Вентцель - Теория вероятности.Сб. задач (969544), страница 13
Текст из файла (страница 13)
4.20. Подводная лодка атакует корабль, выпуская по нему последовательно и независимо одна от другой п торпед. Каждая торпеда попздает в корабль с вероятностью р. Каждая попавшая в корабль торпеда с одинаковой вероятностью попадает в любой из (з отсеков, на которые разделена подводная часть корабля. Торпеда, попавшая в отсек, приводит к его заполнению водой. Корабль идет ко дну, 82 если водой заполнено не менее двух отсеков. Найти вероят ность того, что корабль будет пущен ко дну. Решение.
Эту задачу удобно решать по формуле полной вероятности с гипотезами Н вЂ” в корабль попало гл торпед (ш.=!, 2, ..., п). Р (УУ ) Р Ст~>м (1 р~п-т Найдем Р(А(Н ). По условию Р(А(О) =-О, При и) 2 попавших торпедах корабль не затопляется, только если все торпеды попали в одни отсек; следовательно, Р (А)О„) =1 — )г ( — ) =,1 — —, (гл~~2). Полная вероятность потопления кораблю л Р(А) ~~~' Сары(1 р)н-а ~! Ш= Я 4.21. В течение времени г' эксплуатируется М приборов.
Каждый нз приборов имеет надежность р и выходит из строя независимо от других. Найти вероятность Р (А) того, что мастер, вызванный по окончании времени у для ремонта неисправных приборов, не справится со своей задачей за время т, если на ремонт каждо~о из неисправных приборов ему требуется время та. Р е ш е н и е. Событие А равносильно тому, что число вышедших из строя приборов больша:ем ! ~ — 1, где 1 то.! Г1 — 1) обозначает наибольшее целое число, заключенное в —, то.! то Р (А) ~~,' Сч (1 — р)нрм "'.
т=1~-т 4.22. Имеется )(! неисправных приборов, которые подвергаются испытаниям (тестам) с целью локализации неисправности. Каждый тест независимо от других с вероятностью р приводит к локализации неисправности. Если неисправность локализована, прибор передается на ремонтную станцию, а обследованию подвергаются друтие приборы. Если во всех М приборах неисправность локализована, то тесты прекраща!отся. Всего имеется возможность произвести п тестов (л ~ М).
Найти вероятность того, что неисправности во всех М приборах будут нокализованы. Р е ш е н и е, А — все неисправности локализованы. Противоположное событие А означает, что при и опытах (тестзх) событие, состоящее в том, что неисправность локализована, появилось менее Ф раз.
Р(А)=1 — ~С„р (1-р)— о~=о или Р (А) ~ Стрт (1 р)л-т 4.23. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что в результате л тестов среди И неисправных приборов останется не лоенее й приборов с нелокализованными неисправностями (й с. М). Р е ш е н н е. Задача равносильна следуюпгей: найти вероятность того, что при л тестах будут локализованы неисправности не больше чем в Лà — й приборах. Р ( 1) Чз С~ирт (1 з)о-гл т=о 4.24*. Происходит соревнование между й стрелками; каждый из них делает п выстрелов по своей мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для г-го стрелка равна р;(( = 1, ..., л). Выигрывает соревнование тот из стрелков, который получит больше попаданий, чем каждый нз осталы<ых.
Найти вероятность того, что среди соревнующихся стрелков будет один (только один), выигравший соревнование. Р е ш е н и е. Таким одним может быть любой из й стрелков. Найдем вероятность того, что г-й стрелок выиграет соревнование (событие А;). Это событие может произойти следующими способами: А; — г'-й стрелок получил ровно лг попаданий, а каждый из (т~ остальных — не более чем по гл — 1 (лг = 1, ..., и). Вероятность того, что г-й стрелок получил лг попаданий, равна Р „(г) = С„р, ф т, где оу; = 1 — рн Обозначим вероятность того, что у'-й стрелок получил не более ло†1 попа- даний, через Т (!)г Л1 — 1 Т (У) = ~~~~ СллР)1У!л ' (лг) 1). 5 0 Тогда вероятность того, что все остальные стрелки, кроме г-го, получили не более пг — 1 попаданий, равна Т„ (1) Т„ (2)...
Т„ (' — 1) Т « + 1).. Т ® =П Т (Я, ! ~1 Суммируя полученные вероятности дли всех значений пг, получим вероятность того, что г-й стрелок в единственном числе выигрывает соревнование: л Р (А,.) = чл Р. „(1)п Т (у) « =1, 2, ..., й). л1= 1 1~1 Суммируя эти вероятности для всех стрелков, получим л ь л Р (А) = '~ Р (А;) = ',~~~ ч ', Р л (1)п Т (у). !=1 Л1=1 4.25. В урне имеется й шаров; каждый из них с вероятностью 1/2 (независимо от других) может оказаться белым пли черным. Из урны вынимается и раз по одному шару, причем вынутый шар каждый раз возвращается обратно, и шары перемешиваются. Среди вынутых л шаров т оказались белыми (О ( лг ( п).
Определить вероятность того, что среди и шаров урны ровно ! белых. Решение. Решаем задачу по формуле Бейеса. Гипотезы: Н,— в урне 1 белых шаров и й — / черных (1=1, ..., и — ! ). /!'1Ф Р(Н,) =С' ( — ) . ь(,2) Событие А †сре й вынутых шаров оказалось ровно ь1 белых. Р (А)Н1) С1л ( — ) (1 — — ) После опыта вероятность гипотезы Н,: 'и и ~~' С!( — ') (! — — ') ~' С111 (а — В"- ! 1 г=, 4.26. Производится стрельба пятью снарядами по группе, оящей из трех целей. Обстрел ведется в следующем порядке: сначала обстреливается первая цель и огонь по ней ведется до тех пор, пока она не будет поражена или не кончатся все пять снарядов. Если первая цель поражена, огонь переносится на вторую, и т. д.
Вероятность поражения цели при стрельбе по ней одним выстрелом равна р. Найти вероятности; Р„ Р,, Р,, Р, того, что будет поражено О целей, 1 цель, 2 цели, 3 цели в составе группы. Р е ш е и и е. Для того чтобы не было поражено ни одной пели, нужно, чтобы ни один снаряд не поразил цели, по которой он направлен: Р, = (1 — Р)'. Чтобы была поражена ровно одна цель, нужно, чтобы из пяти выстрелов только один поразил цель, по которой он направлен, а остальные — не поразили: Р, = С,-'р'(1 — р)х = =бр(! —, )' Лналогпчно Р, = С,'р' (1 — р)' = 10р' (1 — р)'. Так как события, вероятности которых обозначены Р„ Ры Ре, Ра, несовместны п образуют полн)чо группу, то Рз = 1 — (Рв -'; Рт + Рг) = 1 — (1 — р)'(1 — Зр †. Ор') 4.27.
Та же задача, но число целей Ю, чясло выстрелов и (и ) Ж); найти вероятности Р„ Ры ..., Рм того, что будут поражены О целей, 1 цель, ..., М целей. 0 т в е т. Р, = (1 — р)"; Р, =- пр (1 — р)" '; ...; Рь = и-~ =-С,",рь(1 — р)' ь (й <Лг); Р„= 1 — '~~ СьрлН вЂ” р) ь=о 4.28.
В условиях предыдущей задачи обстрел целей ведется не в порядке номеров, а в случайном порядке, причем каждый выстрел случайным образом направляется на любую до сих пор не пораженную цель. Найти Р„ Р,, ..., Рм, Ответ. Тот же, что и в задаче 4.27. 4.29в. Производится стрельба л снарядами по группе пз И целей (М ( л). Каждый выстрел с одинаковой вероятностью направляется на любую из Ф целей (безотносительно к тому, поражена она предыдущими выстрелами или не поражена).
Каждый выстрел поражает непораженную цель, по которой он направлен, с вероятностью р. Выстрел, направленный по уже пораженной цели, не меняет ее состояния. Найти вероятность того, что в составе группы будет поражено и целей ()г О, 1...,, М). Решение. Вероятность Р„ поражения й целей из М найдем по формуле полной вероятности. Введем гипотезу (пд, лд, ..., пл): по первой цели пришлось и, выстрелов, по второй и„..., по М-й — пл, причем ~~" п,=п, «=д При этой гипотезе условная вероятность Рдж„ „„„ „ поражения Й целей из М равна коэффициенту при гь в разложении по степеням з производящей функции «Рл (з! ид пд ° ° ° лл) =П («)«+Р«з)« «=д где р,= ! — (1 — р)"«есть вероятность поражения У-й цели за л, выстрелов, д«=1 — р,=-(1 — р)"«.
Вероятность гипотезы (и, ие, ..., пл) находим тем же способом, каким находилп вероятность того, что и шариков распределяется определенным образом по М лункам (см. задачу 1.45): л! 1 Р(л„, и„, ..., пм) = л,!л,!...и,! Х" ' Вероятность Рд по формуле полной вероятности равна л! 1 Р С' с'„„,, 1. д" ° ° я. где сумма распространяется иа все возможные способы разбиения числа и на М слагаемых«и,, л.„..., пм (0<и,(п; 1 1, ..., М). 4.30.
В условиях задачи 4.29 написать формулы для Р„ при л=5, М=2. 2 О т вот. Ро —— — «)*; Рд= — — вв ((! — д)а — 5«д (1 — 2«)« —,«)а)+ + 10д' (1 — 2«!а -«- «))) =- — [( ! + «У)' — 32«)ь)! 1 Ре= — (5(! — 0) (1 — о«) —;10(1 — «)д) (1 — «)а))! 0= ! — р. 2 4.31. Имеется М лунок, по которым случайным образом разбрасываются М шариков. Найти вероятность р того, что иную (вполне определенную, например, первую) лунку дет ровно «д шариков.
е ш е н и е. Рассмотрим «)4 бросаний шарш<ов как Л4 исимых опытов, каждый из которых с вероятностью 1/М «чивается попаданием в данную лунку! тогда р-С' ®'~~ 1) 3У ГЛАВА 5 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЪ| РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Ъ Ряд распределения Рядом распределения дискретной случайной величины Х называ- ется таблица, где перечислены возможные (различные) значения этой случайной величины х„хз, . „х„ с соответству|ощнми им вероятностями рз ре ' ' Рп' Ре х; ~ хт Рп где и |. р, Р(Х х); Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
