Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Р е ш е н и е. Событие А — появление белого шара; гипотезы: Н,— переложен белый шар; Н,— переложен черный шар. Р(Н,) = „; Р(Н,) =- —; Р (А! —— иа ба+К+1 ' а — ', Ьс+а-', !' 3.8. В условиях предыдущей задачи из первой >рвы во вторую перекладывают не один, а три шара (предполагается, что а ~ ~3; Ь 3). Найман вероятность того, что нз второй урны появится белый шар. Р е ш е н н е. Можно было бы выдвинуть четыре гипотезы: Н вЂ” переложены 3 белых шара; Н вЂ” !тереложены 2 белых шара и 1 черный; На — переложены 1 белый шар и 2 черных; На — переложены 3 черных шара, но проще решить задачу, имея всего две гипотезы: Н вЂ” вынутый из 2-й урны шар принадлежит 1-й урне; Н,— вынутый из 2-й урны шар принадлежит 2-й урне. Так как во второй урне три шара принадлежат первой урне, а с + с( — второй, то 3 с+ и' с+к+3! ( т) с+к+3' Вероятность появления белого шара нз первой урны не зависит от того, вынимается ли этот шар непосредственно из первой урны или после перекладывания во вторую: Р(А(Н) = — „; Р(А)Н)= —,„, + откуда 3 а, с+с! с Р (А) = с+с!+За+а с+д+Зс+с1' 3.9.
Имеется л урн, в ка!идой из которых а белых шаров и а черных. Из первой урны во вторую перекладывается один шар; затем из второй в третью один шар и т. д. Затеи из последней урны извлекается один шар. Найти вероятность того, что он белый. Р е ш е н и е.
Вероятность события А, †извлечен белого шара из второй урны после перекладывания — найдем так же, как в задаче 3.7 (прн с=а, д(=Ь): а а+! Ь а а а+Ьа+Ь+1+а+Ьа+Ь+! а+Ь' Таким образом, вероятность извлечения белого шара из второй урны после перекладывания будет такова же, как и до перекладывания. Следовательно, такова же будет и вероятность вынуть белый шар из третьей, четвертой и т. д., и-й урны: Р(А„)= —, 3.10. Приборы одного наименования изготовляются двумя заводами; первый завод поставляет 2!3 всех изделий, посту- пающих на производство; второй 1/3.
Надедкность (вероят- ность безотказной работы) прибора, изготовленного первым заводом, равна рд; второго †,. Определить полную (сред- не!о) надежность р прибора, поступившего на производство. 2, ! Ответ. р= — р, -',- — ра 3.11. Производится стрельба по цели одним снарядом. Цель состоит из трех частей, площади которых равны дд, од, о (Яд-'; Яд + Яд ††. 5).
Для попавшего в цель снаряда вероятность попас~ь в ту пли другую часть пропорциональ- на площади части. При попадании в перву!о часть цель по- ражается с вероятностью р,; во вторую часть †вероят-' ностью р; в третью †,. Найти вероятность поражения цели, если известно, по в нее попал один снаряд. йд ~ ад Ответ. р: —.— — р + — р -)- — р ° д 3 д 3 а 3.12. Имеется две партии однородных изделий; первая партия состоит из М изделий, среди которых и дефект- ных; вторая партии состоит из М изделий, среди которых ш дефектных.
Из первой партии беретсн случайным обра- зом К изделий, а из второй Е изделий (К ( М; Е ( М)! зти К-„'- Е изделий смешиваются и образуется новая партия. Из но- вой смешанной партии берется наугад одно изделие. Найти вероятность того, что изделие будет дефектным. Р е ш е н и е. Событие А — изделие будет дефектным. Гипотезы: Н, †издел принадлежит первой партии; Н.„ †издел принадлежит второй партии. 3.13. В условиях предыдущдй задачи из новой, смешанной, партии берется не одно изделие, а три. Найти вероят.
ность того, что хотя бы одно изделие из трех окажется дефектным. Р е ш е н и е. Гипотезы: Н вЂ в трн изделия принадлежат первой партии; Нт †д изделия принадлежат первой партии, а одно— второй; Н, †од изделие принадлежит первой партии, а два— второй; Н, †в три изделия принадлежат второй партии.
К(К вЂ” 1) (К вЂ” 2] ( 0) (К-]-/)(К+].— !)(Кл-!.— 2)' ЗК(К вЂ” 1) !. (К+а) (К+1.— 1) (К вЂ” , '!.— 2) ' ЗК!. (].— 1) (К+7) (К+1. — !) (К+!.— 2) ' 7. (1. — ! ] (Е. — 2) Р(На)=(К+).](К+7.— П(К -б — 2)' (74 — л) (гя — и — 1) (тв — л — 2] Р ('4! Нв) = ! „у(ту !)(~у 2) (гт — и) (.У вЂ” и — 1) (М вЂ” т) Р (А! Нт) — 1 — ' (7У вЂ” и) (М вЂ” т) (М вЂ” т — 1) Р (А ') Н,) =- ! — '.. (М вЂ” т] (М вЂ” т — !) (М вЂ” т — 2) Р( ~ а)= М (М вЂ” 1) (М вЂ” 2) Р (А) = Р (Нв) Р (А ) Н,),:- Р (Н,) Р (А ) Н,] -;. + Р (На) Р (А) Н) р Р(Нз) Р (А / На). 3.14.
Имеются две урны: в первой а белых шаров н Ь черных; во второй с белых и о черных. Из первой урны во вторую перекладывается один шар; шары перемешиваются и затем нз второй урны в первую перекладывается один шар. После этого из первой урны берут наугад один шар. Найти вероятность того, что он будет белым. б7 Р е ш е н и е. Гипотезы: Нд †сост шаров в первой урне не изменился; Н вЂ” в первой урне один черный шар заменен белым; Нз — в первой урне один белый шар заменен черным. а с+! 1 с)+! ("д) =а+Ьс+Д+1+а+Ьс+Ы+1 Ь с а а' + Ь + а+ 1 + Ь + д(+ ! ( а с+1 Ь а+! 1 а (з (Л) =-. (— д,а+Ьс+а+! а+Ь с+а+1) а+Ь Ь с а+1 а а а — 1 а+Ьс+и+!а+Ь а(-за+а+!а(-Ь а(а+Ь)(с+с!+1) гЬс — аа а Ьс — аа (а+Ь)'(с+а+!) а+Ь ' (а+Ь)'(с+а+1) Полученное реи!ение показывает, что вероятность вынуть белый шар не изменится, если доли белых и черных шас а' ров в обеих урнах одинаковы: — = — (Ьс — ас)=0).
а Ь 3.15. Из чисел 1, 2, ..., и одно за другим выбирают наугад два числа. Какова вероятность того, что разность между первым выбранным числом и вторьн| будет не меньше лд (т > О). Р е ш е и и е. Событие Л состоит в том, что разность мсдкду первым вынутым числом й и вторым вынутым числом 1 будет не меньше ад (то есть )с — 1)лд).
Гипотезы Нь †перв вынуто число и (дг = лд + 1, ..., л); Р (Нь) =-— ! Р (Л(Н„) = —; ! — — (Й вЂ” т) = Ф=аадд д=т.1-д 1 = а (а — ц [! г 2 — (л — лд)) = (л — га) (л — на+ 1) 2а (л — 1) 3.!6*. Из Ф стрелков можно выделить четыре группы: а, отличи!лх стрелков, а, хореших, а, посредственных и ад плохих. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для стрелка д-й группы равна )дг(! = 1, 2, 3, 4). Вызываются наугад два стрелка и стреляют по одной и той же мишени. Найти вероятность хотя бы одного попадании в мишень, Р е ш е ни е.
Событие А — хотя бы одно попадание в мишень. Гипотезы Нг -первым вызван стрелок г'-й группы (! =- 1, 2, 3, 4!. Р(Н,.) .—— — „', Р(А)=„У, щ Р(А)Н,.), ~=1 где Р (А (Н;) снова находим по формуле полной вероятности при четырех гипотезах о том, какой стрелок был вызван вторым: Р(А)Н)= [1 (! р~) )+~~» ~ [1 (! Гт) (! ру)) !гы 3.17. Производится л независлмых выстрелов зажига- тельными снарядами по резервуару с горючим. Каждый сна- ряд попадает в резервуар с вероятностью р. Если в резервуар попал один снаряд, горючее воспламеняется с вероятностьюр,; если два снаряда — с полной достоверностью.
Найти веро- ятность того, что при п выстрелах горючее воспламенится. Р е ш е н и е. Гипотезы: Н, — в резервуар попал один снаряд; Н вЂ 'в резервуар попало два иля более снарядов. Р (Н,) = пр (1 — р)" ', Р (Н,) — — 1 — (! — р)" — пр (1 — р)" '. Искомая вероятность равна Р (А) =Р(Н,)р,+Р(Н,) 1 = =пр(1 — р)" ',,+1 — (1 — р)" — лр(1 — р)" '= = ! — (1 — р)" — р(! — р)" '(1 — р,).
3.18. Группа студентов состоит из а отличников, Ь хо- рошо успевшощих и с занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оцен- ки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимаю- щиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сда- чи экзамена вызывается наутад один студент. Найти вероят- ность того, что он получит хорошую или отличную оценку.
Р е ш е н н е. Гипотезы. Н вЂ” вызван отличный студент; Н вЂ” вызван хороший судент; Н вЂ” вызван слабый студент. Р(Н,)= „; Р(Ня)=; Р(Н,)= Искомая вероятность равна Р (А) = Р (Нт) 1 + Р (Н,) 1 + Р (Н,) — = с а+6 ! с а+ +З а+6+с 3 а+Ь+с а-1-Ь-1-с 3.!9. В условиях предыдущей задачи вызываются наугад три студента.
Найти вероятность того, что они получат отметки: отлично, хорошо и удовлетворительно (в любом поридке). Р е ш е н и е. Событие А — получение отличной, хорошей и удовлетворительной отметки — возможно только при одной из следующих гипотез: Н,— вызваны один слабый студент, один хороший и один отличник; Нв †вызва один слабый студент и два хоро!иих; Н., †вызва два слабых студента и один хорошей; Н, — вызваны два слабых студента и один отличник.
Р (Н,) =6 — — —; Р (Нв)=З вЂ”вЂ” ( 3) ' — — 2' (~4) 1 (М = а -,'— Ь+ с), Р(А)=Р(Н,)1 2 ' +Р(Н,) — ° — + +Р(Н,)— ! 2 ф+Р (Нч) ! бб 3.20. В автобусе едут и пассажиров. На следующей остановке каждый из иих выходит с вероятностью р; кроме того, в автобус с вероятностью рс не входит ни один новый пассажир; с вероятностью 1 — р, — один новый пассажир. Найти вероятность того, что когда автобус снова тронется в путь после следующей остановки, в нем будет гю-прежнему и пассажиров. Решение.
Событие А — после остановки снова и пассажиров. Гипотезы: Н, — не вошел никто; Н,— вошел один пассажир. Р (Н,) =р;, Р (Н,) = ! — р„; Р(А(Н)=(1 — р)"; Р(А(Н)=пр(1 — р) Р(А) = .(! — р)" +(1 — р ) яр(1 — р)" ' 8.21е.
Условия предыдушей задачи сохраняются, но надо найти вероятность того, что после двух остановок н авто. бусе будет по-прежнему и пассажиров (при расчете учесть, что новый пассажир также выходит с вероитностью р на последугощей остановке). Р е ш е н и е. Гипотезы: Н,, — за две остановки не вошел никто; Н,, — на первой остановке вошел один пассажир, а на второй †одного; Н,, — на первой остановке не вошел ни один пассажир, а на второй †од; Н,,— на каждой остановке вошло по пассажиру. Р (Н, .) =р";; Р (Н., ) = (! — р,) р; Р (На, г) =.Ре (1 — Ра)1 Р (Нг, 1) = (! Рд) Чтобы при гипотезе Н,, число пассажиров осталось п, нужно, чтобы ни один из п пассажиров не вышел ни на первой, ни на второй остановках: Р (А~Н ) = '((1 — р)н)з = (1 — р)'". Чтобы при гипотезе Н,, число пассажиров осталось прежним, нужно, чтобы плн на первой остановке вышел одни пассажир, а на второй †ник, нли на первой остановке не вышел никто, а на второй — один пассажир: Р (А)Нм о) = =пр(1 — р)" '(1 — р)"+(! —.)" (и+1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
