Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Какова размерность: 1) функции распределения) 2) плотности распределения; 3) математического ожидания; 4) дисперсии; 5) среднего квадратического отклонения; 6) третьего начального иоиентау О т в е т. 1) Безразмерна; 2) обратная размерности случайной величины; 3) размерность случайной величины; 4) разиерность квадрата случайной величины; 5) размерность случайной величины; 6) размерность куба случайной величины. 5.3. рассматривая неслучайную величину а как частный вид случайной, построить для нее функцию распределения, найти для нее математическое ожидание, дисперсию и третий начальный момент.
[1 при х ) а. ))4 [а[ = а; 0[ а) = 01 аз[а) а'. 5.4. Дан график плотности распрелелеиия у(х) случайной величины Х (рис. 5 4). Как изменится этот график, 94 если: а) прибавить к случайной величине 1; б) вычесть из случайной величины 2; в) умножить случзйную величину на 2; г) изменить знак величины на обратный? т1лу О т в е т. а) Сдвинется влево на 1; б) сдвинется вправо на 2; в) масштаб по оси абсцисс удвоится, а по оси ординат умень.к шится влвое; г) график переменится на свое зеркальное отра- Рис.
5,4. жение относительно оси ординат. 5.5. Дан график функции распрелеления Е(х) случайной величины Х (рис. 5.5). Как изменится этот график, если: а) прибавить к случайной величине 1; б) вычесть из случайной величины 2; в) умножить случайную величину на 2; г) нзменить знак случайной величины на обратный? О т в е т. а) Сдвинется влево на 1; б) слвинется вправо на 2; в) масштаб по оси абсцисс улвоится; г) график нужно зеркально отразить относительно оси орРис. 5.5. динат и каждую ординату вычесть из единицы.
5.6. К случайной величине Х прибавили постоянную, не случайную величину а. Как от этого изменятся ее характеристики; 1) математическое ожидание; 2) дисперсия; 3) среднее квадратическое отклонение; 4) второй начальный момент? О т в е т. 1) Прибавится слагаемое а; 2) не изменится; 3) не изменится; 4) прибавится . слагаемое а' + 2аш„ (так (ХЯ В +и„).
Случайную величину Х умножили на а. Как от изменятся ее характеристики: 1) математическое ожи- 2) дисперсия; 3) среднее квалратическое отклонение; рой начальный вюмент? в е т. 1) Умножится на а; 2) умножится на ав; ожится на )а); 4) умножится на а'. Производится один опыт, в результате которого появиться или не появиться событие А; вероятность я А равна р. Рассматривается случайная величина Х, единице, если событие А произошло, и нулю, если изошло (число появлений события А в данном опыте).
г( ' Построить ряд распределения случайной величины Х и ее функшпо распределения, найти ее и. о., дисперсию, второй начальный момент, третий центральный момент. тч ) О т в е т. Ряд распределения: х;, 0 где п=! — р. Р Рг~ Ч Рнс. 5.8. Функция распределения Г (х) представлена на рнс. 5.8. е„=-0 л+! р=р; я,[Х)=0'~у+1' р= — р; О, = а, [Х[ — лг"„- = р — р' =- р (1 — р) = рд; ра [Х) = (Π— р)'"1+ (1 — р)'р =рр (р — Р).
5.9. Производится трн независимых опыта, в каждом из которых событяе А появляется с вероятностью 0,4. РассмаХ вЂ” число появлений сооытня А в трех опытах. Построить ряд распределения и функцию распределения г(др случайной величины Х. Найти р х д ее математическое ожидание Р . 5.9. Рис. т, дисперсно В ., среднее квадратическое отклонение о„ и третий центральный момент Ра [Х). О т в е т. Ряд распределения: х,. 0,064 0,288 0,432 0,216 Функция распределения показана на рнс. 5.9; лг„ = 1,2; Вк=О 72; ох=085' ра[Х[=О 144. 5.10. Монета подбрасывается п раз; рассматривается случайная величина Х вЂ” число выпавших гербов. Построить 96 хв Ответ.
' (-) (2) жх = —; О = —; о„= —; ра !Х~ = 0 (так как распределение симметрично относительно жх =— х 2)' 5.11. Производится и независимых опытов, в каждом из которых с вероятносптю р появляется событие А. Напнсат.ь ряд распределения случайной величины Х вЂ” числа появлений противоположного А события А в л опытах †найти ее математическое ожнланпе и дисперсию. О т в е т. С;д "ре где д=! — р; т„=пЧ; Ох=при. 5.12.
Производится и пезавнснмых опытов, в каждом нз которых с вероятностью р появляется событие А. Рассматривается случайная вели пена йт — частота появления события А в и опытах, т. е отношение числа появления события А в н опытах к общему числу произведенных опытов и, Написать ряд распределения втой случайной величины; найти ее математическое ожидание и дисперсию. О т в е т. Авт 1 л рв Слр ч С„рр" * е о=1 — р; ш„=р; О„= —. РЧ 5.13*. Производится и независимых выстрелов по мишени. роятность попадания при каждом выстреле равна р. Опрелить наивероятнейшее число попаданий в мишень ш*. Е. С. Веетцелв,д. А.
Овчврев ряд распределения этой случайной величины и найти ее ХараКтЕрИСтИКИ: Их, Ох, Пх, 1Аа~Х~, Р е ш е н и е. Рассмотрим, прн каком условии т*= О. Если те=О, то д" > С„'рд' 'или~у пр, откудар ( —. л+1 Если т*=п, то р'> С„'др" ' или р> пр, откуда р> —" и+1 Рассмотрим случай, когда 0 ч. т* ( и; в этом случзе должны выполняться совместно два неравенства ~т»»», »»-»»*> г т"»»»»»»т и-» ~~»»»-м*-и-»»» - »»»»-1 и*-»»-»»»»1 Этн два неравенства эквивалентны следующим: (т'+1)д (и — т'")Р, (и — тчаг1)Р) т"д, откуда тв должно быть целым числом, удовлетворяющим неравенству (и+1)р — 1 (тв((п+1) р. Можно убедиться в том, что это неравенство выполняется и в случае р ( — (т = 0) и в другом крайнем случае: 1 и+1 р > — (т*=п). л+! Поскольку правая часть неравенства на единицу больше левой, то между ними лежит только одно целое число т"; исключение составляет только случай, когда (п + 1)р †целое.
В этом случае имеется два наивероятнейшнх числа попаданий: (п + 1)р и (п + 1) р — 1. Если пр †цел число, то тэ =пр, т. е. наивероятнейшее значение числа попаданий в мишень равно его математическому ожиданию. 5.14. Два стрелка стреляют каждый по своей мишени, делая независимо друг от друга по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка р, для второго р,. Рассматриваются две случайные величины: Х вЂ чис попаданий первого стрелка; Л~ †чис попаданий второго стрелка и их разность г=х,— х~ Построить ряд распределения случайной величины Я и найти ее характеристики т, и О,.
Р е ш е н и е. Случайная величина 2 имеет три возможных значения: — 1, 0 и + 1. Р(2= — Ц=Р (Х,=О) Р (Х,=+1) =ЧР;, Р (2 = 0) = Р (Х, = 0) Р (Х, =- 0) + Р (Х, = 1) Р (Х, = 1) = = ЧгЧв+ Ргрг' Р (2 = 1) =- Р (Х, = 1) Р (Х, =- О) =- Р,Ч„ где Чг== 1 — Рг; Ча=! — Р,. Ряд распределения величины 2 имеет вид (( — 1( 0 (1 У Лг .! Чгрг ( ЧгЧг тчргрг ! РгЧг тг == ( — 1) ЧгРг —, 0 (ЧгЧа+Ргрв) — 1Ргрг = Чгрг+РгЧа =Рг Дисперсию находим через второй начальный момент; а, Я = ( — 1)г' Чгрг -,' 0' (ЧгЧг +Ргрв) + 1' РгЧг = =Чгрг гргЧв=рг '-Рг 2Лгрг: В ==аз(2) — тг=рг-с Рг — 2ргра (Рг Ра) =РгЧг РгЧю б.!б. Производится ряд независимых опытов, в каждом нз которых может появиться некоторое событие А. Вероятность события А в каждом опыте равна р.
Опыты производятся до первого появления события А, после чего они прекращаются. Случайная величина Х вЂ чис произведенных Построить ряд распределения этой случайной ве- н найти ее характеристики †математическ ожила- дисперсию. ш е н и е.
Ряд распределения имеет вид ж(1) 2 ! 3 (...! г' Рг )',Р( Чр(Ч'Р!" ! Чг 'Р !" ' = 1 — р. =1Р-', 2ЧР+3Ч'Р+" гЧ' 'Р+" =Р~ гЧг '- г-г Замечаем, что ряд ~Р ~Ь)1 ' представляет собой результат 1=2 дифференцирования геометрической прогрессии ~~~,д' = — ; 1 — е! 1=1 р 1 х р2 Дисперсию определяем через второй начальшяй момент: ив[Х]=,~~хгр1= ~~",122)1 'р=р х,'!2д' 1=1 1=1 1=1 Для вычисления сульиы ряда,~ ~Щ ' умножнм ряд (1) на (( 1=1 и продифференцнруем по 21: Умно1кая на р=! — (г, получим и (Х)= —; О =-и (Х) — л2,'=. 1+9 .. 2 !+а ! ч 2 (1 С)2 х 2 х — (! Л)2 (1,12 ' 12' Полученное распределение можно связать с распределенаел1 Паскаля: Р(У=.й).=дар (а=о, 1, 2, ...) с характеристиками: л2 =- †; !х == — .
Легко видеть, что а, ч г 12'' наша случайная величина Х ныражается через У'следующим образом: Х = У+ 1, Распределение случайной величины Х можно назвать асдвинутым на 1 распредеяением Паскалял. 5.16. Производится лва независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна р. Рассматриваются случайные величины: Х вЂ разнос между числом попаданий и числом промахов; У вЂ” сумл1а числа попаданий и числа промахов. Построить для каждой из случайных величин Х, У ряд РаСПРЕДЕЛЕНИЯ. Найты ИХ ХаРантЕРИСтИКИ: Л2Х, Ох, Лт, !Х . Р е ш е н и е.
Ряд распределения величины Х имеет вид х;[[ — 2~ О ~2 р )( да ) 2рр ра где у=1 — р. гл„— 2ф+ 2р' = 2 )р — г!У а, [Х) = 4 (д' —,'-р'); В„= а, [Х] — пг„' = Яр!). Случайная величина Р фактически не случайна н имеет одно значение 2; ее ряд распределения: У;! 2 лг,=-2; !У,=-О.
р,~1 5.17. В нашем распоряжении имеегся л лампочек; каждая из них с вероятностью р имеет дефект, Лампочка ввин- 1 чивается в патрон и вкл!очается ток; при включении тока дефектная лампочка сразу же перегорает, после чего заменяется лругой. Рассматривается случайная вели шна Х вЂ” число лампочек, которое будет испробовано. Г!остропть ее ряд распределения и найти математическое снкнданяе т„. Р е ш е н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
