Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(1 — р)"= = р (1 — р)'" ' г(п + (п т 1) (1 — и) ). Аналогично, но учитывая, что вошедший на второй остановке пассажир не выходит: Р (А,'Н,,) = =пр(1 — р)" ~(! — р)" +(1 — р)" пр(1 — р)" ~= = 2пр ( ! — р)з" Чтобы при двух вошедших пассажирах число их после двух остановок оставалось неизменным, нужно или чтобы на первой остановке вышли два пассажира, а на второй †ник; или на первой- никто, а на второй †д; или чтобы вышло 61 по пассажиру на каждой остановке: Р (А!Ны )=Соря(1 — р)о '(1 — р)" '+ + (1 — р)" Соооаро (1 — р)а-о+ Сор (1 р) -т С'р (1 р)а-т 2 Р (А) = Р (Но, о) Р (А(Но, о) + Р (Нп о) Р (А~Но а) + +Р(Но, г) Р (А)Но, о)+Р(Но, а) Р (А(Нп о) 3.22. Три орудия производят стрельбу по трем целям.
Каждое орудие выбирает себе цель случайным образом и независимо от других. Цель, обстрелянная одним орудием, поражается с вероятностью р. Найти вероятность того, что из трех целей две будут поражены, а третья нет. Р е ш е н и е. Гипотезы: Н, †обстреля все три цели; Н. — все орудия стреляют по одной цели; Н вЂ” две цели из трех обстреляны, а третья нет. Р(Н ) =-1 ° = ° — = —; 3 3 9 ' Р(Н)=1 ! ° ! == ! Р(Н)=! — ~ — !.=~; 9 9' Т' Р (А(Нт) =Зр'(1 — р); Р (А)Но) =-О; Р (А)Но) =-1! — (' — р)о1 р = р'(2 — р) Р(1) =2ро(! — — р~ .
2 3 3.23. Прибор состоит из двух дублирующих друг друга узлов У и Н (рпс. 3.23) и может случайным образом работать в одном из двух режимов: благоI приятном и неблагоприятном, В благоприятном режиме надежность каждого из узлов равна р, в неблагоприятном р,, л Вероятность того, что прибор будет работать в благоприятном режиме, равна Р„ рис. з.вз. в неблагоприятном 1 — Р,. Найти полную (среднюю) надежность прибора р. Ответ. р=Р,(! — (1 — р,)о)+(1 — Р,) (! — (1 — ро)о).
3.24. На телефонную станцию поступает случайный поток вызовов; вероятность поступления и вызовов за время 1 равна ра(г) (аа = О, 1, 2, ...). Число вызовов, поступивших за промежуток времени Ь, не зависит от того, сколько вызовов поступило до или после этого промежутка. Найти вероятность того, что за промежуток времени 2Ь поступит а вызовов. Р е ш е н и е. Разделим промежуток 2! на две части: нерву!о и вторую, каждая длительности !. Гипотезы Н» — на первый участок попало и вызовов (а = О, 1, ..., л). Р(НЬ) =рь (!) (4=0, 1, ..., а).
Лля того чтобы при гипотезе Н„ на промежуток 2! попало а вызовов, нужно, чтобы на второй участок попало а — и вызовов. Условная вероятность этого равна р, ь(!). Полная вероятность события А — за время 2! поступит а вызовов — равна 5 5 Р (А) =,г Р (Н„) Р (А~На) = ~'„р, (!) р, „(!). а=а а=О 3.25. В ящике находится а новых теннисных мячей и Ь игранных, Из ящика наугад вынимается дза мяча, которыми играют. После этого мячи возвращают в ящик. Через некоторое время нз ящика снова берут наугад два мяча. Найти вероятность того, что они будут новыми (а ) 2; Ь ) 2). Р е ш е н и е.
Гипотезы: Нг — оба вынутых первый раз мяча были новыми; Н, †о вынутых первый раз мяча были игранными; Н вЂ од из мячей был новым, а другой †игранн. а (а — 1) Ь (Ь вЂ” 1) (а+Ь) (а+Ь вЂ” !) ' ( а) (а+Ь) (а+Ь вЂ” 1) ' 2аЬ +Ь)( +Ь вЂ” В Р (Л)-- а (а — 1] (а — 2)(а — 3) +Ь (Ь вЂ” 1) а (а — 1)-~- 2аЬ (а в 1) (а — 2) (а+Ь)а (а+Ь вЂ” !)' 3.26. Имеется л экзаменационных билетов, каждый нз которых содержит два вопроса, Экзамену!ощийся знает ответ .не на все 2л вопросов, а только на и ( 2л. Определить вероятность р того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба вопроса своего биле~а илн на один вопрос нз своего билета и на один (по выбору преподавателя) вопрос из дополнительного билета.
Р е ш е н и е. Гипотезы: Н вЂ” экзаменующийся знает оба вопроса своего билета, Н,— экзаменующийся из двух вопросов своего билета анает один. а(а — !), 2а(2п — а) а — 1 р= 2л (2п — !) 2л (2л — 1) 2~ — 2 3.27*. 1Лель, по которой ведется стрельба, с вероятностью р, находится в пункте 1, а с вероятностью р =- 1 — р т ' 1 в пункте 1! (р, ) — ) . 2)' В нашем распоряжении имеется и снарядов, каждый из которых может быть направлен в пункт 1 яли в пункт !1. Каждый снаряд поражаеа цель независимо от других с вероятностью р.
Какое число снарядов и, следует направить в пупка 1 для того, чтобы поразить цель с максимальной вероятностшоу Р е ш е н и е. Событие А — поражение цели при направлении и, снарядов а пункт 1. Гипотезы: Н, †це в пункте 1; Н, †це в пункте И. Р (Нт) = рг! Р (Н,) = 1 — и,; Р (А) =- р, [1 †(! — р)' [ -'; (1 — р,) [! — (1 — р)"-' [. Рассма~ривая Р (А) как функцшо непрерывного аргумента и„ находим — ==-[ — р (1 — р)" + (1 — рт)(1 — р)" " ] (п (1 — р), йР (А! а-"Р (А) — =- — [р (1 — р)" +(1-р,) (1 — р)" "[ !п'(1 — р) ( О, откуда видно, что эта функция имеет единственный максимум в точке )ив 1 — ш Заметим, что и, ) — при р > — . и 1 2 т 2 Вели полученное число и, целое и и, то это и есть искомое число; если оно не целое (но ( и), то нужно вы- 64 числить Р (А) для двух ближайших целых значений и выбрать то из них, для которого Р (А) больше; если полученное число окажется больше и, то следует направить все и снарялов в пункт ! (это случится при 1п — д ( л )п (1 — р), ! т.
е. при р ) „) . 3.28. Рассматривается посадка самолета на аэродром. Если позволяет погода, летчик сажает самолет, наблюдая за аэродромом визуально. В этом случае вероятность благополучной посадки равна р . Если аэродром затянут низкой облачностью, летчик сажает самолет вслепудо по приборам. Надел<ность (вероятность безотказной работы) приборов слепой посадки равна Р. Если приборы слепой посадки сработалп нормально, то самолет садится благополучно с той же вероятностью р,, что п прн визуальной посадке. Если же приборы слепой' посадки не сработалн, то летчик может благополучно посадить сааюлет только с очень малой вероятностью р",. Найти полную вероятность благополучной посадки самолета, если известно, что в лаа всех случаев посадки аэродром за.тянут низкой облачностью. Р е ц1 е и и е. Гипотезы; Нд †низк облачности пет; Не — низкая обла шость есть.
!оо' Р (Нх) !оо ! Р (А(Нд) - р' Гд а Р (А~~На) находим снова по формуле полной вероятности: Р (А(Н ) = Рр +(1 — Р)р",! Р (А) — (1 — — ) рд-)- — [Р,, (1 — Р) рд3. 3.29. !Мель, по которой ведется стрельба, состоит из двух различных по уязвимости частей. Для поражения цели достаточно одного попадания в первую часть или лвух попаданий во вторую.
Для каждого попавшего в цель снаряда вероятность попадания в первую часть равна рд, во вторую рд — 1 — р,. По цели производится трп выстрела; вероятность попадания прн каждом выстреле равна р, Найп! вероятность,того, что данными тремя выстрелами цель будет поражена. Э в, с. Веатцааь, л. А. Овааров Р е ш е н и е. Гипотезы: Н вЂ” в цель попал один снаряд; Н, — в цель попало два снаряда; Н вЂ” в цель попало три снаряда. Р (Н„) = Зр (1 — р)'! Р (Н,) = ЗР'(1 — р); Р (На) = р'. Р (А/Н,) =р,; Р (А(Н,) = 1 †(1 — р )а +р3; Р (А!Н ) = 1; Р (А) = Зр (1 — р) р, + Зр'(1 — р)(! — (1 — р )а -)-р"~ +р' 1. 3.30.
Группа из трех самолетов совершает налет на объект. Объект защищен четырьмя батареями зенитных ракет. Каж- дая батарея простреливает угловой сектор размерами 60', так что из полного угла 360' вокруг объекта оказываются защищенными 240'. Если самолет пролетает через защищен- ный сектор, его обстреливают и поражают с вероятностью р; через незащищенный сектор самолет проходит беспрепятствен- но. Каждый самолет, прошедший к объекту, сбрасывает бом- бу и поражает объект с вероятностью Р. Экипажи самолетов не знают, где расположены батареи. Найти вероятность поражения объекта для двух способов организации налета: 1) все три самолета летят по одному н тому же направ- лению, выбираемому случайно; 2) каждый из самолетов выбирает себе направление слу- чайно независимо от других, Р е ш е н и е.
1) Гипотезы; Н, †самоле выбрали незащищенное направление; Н, †самоле выбрали защищенное направление. Р(Н,)= 1; Р(Н,) = 2; Р (А(Нг) 1 (! Р)з. Р (А(Н ) 1 (! (! Р) Р~з. (А)= 3 ~ (1 Р)з)+ 3 ( (1 (! Р)Р)з) 2) г(входим для каждого самолета полную вероятность р 1 2 поразить объект; р = — Р+ — (1 — р) Р.
3 ' 3 Для трех самолетов вероятность поражения объекта будет Р(А) 1 (1 р )э 1 ~! Р (! р)Р~ 1 2 Ча 3 3 Можно показать, что зта вероятность больше, чем для способа 1). 66 3.31. Имеются три урны: в первой из них а белых шаров и Ь черных; во второй с белых шаров и г( черных; в третьей — и белых шаров (черных нет).
Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар вынут из первой, второй или третьей урны. Р е ш е н и е. Решаем задачу по формуле Бейеса. Гипотезы: Н вЂ” выбор первой урны; Н, †выб второй урны; Н, †выб третьей урны. Апрвори (до опыта) все гипотезы равновероятвы1 ( а)=3 Наблюдалось событие А — появление белого шара. Находим условные вероятности: Р (А(Н!) = Ь ' Р (А(Ня) =* а ' Р (А(На) = 1 По формуле Вейеса вероятность того, что шар был вынут из первой урны: 1 а — Р (А(гг,) з ' ~;Р (А(И,) а+Ь+.,Л "1 3 Е=1 Аналогично с Р (~~(~) = „,; Р (Н,(А) = — + — '+1 а+а с+а а+Ь с+к — + — +1 3.32.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
