у) системы случайных величин (Х, 1'). Р е ш е н и е. Составим таблицу значений функции гт(х, у) для различных значений аргументов.
Так как случайные величины (Х, 1') независимы, то .о (х, у) = Р (Х < х) Р (Р < у) = Рд (х) Рв(д), Построим функцию распределения Рд(х): 0 при х(0, Рд(х)= ад при 0(х(1, 1 при х)1, где дд —— 1 — рд. Аналогично Значения функции Г (х, у) даны в таблице 6.2. По мишени производится один выстрел. Вероятность попадания равна р. Рассматриваются две случайные величины: Х вЂ чис попаданий; 1' †чис промахов. Построить функцию распределения г (х, й) системы (Х, У). Р е ш е н и е. Случайные величины (Х, Г) зависимы, причем жестко (функционально): Х+ 1'=1.
Таблица возможных значений Х, У с соответствующими вероятностями будет Значения функции г (х, у) даны в таблице 136 О Гя(й) = Чв=1 — ря 1 при у (О, при О(у~(1, при у) 1. 6.3. Функция распределения системы двух случайных величин (Х, У) равна г".(х, у). Найти вероятность попадания случайной точки (Х, У) в область Ю (рис. 6.3), ограниченную справа абсциссой а, снизу и сверху ординатами у, 6. От в е т. Р ((Х, У) Е)0) =г (сс, б) — г" (а, у). 6.4. Лана поверхность я=у'(х, у), изображающая плотность распределения системы (Х, У) (рнс.
6.4). Задано не- ГГХ 4'я Рнс, 6Л. Рнс. 6.4. которое значение х. Лать геометрическую интерпретацию: а) значению ~,(х) в точке х; б) Условной плотности РаспРеделениа Ге(У )х). Р е ш е и и е. Лля данного х: а) гд(х) изображается площадью сечения, заштрихованного на рис. 6.4.
б) Условная плотность распределения изображается кривой, каждая орднната которой равна ордннате сечения, деленной на уг(х) 6.5. Имеются две независимые случайные величины (Х, У), подчиненные каждая показательному закону: 0 при х(0, ( 0 при у<0, ().е ь" цри х > О, Уз (У) ) )ье кк при у > О. Написать выражения: а) плотности распределения системы; б) функции распределения системы (Х, У). О т ь е т.
0 прн х<0 или у(0, Х)ье гяк+ню при х > 0 и у > О, О при х~: 0 или у 'О, ~(х у) = -ъ (1 — е ')(1 — е нг) при х>0 и у О. 136 6.6, Система случайных величин (Х, У) распределена с постоянной плотностью внутри квадрата )т' со стороной 1 (рис. 6.6а). Написать выражение плотности распределе. гу ння У(х, у). Построить функцию распределения системы. Рнс. 6.6а. Рнс. 6.66. Написать выражения Ут(х), гх(у),Определить, являются ли случайные величины (Х, у) независимыми или зависимыми.
1 при (х, у) 6тг, Ответ. 7(х, д)= ) 0 при (х у) о)г. 0 при х(0 илн р О, хр при 0<х(1 и 0<у(1, п(х р) ~ х прн 0<х 1 и у>1, р при х>1 и 0 <у(1, 1 прн х> 1 и у>1. Поверхность Г (х, д) представлена на рис. 6,66, )( 1 при х ~ (О, 1), ' * )( 0 при х((0, 1), 1 при уЕ (О, 1), ( 0 прн р((0, 1). Случайные величины (Х, Г) независимы, так как У(х у) Л (х)уа (у)' 6.7. Поверхность распределения системы случайных величин (Х, У) представляет собой прямой круговой конус (рис. 6.7а); основанием конуса служит круг К с центром в начале координат и с радиусом гв.
Вне етого круга плотность распределения равна нулю. 137 Рнс. 6.7б. Рнс. 6.7а. величины Х, )' зависимыми. г) Определить, являются ли случайные величины Х, У коррелированными. Решение. — (г,— )''х —;-у ) при х -';у (г„ 1,,( -> 2 2 о а) г" (х, у) = "оп О прн ха+у') г*;, б) У (х) = — го)'г,'— х' — х'1и ' ' Л при !х! (г„ о О при !х!) гсо — го) г" ,— уа — у'1и ' ' при!у((гол (" (О при ! у ! ) го Далее, при !х! (г, г — )гх'+ у' ~ го+у го — хо при !у!()Гг,— хх, Л(о~ )= ! 1х1 О при !у ! ) )г г"; — хо и при !у!(г, го — )гхо+ у' )г о о о1 о го+) го уо при)х!(Ф го уо !у( О рн! !) )'г~,' — у .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
