Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Прибор состоит из двух узлов: работа каждого узла безусловно необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени 1) первого узла равна р„ второго р,. Прибор испытывался в течение времени 1, в результате чего обнаружено, что он вышел из строя (отказал). Найти вероятность того, что отказал только первый узел, а второй исправен. Р е ш е н н е. До опыта возможны четыре гипотезы: Н,— оба узла исправны; Н, †перв узел отказал, а второй исправен: Н,, †перв узел исправен, а второй отказал; На †о узла отказали. Вероятности гипотез: Р(Н„)-р,р,; Р (и,) =(! — р,) р,; Р(Н,) =р,(! — р,); Р (Ю =(! — Рх) (! -Рв).
Наблюдалось событие А — прибор отказал. Р (А)УУ,) = б; Р (А)Н,) = Р (А)Н ) = Р (А)Угг,) = !. По формуле Бейеса Р (Н !А) (! — лП л (! — лг) !~а ) и ~ р ! ! ) + 3.33. В условиях задачи 3.28 известно, что самолет приземлился благополучно. Найти вероятность того, что летчик пользовался приборами слепой посадки. Р е гп е н и е.
Если летчик пользовался приборами слепой посадки, то, значит, облачность была (гипотеза Нх). Т!о данныи задачи 3.28 находим а 1оо !"~+!'-') л!) Р(Н,!Л)— ~-й й '- 0б~ Й('"+ —:) 3.34. У рыбака пиеется трп излюбленных места для ловли рыбы, которые он посецгает с равной вероятностью каждое, Если он закидывает удочку на первом месте, рыба клюет с вероятностью рг; на втором месте — с вероятностью р,; нз третьем †вероятностью ра.
Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку и рыба клюнула только одни раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте. Ответ. Р (Нг!А)= з ~ч", л (1-лг)' г=1 3.35. Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью р имеет дефект. В цехе изделие с равной вероятностью осматривается одним из двух контрслеров. Первый контролер обнаруживает имеющийся дефект с вероятностюо ры второй †вероятностгно р,. Если в цехе изделие не забраковано, оно поступает на ОТК завода, где дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью р,.
Изнесгно, что изделие забраковано. Найти вероятность того, чго оно забраковано: 1) первым контролером; 2) вторым контролером; 3) ОТК завода. Решение. До опыта возможны четыре гипотезы: Но — пзделие не забраковано; Нх †издел забраковано 1-м контролером; Н вЂ издел забраковано 2-м контролером; Но †издел забраковано ОТК завода.
Событие А †издел забраковано. Гипотеза Но нам не нужна, так как Р (А ! Н„) = 0; Р(Нх)= 2 , 'Р(Но)= 2 1 Р(Но)=Р(1 2 ~ро. Вероятности гипотез после опыта: 1) Р (Н (А) =- Р(Н,)+Р(Н,)+Р(Но) 2Ро+(Ро+Ро) (1 — Ро1 ' 2) Р(И. ~А)=5 р (Н (А) Ро (2 (Ро+Р~)) 2Ро-г(Ро+Рд (1 Ро1 3.36. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовленных отлично, 4 — хорошо, 2 — посрелствшшо и 1 †пло. В экзаменационных билетах имеется 20 вопро. сов.
Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный в на 16, посредсчвен. но†на 10, плохо в на 5. Вызванный наугад студент ответил на трн произвольно заданных вопроса. 1(айти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.
Р е ш е н и е. Гипотезы: Н„ †студе подготовлен отлично; Н., †студе подготовлен хорошо; Н, †студе подготовлен посредственно; Но †студе подготовлен плохо. До опыта: Р(Н,) =03; Р(Но) =041 Р(Н,) =02; Р(Н) =0,1; Р(А(Н ) — 1, Р(А(Н,)= — ° — 9 ° — 0,491; Р ( 4 ( Но) =- я Н ° ! ж 0,105; Р (А ) Но) = 20 ° ! ° — 0,009, 1О 9 8 5 4 3 После опыта 0,3.! 0,3 1+0,4 0,49! +0,2.0,!05+0,1.0,009 б) Р (Но(А) = — '1 0,002. 69 3.37.
Иа вход радиолокационного устройства с вероятностью р поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью (1 — р) †толь одна помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью р; если только помеха — с вероятностью р,. Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе имеется полезный сигнал. О т в е т.
РР> рл,+(1 — р) л,' 3.38. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обрашения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно ры р„ р,. Вероятность того, что к моменту прихода пассахгира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равна для первой кассы Ры для второй Рв, для третьей Ра.
Пассажир напранился за билетом в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что зто была первая касса. Р е ш е н и е. Р (Нг) =РВ Р (Ня) =р;, Р (На) =рз Р(А)Нг) 1 РВ Р(А!Ня)=1 Ря', Р(А(Нэ)=1 Рз Р (Н 1А) л~ (1 — РВ+Р,(1 — Р,)+на(1 — Ра)' 3.39. Производится один выстрел по плоскости, на ко. торой расположены две цели: 7 н П (рис.
3.39). Вероятность попадания в цель 7 равна ры в цель Н равна р,. После выстрела получено известие, что попадания в цель У не произошло. Какова теперь вероятность того, что произошло попадание в цель Н? Р е ш е н и е. Гипотезы: Н,— попадание в цель У; Н,— попадание в цель П; На †непопадан нн в одну из целей, Событие А †непопадан в цель Н Р (и,) =р;, Р (и,) =р;, Р (н,) = 1 — (р, + р,ь Р (А ( Н ) = 0; Р (А ) Н ) = 1; Р (А ~ Нз) = 1. Р(Н )А) ЛЯ Рн ля+1 — (л,+М =1 — л,' 70 Эту задачу можно решать и без формулы Бейеса: Р(Н Р (Вдд) Р [Нд ад Р(А) Р(А) 1 — рд' 3.40. Имеются две урны: в первой а белых шаров и Ь черных во второй — с белых и д( черных.
Выбирается наугад одна из урн н вынимается из нее один шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что следующий шар, который мы вынем из той же урны, будет тоже белым. Р е ш е н и е. Нд — выбрана первая урна; Н,— выбрана вторая урна. А — появление белого шара при первом вынимании. а а+Ь Р (Н,(А) = а с — +— а+Ь с+ а с с+а Р (Н,)А) = а с — + а+Ь с-1-Ы В вЂ появлен второго белого шара. Р (В) А) =- Р (Нд ) А) Р (В/ НдА) '-Р (На ) А) Р (В) НдА).
Условная вероятность появления второго белого шара при условии, что была выбрана первая урна и из нее вынут белый шар: Р(В(НдА) ' ь— аналогично Р (В(НзА) = р(В( ц) ! ) а(а — 1) с(с — 1) а + с ~(а+Ь) (а+Ь вЂ” 1) ( (с-)-д() (с-+г( — 1) ~ а+Ь с+~1 3.41. Илдеется группа в составе Лг стрелков. При одном с~реле в мишень 1-й стрелок попадает в нее с вероятстыо р; (д = 1, 2, ..., !У). Вызывается наугад один из стрелков. Произведя один выстрел по мишени, он попал ч нее. )таИти вероятность того, что при следующих двух выстрелах того же самого стрелка будет одно попадание и одни промах.
Р е ш е н и е. А — попадание при первом выстреле;  †од попадание и один промах прн двух последующих выстрелах, Гипотезы Н; †вызв 1-й стрелок (1 = 1, 2, ..., Ж). М )з (Н,) А) =~ — ', где р=~~' р,, г=г )з (~ ~ НА) = 2р; » — р ); У М )з (8 ( А) = г, (з (Нг ( А) Р (~ ~ Н;А) = ~,~ р,' » — р,). 1=1 ю=! ГЛАВА 4 ПОВТОРЕНИЕ ОПЫТОВ Опыты называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.
Независимые опыты могут провзводиться как в одинаковыя условиях, так и в различных. В первом случзе вероятность появво вто- ления какого то события А во всех опытах одна и та же, роы случае она меняется от опыта к опыту. Ч а стива теорема о повторении опытов Если производится и независииых опытов в одинаковых уело. виях, причем в каждан из них с вероятностью р появляется собыа тие А, то вероятность Р „ того, что событие А произойдет в этна л опытах ровно т раз, выражается формулой Р „=С~а~о" (т=О, 1, ..., л), (4.!) где д 1 — р, Формула (4.1) выражает так называеиое бинамиальнае распределение вероятностей.
Вероятность хотя бы одного появления события А при л независимых опытах в одинаковых условиях равна ггг, л=1 4". Общая теорема о повторении опытов Ясли производится л независимых опытов в различных условиях, причем вероятность события А в бм опыте равна рг (1=1, 2, ..., л), то вероятность Рм л того, что событие А появвтся в втих опытах ровно т раз, равна козффвпиенту прн гв в разложении по степеням г производящей функции: л ф (а)=Я (рг+рга), где 41=1 — рр ь з !11,' Вероятность висямых опытах хотя бы одного появления события А прн и незав различных условиях равна л )7т, «=1 Д Чг 1=1 Для любых условий (как одннановых, так и различных) и м=е Вероятность )7д „того, что прп и опытах событие А появится не менее й раз, выражается формулой а-т илн )7а, п=( — ~ Рм,ч ю=а т=о или Если условия опытов различны, т.
е. в 1.м опыте событие Ау имеет вероятность Р;(1 1, 2, ..., и; 1 = 1, 2, ..., а), то вероятность Р „, „, „ вычисляется как коэффициент при члене, содержащем гт' ге'...га ч в разложении по степеням г„гг, ...> га производящей функции: <рч (гг, гг, ..., га) — 'П (Рмгт+ Рога+ ° ° ° +Рагга) 4.1, Прибор состоит из 10 узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени 1) для каждого узла равна Р, Узлы выходят нз строп независимо один 74 Теоремы о повторении опытов, как частная, так и общая, допускают обобщение на тот случай, когда в результате каждого опыта возможны не два исхода (А н А), а несколько исходов.
Если производится и независимых опытов в одинаковых условиях, причем каждый опыт может иметь й исключающих друг друга исходов Аю Аю ..., Аа с вероятностями р,, Рз...., Ра < а ру 1, то вероятность того, что в щт опытах появится собмг=т тие Ат, в т, опытах — событие А, и т. д., в та опытах — событие Аа а ~яр ~тс пу) выражается формулой г=т п) ап ю' ьюма ГП1т( т, Рт Рз Ра от другого. НаЙти вероятность того, что за время й а) откажет хотя бы один узел; б) откажет ровно один узел; в) откажут ровно два узла; г) откажет не менее двух узлов. Ответ.
а) Яд „=1 — 2712, где д=1 — р; б) Р, „= — С'орда = 10рдд; в) Р,до = С124рвда = 45ргра г) 772, 12= , 12 1 0 2 1 2'(, 4.2. Производится четыре независимых выстрела по некоторой цели . Вероятности попадания прн разных выстрелах различны и равны: р, = О, 1; р, = О, 2; р, = 0,3; р4 — — 0,4 . Найти вероятности Р, ;, Р, ;, Рв 41 Р,,;1 Р,, 4 ни одного, одного, двух, трех, четырех попаданий; вероятность гсд 4 хотя бы одного попадания; вероятность Дд 4 не менее двух попаданий . Р е ш е н н е. Производящая функция гр4 (а) = (0,9 (- 0,1л) (0,8+ 0,2л) (0,7+ 0,3я) (0,6+ 0,4а). Раскрывая скобки н приводя подобные члены, имеем гр (я) 0 302 (- 0 460г -)- 0 205зд 0 031аа+ 0,002г41 откуда Ра 4 =- 0,302; Р1,4 0,460; Р 4 — — 0,20о; Р2,4 = 0,031; Р4 4 = — 0,002 4 — 1 Ра 4 = 0,698' гся 4 = 1 Р2 4 Рд 4 = 0 238 4.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
